2025-2026学年河南驻马店经济开发区高级中学高三下册5月质量检测数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C. D.12.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，且，则实数（）A. B. C.3 D.54.已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（）A. B. C. D.5.已知公差不为0的等差数列满足：，，，成等比数列，则的值为（）A.25 B.27 C.29 D.316.已知函数（其中）在区间上没有零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则的离心率为（）A. B. C. D.8.已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，有，，且当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（）A.若，则点的坐标为B.当的倾斜角为时，C.D.以为直径的圆与直线相切10.如图，已知棱长为2的正方体，，，则下列说法正确的是（）A.B.C.直线与平面所成角的正切值为3D.平面截正方体的截面周长为11.记内角的对边分别是，已知，则下列说法正确的是（）A.B.角的最大值为C.D.的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中常数项为________．13.已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________．14.如图，已知矩形，，，，分别是边，上的动点（不含端点），为边的中点，且，设．记的面积为，则的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.盒中有标记1，2，3，4的小球各2个，随机一次性取出3个小球．（1）求所有取出的小球上的数字之和小于6的概率；（2）记所有取出的小球上数字小于3的个数为，求的分布列与数学期望．16.已知数列的首项，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，证明：．17.如图，圆锥SO的底面直径和母线长均为，其轴截面为，C为底面半圆弧AB上一点，且，．（1）求证：；（2）求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值；（3）在圆锥SO的内部（含表面上的点）作一个圆柱，且圆柱的其中一个底面在圆锥的底面上，记圆锥的体积为，圆柱的体积为，当圆柱的体积最大时，求的值.18.已知函数，其导函数为，．（1）求n的值；（2）函数只有一个极值点，求实数m的取值范围；（3）若恒成立，求实数a的取值范围．19.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线交椭圆于点，，且的周长为12．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于两点，求的周长的取值范围；（3）在轴上是否存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，有为定值，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C. D.1答案：C解析：思路：先利用复数的运算法则，化简得到，结合复数模的计算公式，即可求解.解答过程：由复数的运算法则，可得，则，所以．2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，，则．3.已知向量，，且，则实数（）A. B. C.3 D.5答案：B解析：思路：通过向量坐标的线性运算，将的坐标表示出来，再根据垂直向量数量积为0列出等式，计算实数的值即可．解答过程：，，，由得到，解得．4.已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，令，则，解得，则曲线在处的切线的倾斜角为.5.已知公差不为0的等差数列满足：，，，成等比数列，则的值为（）A.25 B.27 C.29 D.31答案：A解析：解答过程：由，即，得，（舍），．6.已知函数（其中）在区间上没有零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：将看成一个整体，利用余弦函数的图象，判断区间长度，进而计算的取值范围．解答过程：由函数在区间上没有零点，可得区间长度不超过周期的一半，所以，则；故的零点必须满足，或；令，，可得；故或，可得或，因为，故当时，可得或；当时，或，得到的取值范围为．7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设，，根据题意得到，，再在中，利用余弦定理得到，化简即可求出.解答过程：由数量积定义：，在中，根据双曲线的定义，故，设双曲线的焦距为，焦点为和，点在双曲线上，记，，根据双曲线定义有，即，由，得到，所以，在中，，由余弦定理得：，即，即，得到，因此离心率为.8.已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，有，，且当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据递推关系及单调性的定义判断的单调性，再应用赋值法求得、，不等式等价化为，结合单调性求解集.解答过程：任取，，且，因为，所以，因为时，，且，所以，所以，即，所以在上是增函数，令，所以，令，，所以，不等式等价于，所以，即，因为在上是增函数，所以，解得或，所以不等式的解集为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（）A.若，则点的坐标为B.当的倾斜角为时，C.D.以为直径的圆与直线相切答案：ACD解析：思路：利用焦半径公式即可验证A；由点斜式写出直线方程，与抛物线联立解得，即可验证B；设直线的方程为，联立方程组由韦达定理即可验证C；设的中点为，过，，分别作准线的垂线于点，，，则，即可验证D.解答过程：A，因为焦半径，所以，代入，解得，由，所以，故A正确；B，当的倾斜角为时，斜率为，则的方程为，联立方程，得到，则或，因为点在上方，所以，所以，故B错误；C，抛物线的标准方程为，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以直线不与轴重合，设直线的方程为，联立可得，则，由韦达定理可得，则，故C正确；D，设的中点为，过，，分别作准线的垂线于点，，，所以，圆心到准线的距离等于半径，故D正确；10.如图，已知棱长为2的正方体，，，则下列说法正确的是（）A.B.C.直线与平面所成角的正切值为3D.平面截正方体的截面周长为答案：ACD解析：思路：建立空间直角坐标系，检验是否为0即可判断选项；检验与是否存在数量关系即可判断选项；先求出与平面的法向量夹角余弦的绝对值，再利用同角三角函数关系即可判断选项；先取靠近点的四等分点，找到平面即为截面，即可判断选项.解答过程：选项A，以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，所以，，则，所以，故A正确；选项B，因为，，所以，所以不平行，故B错误；选项C，因为正方体，所以平面，因为平面，所以，因为，，，平面，所以平面，即是平面的一个法向量，又，，设直线与平面所成角为，则．所以，所以，所以C正确；选项D，取靠近点的四等分点，易证,，，，四点共面，所以平面即为平面截正方体的截面，所以截面周长为，因此选项D正确.11.记内角的对边分别是，已知，则下列说法正确的是（）A.B.角的最大值为C.D.的取值范围是答案：AD解析：思路：根据正弦定理，余弦定理及基本不等式，分别判断各选项即可求解．解答过程：对于A：因为，所以，由余弦定理知，又，所以，即，故A正确；对于B：由余弦定理知，由基本不等式知，即，当且仅当时，等号成立．所以，又，所以，即角的最大值为，故B错误；对于C：若，则，所以，所以，即，也即，整理得，不合题意，故C错误；对于D：令，由，有，根据余弦定理，，将代入可得，由选项B可知，即，解得，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中常数项为________．答案：解析：思路：由第4项与第8项的二项式系数相等可求出，再根据展开式通项公式求出常数项即可.解答过程：解：由题可知，则，设通项，令，则，所以常数项为.13.已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________．答案：解析：思路：将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可.解答过程：将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程，圆，其圆心，半径，则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为．14.如图，已知矩形，，，，分别是边，上的动点（不含端点），为边的中点，且，设．记的面积为，则的最大值为________．答案：解析：思路：先把边和面积化为角表示，接着求解三角函数的值域，从而确定最大值.解答过程：因为，为边的中点，且，，所以，，，，在中，，同理，在中，，所以，所以，取的中点为，连接，则四边形是正方形，所以是边上的动点（不含端点），所以,即，因为，所以，所以，所以，最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.盒中有标记1，2，3，4的小球各2个，随机一次性取出3个小球．（1）求所有取出的小球上的数字之和小于6的概率；（2）记所有取出的小球上数字小于3的个数为，求的分布列与数学期望．答案：（1）（2）分布列为0123数学期望解析：思路：（1）分析得所有取出的小球上的数字之和小于6的情况，结合古典概型即可求解；（2）分析的所有可能取值为0，1，2，3，分别求得对应概率即可得出分布列，再根据期望公式即可求解期望．（1）记事件为“所有取出的小球上的数字之和小于6”，则，故所有取出的小球上的数字之和小于6的概率为．（2）的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故的分布列为，0123的数学期望为．16.已知数列的首项，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，证明：．答案：（1）（2）证明：由（1）知：，可得，所以，因为，所以．解析：思路：（1）根据题意，化简求得，得到数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）得，利用裂项法求和，求得，进而证得结论．（1）解：因为，所以，所以，所以，所以，又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以数列的通项公式为.（2）证明：由（1）知：，可得，所以，因为，所以．17.如图，圆锥SO的底面直径和母线长均为，其轴截面为，C为底面半圆弧AB上一点，且，．（1）求证：；（2）求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值；（3）在圆锥SO的内部（含表面上的点）作一个圆柱，且圆柱的其中一个底面在圆锥的底面上，记圆锥的体积为，圆柱的体积为，当圆柱的体积最大时，求的值.答案：（1）如图，以为坐标原点，，分别为，轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，则．，，则，所以；（2）（3）解析：思路：（1）建立空间直角坐标系，写出直线的法向量即可证明；（2）写出平面和平面的法向量，代入公式即可求出；（3）设内接圆柱底面圆的半径为，表达出圆柱的体积为，求导判断单调性即可求出.（1）略（2）由题可知，，，，，设平面的法向量为，则令，则，，所以，设平面的法向量为，则令，则，所以，所以，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．（3）由题知，当圆柱的体积最大时，圆柱的上底面圆周在圆锥的侧面上，设此时内接圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，所以圆柱的体积为，所以，所以时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当圆柱的半径为时，取得最大值，此时，又圆锥的体积为，所以．18.已知函数，其导函数为，．（1）求n的值；（2）函数只有一个极值点，求实数m的取值范围；（3）若恒成立，求实数a的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）对函数求导，根据已知得、，化简整理即可求；（2）根据已知有，利用分类讨论及导数研究其极值点求参数范围；（3）问题化为研究恒成立，应用导数研究右侧的最大值，即可得.（1）由题设，，，，则，∴，∵，∴，∴，（2）因为，所以，则，，当时，，则在上单调递增，所以函数不存在极值；当时，令，即，得，令，则恒成立，则在上单调递增，又，所以存在唯一的，使得，当时，，即，所以函数在上单调递减，当时，，即，所以函数在上单调递增，所以仅在处取到极小值，符合题意.综上，函数只有一个极值点时，实数的取值范围为；（3）令，则，令，则，令，则，令，则