2025-2026学年吉林省吉林市永吉县第四中学高一下册期中模拟数学试题 含解析

/数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（）A. B.C. D.2.已知，，若，则（）A.-1 B.-7 C.1 D.73.如图所示正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（）A.12 B.8 C.8 D.84.底面半径为1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为（）A.1 B. C.2 D.5.已知，且，则（）A.4 B.2 C. D.16.在中，已知，则（）.A. B. C. D.7.在中，D为AB的中点，点E满足，则（）A. B. C. D.8.已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（）A.8 B.13 C.16 D.32二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列有关复数z的叙述，正确的是（）A.若，则 B.若，则的虚部为C.若满足，则 D.若，则10.已知圆锥的底面半径等于，高等于1，则（）A.圆锥的体积为πB.过圆锥顶点的截面面积的最大值为2C.圆锥外接球的表面积为16πD.圆锥的母线与底面所成角大小为60°11.已知，，均为单位向量，则（）A. B.C.向量在向量上的投影向量为 D.的最小值为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________.13.在中，若，则___________．14.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知复数.（1）若复数是实数，求实数的值；（2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围.16.如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.（1）求该圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积；（2）求该圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积.17.已知．（1）若为与的夹角，求的值；（2）若与垂直，求的值．18.如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，F为AE的中点．（1）求证：平面BDF；（2）求三棱锥E-BDF的体积．19.在锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，且，求周长.

数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.解答过程：在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，由共轭复数的定义可知，.故选：D2.已知，，若，则（）A.-1 B.-7 C.1 D.7答案：A解析：思路：根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.解答过程：由向量，，因为，可得，解得.3.如图所示正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（）A.12 B.8 C.8 D.8答案：C解析：思路：利用直观图还原原图形，再求出面积即可.解答过程：根据斜二测画法可知，原图形为平行四边形，如图所示，其中，，所以原图形的面积为.4.底面半径为1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为（）A.1 B. C.2 D.答案：C解析：思路：根据圆锥的侧面积和底面积的关系列方程，从而求得母线长.解答过程：设圆锥的母线长为，依题意，圆锥的底面半径，则.故选：C5.已知，且，则（）A.4 B.2 C. D.1答案：A解析：思路：根据平面向量数量积的坐标运算及模的坐标计算公式即可求解．解答过程：由得，，所以．6.在中，已知，则（）.A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由余弦定理得.7.在中，D为AB的中点，点E满足，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为中，D为AB的中点，点E满足，所以，，所以.8.已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（）A.8 B.13 C.16 D.32答案：B解析：思路：由余弦定理化简可得，再根据向量数量积运算律与数量积几何意义计算求解.解答过程：由余弦定理可得，因为，代入化简可得，所以，因为，所以为边的中点，，取的中点为，因为是的外接圆圆心，所以，由数量积的几何意义可知，同理，所以.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列有关复数z的叙述，正确的是（）A.若，则 B.若，则的虚部为C.若满足，则 D.若，则答案：BD解析：解答过程：对于AB，由，则的虚部为，故B正确，而，故A错误；对于C，当时，，而，故C错误；对于D，设，则，即，而，则，故D正确.10.已知圆锥的底面半径等于，高等于1，则（）A.圆锥的体积为πB.过圆锥顶点的截面面积的最大值为2C.圆锥外接球的表面积为16πD.圆锥的母线与底面所成角大小为60°答案：ABC解析：思路：对A，圆锥体积公式直接代入已知的底面半径和高计算验证；对B，设截面两母线夹角为θ，利用三角形面积公式结合三角函数有界性分析面积最大值；对C，利用圆锥外接球球心在高所在直线上，由求解外接球半径，进而计算表面积；对D，找出母线与底面所成角的平面角，在直角三角形中通过三角函数值计算角度判断.解答过程：整理已知条件可知：圆锥底面半径​，高，母线长，逐一分析选项：对于A：圆锥体积公式，代入得：

，A正确；对于B：过圆锥顶点的截面为等腰三角形，两腰均为母线长，设两母线夹角为，则截面面积.设轴截面顶角，则，得，因此最大值为（当时），，B正确；对于C：圆锥外接球球心在高所在直线上，设外接球半径为，由可得，解得，外接球表面积，C正确；对于D：圆锥母线与底面所成角为母线和其在底面投影（底面半径）的夹角，在直角三角形中​，得，D错误.方法提示：本题综合考查圆锥的几何性质，涉及体积、截面面积、外接球表面积计算及空间线面角求解，核心运用数形结合思想与解直角三角形方法.11.已知，，均为单位向量，则（）A. B.C.向量在向量上的投影向量为 D.的最小值为答案：ABC解析：解答过程：因为，故，故A正确；因为，所以，又，所以，故B正确；向量在向量上的投影向量为，故C正确；，当时，取得最小值，取得最小值，故D错误.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________.答案：解析：解答过程：因为向量，，且与的夹角为钝角，所以，且与不共线；所以，解得且，所以实数的取值范围是.13.在中，若，则___________．答案：##解析：思路：已知边，角以及角的余弦值，可先由同角三角函数关系求出，再由正弦定理求出.解答过程：在△ABC中，因为，所以又因为，所以，由正弦定理，得，所以.14.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________．答案：①.②.解析：思路：由斜二测画法原理可得平面图形是直角梯形，进而可求；直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，可求其体积即可．解答过程：由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形是直角梯形，如图：其中，，，，过作交于，则为的中点，在中，，，所以，将直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，其上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为，故此圆台体积为．故；．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知复数.（1）若复数是实数，求实数的值；（2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围.答案：（1）或；（2）.解析：思路：（1）根据复数的虚部为0求解即可；（2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可.（1）因为复数是实数，所以，解得或；所以实数的值为或；（2）因为复数表示的点在第四象限，所以，即，解得或，所以实数的取值范围为.16.如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.（1）求该圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积；（2）求该圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积.答案：（1）（2）解析：（1）设圆锥底面半径为，圆柱底面半径为，则，又可知圆柱母线长，圆锥母线长.所以剩下几何体的表面积；（2）所以剩下几何体的体积．17.已知．（1）若为与的夹角，求的值；（2）若与垂直，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用平面向量的夹角公式求解；（2）根据向量与垂直，两个向量的数量积为零求解.（1）解：∵，∴，则，∴．∵，∴．（2）∵，∴．∵向量与垂直，∴，解得．18.如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，F为AE的中点．（1）求证：平面BDF；（2）求三棱锥E-BDF的体积．答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）连接AC交BD于O，连接FO，利用中位线定理及线面平行判定定理即得；（2）由题可得，然后利用棱锥体积公式即得.（1）连接AC交BD于O，连接FO，因为F为AE的中点，又O