2025-2026学年江苏怀仁中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B.6 C.3 D.2.用1，2，3，4能写成没有重复数字的3位数的个数是（）A.24 B.12 C.36 D.63.的展开式中的系数为（）A.8 B.16 C.24 D.324.已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（）A.， B.，C.， D.，5.如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（）A. B. C. D.6.全民奔跑展风采，策马奔腾启新程.3月，2026无锡马拉松赛事顺利举行，赛道某路段设置甲､乙､丙三个服务站，怀仁中学5名同学前往这三个服务站参与志愿服务，每名同学只去1个服务站，每个服务站至少安排1人，则不同的安排方法共有（）A.25种 B.150种 C.300种 D.50种7.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（）A. B. C. D.8.已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的导函数的图象如图所示，则（）A.B.C.有2个极大值点，1个极小值点D.的单调递减区间为，10.在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（）A.有种不同的节目演出顺序B.当个舞蹈节目接在一起时，

有种不同的节目演出顺序C.当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序D.若已定好节目单，后来情况有变，

需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，且曲线的对称中心为，则C.若，函数在上单调递增，则D.若，且，则存在实数，使得三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则______．13.已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______.14.若的展开式中的常数项为1，则_____.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）若函数的极大值点是，求的值；（2）若函数有一正一负两个极值点，求的取值范围．16.甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球．（1）若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为．求随机变量的分布列；（2）现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率．17.已知fx（1）求奇数项的二项式系数和；（2），且，若f−10+a能被20整除，求的值；（3）求a018.已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，，证明不等式；（3）当时，求函数的单调区间.19.已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求函数的极值点的个数及极值；（2）当时，证明：除切点外，直线在曲线的下方；

数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B.6 C.3 D.答案：B解析：思路：利用导数的极限表达式计算.解答过程：若，则．2.用1，2，3，4能写成没有重复数字的3位数的个数是（）A.24 B.12 C.36 D.6答案：A解析：解答过程：由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为从1，2，3，4四个数字中取出三个数字的排列的个数即个，3.的展开式中的系数为（）A.8 B.16 C.24 D.32答案：D解析：思路：利用二项展开式的通项公式代值计算即得.解答过程：展开的通项公式为，,取，则的展开式中的系数是．故选:D.4.已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：思路：根据方差和期望的运算性质计算即可.解答过程：由，解得，由，解得.故选：D.5.如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：对函数求导并利用导函数符号以及方程有解可求得a的取值范围.解答过程：易知，依题意可得在上有解，即方程在上有解，显然当时，，因此实数a的取值范围为.6.全民奔跑展风采，策马奔腾启新程.3月，2026无锡马拉松赛事顺利举行，赛道某路段设置甲､乙､丙三个服务站，怀仁中学5名同学前往这三个服务站参与志愿服务，每名同学只去1个服务站，每个服务站至少安排1人，则不同的安排方法共有（）A.25种 B.150种 C.300种 D.50种答案：B解析：思路：先分组后分配，讨论并计算即可得.解答过程：名同学分成组，可分成人，人，人，此时共有C5也可分成人，人，人，此时共有种不同的安排方法；故不同的安排方法共有种.7.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解.解答过程：设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示，则.某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为所以.故选:B.8.已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设切点分别为和，再由导数求得斜率相等，得到，构造函数由导数求得参数的范围．解答过程：的导数的导数为，设与曲线相切的切点为相切的切点为，则有公共切线斜率为，又，即有，即为，即有，则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解，令，则，当时，递减，当时，递增，即有处取得极大值，也为最大值，且为，由恰好存在两条公切线可得与有两个交点，可得的范围是，故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的导函数的图象如图所示，则（）A.B.C.有2个极大值点，1个极小值点D.的单调递减区间为，答案：BCD解析：思路：根据导数单调性和极值与导函数图象一一分析即可.解答过程：对A，由图知当时，，此时单调递减，则，故A错误；对B，当时，，此时单调递增，则，故B正确；对C，由图知，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则为的极大值点；，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，则为的极小值点；，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则为的极大值点；则有2个极大值点，1个极小值点，故C正确；对D，当时，，当时，，则的单调递减区间为，，故D正确.故选：BCD.10.在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（）A.有种不同的节目演出顺序B.当个舞蹈节目接在一起时，

有种不同的节目演出顺序C.当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序D.若已定好节目单，后来情况有变，

需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序答案：ACD解析：思路：利用全排列判断A，利用捆绑法判断B，利用插空法判断C，首先考虑个节目全排列，再除以，即可判断D.解答过程：对于A：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，故A正确；对于B：当个舞蹈节目接在一起时，把个舞蹈节目看成一个元素，与其他个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，而个舞蹈节目本身有种顺序，所以共有种不同的节目演出顺序，故B错误；对于C：把个演唱节目排列，有种顺序，再把个舞蹈节目插入到个空挡中，有种方法，所以共有种不同的演出顺序，故C正确；对于D：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，其中原来的个节目有种不同的节目演出顺序，而现在原来的个节目顺序不变，只占其中一种，所以有种不同的节目演出顺序，故D正确，故选：ACD．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，且曲线的对称中心为，则C.若，函数在上单调递增，则D.若，且，则存在实数，使得答案：ABD解析：思路：借助导数运算可得A；利用对称中心性质可得，代入计算即可得B；对函数求导有在上恒成立，结合判别式列不等式可得C；根据已知有，再判断的判别式符号确定函数的单调性可得D.解答过程：对A：，由，由，则，故，故A正确；对B：若，则，由的对称中心为，则，所以，所以，所以a−1=01−a对C：若，则，若在上单调递增，则其导数在上恒成立，所以a>0Δ=36−12ac对D：由，，不等式两边同乘，得，的判别式，故有两个不同变号零点，即有两个极值点，故不单调，因此存在使得，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则______．答案：2解析：解答过程：由图象及导数的几何意义，得，而，所以.13.已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______.答案：解析：解答过程：由题意，该方程有解，故，该不等式对任意恒成立，即，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，即的最小值为.14.若的展开式中的常数项为1，则_____.答案：2解析：解答过程：由，其展开式的通项为，，而展开式的通项为，，令，得或或，因为的展开式中的常数项为1，所以，则，又，则.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）若函数的极大值点是，求的值；（2）若函数有一正一负两个极值点，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用极值点与导函数零点的关系代入解方程可得，经检验符合题意；（2）根据两个极值点的符号关系，由韦达定理得出导函数的两根之积为负值可得结果.（1）易知，由题意得，解得，故．经验证可知，在处取得极大值，符合题意；故．（2）由题意，方程有一正一负两个实数根，设为，则．故的取值范围是．16.甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球．（1）若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为．求随机变量的分布列；（2）现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率．答案：（1）答案见解析（2）解析：思路：（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列；（2）设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”，事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”，结合全概率公式，即可求解.（1）解：由题意，随机变量的可能取值为，可得，所以的分布列为234（2）解：设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”，事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”，则，，彼此互斥，且，可得，且，所以17.已知，且展开式中只有第7项二项式系数最大.（1）求奇数项的二项式系数和；（2），且，若f−10+a能被20整除，求的值；（3）求的值.答案：（1）2048（2）19（3）25解析：思路：（1）使用二项式系数的性质求解；（2）使用二项式定理求解；（3）将展开后求导，使用赋值法求解.（1）因为展开式中只有第7项二项式系数最大，所以，解得，所以奇数项的二项式系数和为.（2）由（1）知，则，由二项式定理可得，除了第一项C12若f−10+a又因为，且，所以，解得.（3），求导得，令，则，，所以a018.已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，，证明不等式；（3）当时，求函数的单调区间.答案：（1）1（2）证明见详解（3）答案见详解解析：思路：（1）求导，利用导数判断的单调性，结合单调性求最值；（2）构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析证明；（3）求导，分类讨论最高项系数以及两根大小，利用导数求单调区间.（1）因为的定义域为，当时，则，且，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，所以函数的最小值为.（2）当时，则，构建，则在内恒成立，可知在内单调递增，则，所以当，.（3）因为的定义域为，且，（i）若，可