2025-2026学年湖南省衡阳市常宁市第一中学高一下册5月期中考试数学试题 含解析

/湖南衡阳市常宁市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中素质评价数学试题一、单选题1．若复数，则（

）A．0 B．1 C．2 D．2．已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则（

）A．4 B．5 C．6 D．73．“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（

）A．60 B．90 C．120 D．1504．已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若,,则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则5．某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（

）A．95 B．93.5 C．92.5 D．926．已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（

）A． B． C． D．7．在中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则（

）A． B．C． D．8．已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．10．为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（

）A．样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为30B．样本数据的极差一定小于100C．样本数据的中位数约为53D．估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5%11．在中，角所对的边分别为,已知，，则（

）A．B．的取值范围是C．周长的最大值为6D．的最大值为三、填空题12．已知向量与垂直，则_________．13．如图所示的是水平放置的的斜二测画法的直观图，已知，，则在中，_________．14．有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________．四、解答题15．设，是两个不共线的向量．(1)若向量，，的起点相同时，它们的终点共线，求实数的值；(2)若，且与的夹角为，，求的最小值．16．某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表）(2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差．17．如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，平面与平面的交线为，过，，三点的平面将正方体分成体积为，的两部分，且．(1)求与所成角的大小；(2)求实数的值．18．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的正弦值．19．在中，角，，的对边分别为，，，已知，为边上一点．(1)求；(2)若是的平分线，，的周长为，求的长度；(3)若，，求实数的取值范围．答案1．D【详解】对进行分母有理化，分子分母同时乘以分母的共轭复数，可得.计算：将代入可得：.对于复数，其模为，所以：.2．A【详解】向量在向量上的投影向量的模等于，已知该模为2，，则有，解得.3．C【详解】因为A校2400人、B校1800人、C校1200人，所以A校人数在三所高中人数中占比为，所以按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人时，A校应抽取的人数为.4．D【详解】A.若,,则与相交，平行，或在面内，故A错误；B.若，，只有与两平面的交线垂直，才有，故B错误；C.若，，则与相交或平行，故C错误；D.若，，，则，故D正确.5．B【详解】因为，所以10个数据的第40百分位数是第4个和第5个数的平均数，即.6．C【详解】如图所示，正三棱锥顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，取中点，连接、，由正三棱锥性质，，，可知是侧面与底面所成二面角的平面角，且（棱锥的高），，为直角三角形.由底面正三角形边长为，其高为，正三角形中心分高的比为，可知中心到边的距离.在中：，二面角的正弦值.7．B【详解】由条件可知，，即，因为点三点共线，所以，得，所以.8．A【详解】如图所示，

设正方形对角线、交于原点，原正方形边长为，因此对角线长，可得.翻折后，，的垂直关系不变，因此二面角的平面角为，结合，可得为等边三角形，.由于翻折后四个顶点到的距离均为，因此就是三棱锥外接球的球心，外接球半径，.结合图形和球的截面性质可得：（为截面圆半径，为球心到截面的距离），由：由平面，，因此平面平面，交线为，是直角三角形（），.因为是边长为2的等边三角形，到的距离为，所以到平面的高为，则，又在中，，，等腰三角形的高为，所以，由，代入得：，所以，因此截面面积为.9．ABC【详解】复平面内的点在虚轴上，则实部为，即，化简得，解得或或.10．AC【详解】样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为（人），故A正确；样本数据的分布在之间，且组距为20，所以极差不一定小于100，故B错误；，（分），所以样本数据的中位数约为53，故C正确；日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数为（人），，所以估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的10%，故D错误.11．ACD【详解】对于A，因为，由正弦定理，又因为，可得，所以，可得，因为，可得，所以，即，又因为，所以，所以A正确；对于B，由且，可得，且，由正弦定理得，则，因为，可得，所以，所以，所以B错误；对于C，由周长因为，可得，当时，即时，取得最大值，所以周长的最大值为，所以C正确；对于D，由，可得，则，所以，当时，时，的最大值为，所以D正确.12．【详解】因为向量与垂直，所以.13．【详解】，，取中点，连结，则，，，，把直观图还原成平面图形如下：，．14．【详解】将正四棱台的四条侧棱延长交于一点，形成一个正四棱锥，作出截面（如图）正四棱台的上、下底面为正方形，且上、下底面面积分别为4和64，则上底边长为2，下底边长为8.即.侧面梯形的高为6,则，所以棱台的高.若一个正方体可以在盒内任意旋转,则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径.当内切球与棱台的上、下底切时，内切球半径；当内切球与棱台的侧切时（如图），假设由，则，即，得,则，.又，，即，解得，正四棱台内切球的半径,即正方体外接球半径.此时正方体的边长为，则正方体棱长的最大值为.15．(1)(2)【详解】（1）由已知可得，，不共线，解得．（2）由题意得，

，故当时，取得最小值为3，则的最小值为．16．(1)；(2)（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，解得．各组的组中值依次为，对应频率依次为，所以数据的平均数，所以估计这100个样本数据的平均数为．（2）解：由于样本数据在与内的频率之比为，所以两组的总平均数为，所以总方差．17．(1)(2)【详解】（1）如图1，在平面中，连接并延长，与直线交于点，由是棱的中点可知与全等，所以是的中点，所以是的中点，即，同理，在平面中，连接并延长，与直线交于点，则，连接，，，，则为平面与平面的交线，且，在等边中，与所成的角为，故与所成的角为.（2）取的中点，连接，因为平面，故平行于平面与平面的交线，又，分别为，的中点，所以，所以平面平面，故平面分正方体为如图2所示的两部分，设正方体的棱长为2，则其体积为8，，故．18．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）如图，取的中点，连接，．因为为等边三角形，所以，又在等腰梯形中，为的中点，可知为等腰梯形的高，故，又，，平面，所以平面，得．因为，，且，故，又，，，所以．

（2）在平面内，作于点，连接．由（1）易知，从而为二面角的平面角．易知，则，所以，所以，即二面角的余弦值为．（3）设到平面的距离为．易知，即，即，解得．设直线与平面所成的角为，则．19