【高中解析几何中的轨迹问题分析6700字】

高中解析几何中的轨迹问题分析目录TOC\o"1-3"\h\u9663高中解析几何中的轨迹问题分析 1249621.1直接法 1285611.2定义法 6302831.3代入法 9124431.4几何法 11129651.5参数法 1710941.6交轨法 20解析几何包括平面解析几何、圆锥曲线与方程等两部分内容，在高考数学内容中，解析几何占据十分重要的位置，与其紧密关联的试题内容包含选择题、解答题和填空题.平面解析几何比较注重数形结合，推理运算以及形象思维,综合了代数、三角、几何、向量等知识,并且其知识范围涉及的也比较广范,同时对解题能力的要求也相对于其他方面比较高,基于“多考思维,少考运算”考查理念,近几年的课标卷在解析几何方面都加大了思维能力的考查,减少了对复杂运算的考查.1.1直接法当所要求解的动点满足条件简单明确时，直接按照“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤进行求轨迹方程，称之直接法.例题1已知一抛物线焦点为,有两条直线，分别平行于轴的交于，两点，交的准线于，两点.（1）在线段上，是的中点，证明;（2）的面积是面积的两倍，求中点轨迹方程.分析：（1）假设出两条与轴垂直的直线方程，进而得到五点坐标，之后再通过证明直线与直线的斜率相等；（2）假设直线与轴的交点为通过面积可求的，假设的中点，再根据与轴是否垂直分为两种情况同时结合来求解.解法：由题设,(1)设，则，且记过两点直线为，可得的方程为因为点在线段上，所以.直线的斜率记作，直线的斜率记作则有所以(2)假设与轴交点记作，则可得由假设可知，所以（舍去），假设满足条件的中点是.当直线与轴垂直，与重合.当直线与轴不垂直,由得.即,所以显然直线与轴垂直时，也满足方程综上所述，中点的轨迹方程为例题2已知点动点QUOTE满足直线与的斜率之积为QUOTE的轨迹设为曲线QUOTECC.(1)求解QUOTE的方程式，并且说明QUOTE是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交QUOTE于QUOTEP两点，并且点在第一象限，满足QUOTE轴，垂足为QUOTEE，连接且延长交QUOTECC于点.求证：QUOTE为直角三角形；(ii）求QUOTE面积的最大值.分析:（1）分别求出直线与的斜率，由已知直线与的斜率之积为QUOTE，可以得到等式.化简可以求出曲线的方程，注意直线与有斜率的条件；（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线QUOTE的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出QUOTE的坐标，再求出直线QUOTE的斜率，计算QUOTE的值，就可以证明出QUOTE是直角三角形；（ii）由（i）可知QUOTE三点坐标，QUOTE是直角三角形，求出QUOTE的长，利用面积公式求出QUOTE的面积，利用导数求出面积的最大值.解法：（1）直线QUOTE的斜率为QUOTE，直线QUOTE的斜率为QUOTE，由题意可知：QUOTE，所以曲线QUOTE是以坐标原点为中心，焦点在QUOTE轴上，不含左右两顶点的椭圆，方程式为QUOTE（2）（i）假设直线QUOTE方程为QUOTE，根据题意可得QUOTE，将直线QUOTE的方程与椭圆方程QUOTE联立，即可得QUOTE或QUOTE，点QUOTEP在第一象限，可得QUOTE，所以点的坐标为QUOTE直线QUOTE的斜率为QUOTE所以直线QUOTE方程QUOTE，与椭圆方程联立，QUOTE，消去QUOTEy得，QUOTE设点QUOTE，显然QUOTEQ点的横坐标QUOTE和QUOTE是方程QUOTE的解，所以有QUOTE代入直线QUOTE方程中，得QUOTE所以点QUOTEGG的坐标为QUOTE直线QUOTE的斜率为QUOTE因为QUOTE，所以QUOTE因此QUOTE是直角三角形；（ii）由（i）可知：QUOTE，QUOTEG的坐标为QUOTEQUOTE

QUOTE因为，所以当时，,函数单调递增，当时，,函数单调递减，因此当时，函数有最大值，最大值为教法研析:以上两题揭示了如何利用直接法来求椭圆的标准方程，以及通过直线与椭圆的位置关系，来判断三角形的形状和三角形的面积最大值问题.旨在培养学生的运算能力，以及发现并建立变量间的关系，通过转化的思想、代入的方法轻松解决变量的轨迹问题.即：如果动点的运动轨迹不易判断，但点与其他已知动点的关系易于建立，则可建立动点间等量关系式，用点表示已知动点代入即可得到轨迹方程.例题3在平面直角坐标系QUOTExOy当中，点QUOTE到点QUOTE的距离比其到轴的距离要多，点QUOTE的轨迹记为QUOTE.(1)求解轨迹为的方程；(2)有斜率为的直线过定点，当直线与轨迹恰好分别有一个公共点、两个公共点、三个公共点时相应取值范围.分析:（1）假设QUOTE点的坐标，根据由题意列等式，整理即可得出轨迹QUOTEC的方程；（2）假设直线的方程为QUOTE，将（1）中的轨迹方程联立转化为关于的一个一元二次方程，求出判别式.再根据直线QUOTE取QUOTEy=0得出QUOTE，最后分判别式小于0、等于0、大于0，再结合QUOTE求解出使直线与轨迹QUOTE恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时相应的取值范围.解法：（1）假设点QUOTE根据题意得QUOTE,即QUOTE化简可得QUOTE,所以点QUOTE的轨迹QUOTE的方程为QUOTE.所以点MQUOTE的轨迹QUOTEC的方程为QUOTE在点轨迹CQUOTE中，记QUOTE根据题意，可假设直线的方程为QUOTE再根据方程组QUOTE得出QUOTE①（i）当QUOTEk=0时，QUOTEy=1..把代入到轨迹的方程，得到QUOTE所以此时直线QUOTEl:y=1与轨迹刚好有一个公共点QUOTE(ii)当时，方程①的判别式就为QUOTE②假设直线与QUOTE轴的交点QUOTE则根据QUOTE令QUOTEy=0,得出QUOTE③1.如果QUOTE由②③解出QUOTE或QUOTE即QUOTE时，直线与QUOTE就没有公共点，与只有一个公共点，所以此时直线与轨迹恰好就有一个公共点.2.如果QUOTE或QUOTE由②③解出QUOTE或QUOTE即QUOTE时，直线QUOTE与QUOTE有一个公共点，与QUOTE也只有一个公共点.QUOTE时，直线QUOTE与QUOTE将有两个公共点，与QUOTE则没有公共点.1.如果QUOTE由②③解出QUOTE或QUOTE.即当QUOTE时，直线与QUOTE则有两个公共点，与QUOTE有一个公共点，所以此时直线QUOTE与轨迹QUOTE恰好就有三个公共点.综合（1）（2）可知，当QUOTE时，直线QUOTE与轨迹QUOTE恰好就有一个公共点；当QUOTE时，直线QUOTE与轨迹QUOTE恰好就有两个公共点；当QUOTE时，直线与轨迹QUOTE恰好就有三个公共点.教法研析：在引导学生解决解析几何题时，需将已知条件和解题要求分析清楚进而判断使用什么方法可以达到解题目的.判断清楚后，采用相应的解题方法进行解析.采用直接法将进行解题时，首先应先明确我们所求的动点要满足的所有条件.指导学生建立直角坐标系从而假设出所求点坐标，梳理题目当中所给出的条件带入到坐标系中建立方程，整理化简求解，最后将限制条件进行补充说明.最终就可求出轨迹方程.1.2定义法定义法就是先分析、说明动点的轨迹来满足某种特殊曲线（如抛物线、椭圆、双曲线、圆等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而可得轨迹方程.例题4已知圆，圆，动圆QUOTE与圆外切且与圆内切，且圆心的轨迹为曲线.求解的方程；一条直线是与圆,圆都相切，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求出.解法：由已知得圆的圆心为,半径，圆的圆心为,半径设动圆的圆心为半径为圆与圆外切并且与圆内切.根据椭圆的定义可知，曲线是以为左右焦点，长半轴为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），则方程为（2）曲线上任意一点，且当且仅当圆的圆心为时，当圆的半径最长时，方程式为当的倾斜角是时，根据知不平行轴，假设于圆相切得，解得当时，把代入并整理可得解出当时，根据图形的对称性可得出或假设圆心线段的中点为,由几何图像知点设，由题知直线方程为：所以，直线过定点例题5矩形QUOTE的两条对角线相交于点QUOTE边所在直线的方程为QUOTE点QUOTE在QUOTE边所在直线上.求出QUOTE边所在直线方程；求出矩形QUOTE外接圆方程；如果动圆QUOTE过点QUOTE同时与矩形QUOTE的外接圆外切，求出动圆QUOTE的圆心轨迹方程.解法：（1）由于QUOTE边所在直线方程为QUOTE并且QUOTE与QUOTE垂直，所以直线QUOTE的斜率是QUOTE又由于点QUOTE在直线QUOTE上，所以QUOTE边所在直线方程可记为QUOTE(2)根据QUOTE解出点QUOTE的坐标为QUOTE由于矩形QUOTE两条对角线的交点为QUOTE可得出QUOTE为矩形QUOTE外接圆的圆心.又由于QUOTE进而矩形QUOTE外接圆的方程为QUOTE由于动圆QUOTE过点QUOTE,所以QUOTE是该圆的半径，又根据动圆QUOTE与圆外切，可得QUOTE即QUOTE.故点QUOTE的轨迹以QUOTE为焦点，实轴长为QUOTE的双曲线左支.由于实半轴长QUOTE半焦距QUOTE可得虚半轴长从而动圆QUOTE的圆心的轨迹方程为QUOTE教法研析：在启发学生以上解析几何题时，通过题目所给的已知条件来告诉学生要使用定义法是不容易判断的.所以在指导过程中我们还是要先分析题目，充分挖掘题目所给的信息并转换得出我们所需要的已知条件，在得到的所有已知信息基础上便可以轻松的分析判断出动点满足的特殊曲线的定义或则特征，从而可求出该曲线相关参量，最后得到轨迹方程.若动点的运动规律满足我们已知的某种曲线（抛物线、双曲线、圆、椭圆等）的定义，可以先假设出轨迹方程，再通过已知的条件，待定方程中的常数，就可最终得出轨迹方程.1.3代入法若题目当中同时有多个动点，用所求的动点QUOTE坐标QUOTE来表示其他动点的坐标，再代入其他动点需要满足的条件或者轨迹方程当中，化简整理即可得出动点QUOTE的轨迹方程，称为代入法，也称为相关点法、转移法.例题6已知椭圆QUOTE的两个焦点分别为QUOTE且椭圆QUOTE经过点QUOTE.求椭圆QUOTE的离心率；若过点QUOTE的直线QUOTE与椭圆QUOTE交于QUOTE两点，且点QUOTE是线段QUOTE上的点，QUOTE求解点QUOTE的轨迹方程.解法：(1)QUOTE所以，QUOTE又根据QUOTE可得出椭圆QUOTE的离心率QUOTE.(2)根据（1）可知椭圆的方程为QUOTE假设点的坐标为QUOTE直线QUOTE与轴垂直时，直线与椭圆QUOTE交于QUOTE两点，则QUOTE点坐标为QUOTE直线QUOTE与QUOTE轴不垂直时，假设直线QUOTE的方程为QUOTE由于QUOTE在直线上，可假设点的坐标分别为QUOTE则有QUOTE且QUOTE根据QUOTE得出QUOTE即QUOTE①把QUOTE代入QUOTE当中，得出QUOTE根据QUOTE得出QUOTE根据②可得QUOTE代入①中并化简得QUOTE③由于点QUOTE在直线QUOTE上，所以QUOTE，代入③中并化简可得QUOTE根据③及QUOTE可得QUOTE即QUOTE又QUOTE满足QUOTE所以QUOTE根据题意，QUOTE在椭圆QUOTE内部，所以QUOTE又因为QUOTE有QUOTE且则QUOTE所以点QUOTE的轨迹方程为QUOTE其中，QUOTE教法研析：在指导学生使用代入法时，我们应该先明确有多少个不明确的动点，如何将几个动点产生联系并表示出来，假设出一个动点的坐标，然后利用题目当中所给的已知条件将其他的动点坐标表示出来，进而减少未知量，有利于后续的解题.将这些动点坐标都带入到各自满足的条件当中，从而就可以求解出轨迹方程.若动点的运动是根据另外某一点运动引来的，并且该点的运动规律已经知道，（该点坐标满足已知曲线条件），则可假设出，用表示相关点的坐标，之后再把的坐标代入到已知曲线方程，即可得出动点的轨迹方程.1.4几何法几何法就是指通过平面几何或者解析几何知识来分析研究图形的性质，发现其中动点的运动规律以及需要满足的条件，从而得出动点的轨迹方程.例题7设圆QUOTE的圆心为QUOTE,直接QUOTE过点QUOTE且与QUOTE轴不重合，QUOTE交圆QUOTE于QUOTE两点，过QUOTE作QUOTE的平行线交QUOTE于点QUOTE.证明QUOTE为定值，并写出点QUOTE的轨迹方程；设点的轨迹为曲线QUOTE,直线QUOTE交于QUOTE两点，过QUOTE且与QUOTE垂直的直线与圆交于QUOTE两点，求四边形QUOTE面积的取值范围.解法:(1)圆QUOTE如图，因为QUOTE所以QUOTE因为QUOTE所以QUOTE所以QUOTE,所以QUOTE所以QUOTE所以QUOTE的轨迹是以QUOTE为焦点，长轴长为4的椭圆，则QUOTE的轨迹方程为QUOTE直线QUOTE的斜率不为0，设QUOTE，因为QUOTE，设QUOTE，联立QUOTE与椭圆QUOTE得QUOTEQUOTE设QUOTE则QUOTE则QUOTE圆心QUOTE到QUOTE距离QUOTE所以QUOTEQUOTE例题8已知圆QUOTE与过原点的动直线QUOTE相交于QUOTE两点.求出圆QUOTE的圆心坐标；求出线段QUOTE中点QUOTE的轨迹QUOTE的方程；问是否存在一实数QUOTE使直线QUOTE与曲线QUOTE有且只有一个交点？如果存在，请求QUOTE的取值范围；如果不存在，请说明理由.解法：（1）将圆QUOTE的方程转化为标准方程可得QUOTE得出圆QUOTE的圆心坐标QUOTE（2）假设线段QUOTE的中心为QUOTE根据圆的性质得QUOTE垂直于直线QUOTE.进而可假设直线的方程QUOTE（显然直线的斜率是存在的），可得QUOTE，QUOTE所以QUOTE即QUOTE由于动直线与圆QUOTE相交，所以QUOTE可得QUOTE从而QUOTE所以QUOTE由于QUOTE满足QUOTE即可得QUOTE的轨迹QUOTE的方程为QUOTE根据题意可知直线QUOTE表示为过定点QUOTE并且斜率是QUOTE的直线.结合图形，QUOTE表示为一段关于QUOTE轴对称，并且起点是QUOTE按逆时针运动到QUOTE的一个圆弧图形，由于其具有对称性，只需要我们求解在轴对称下方的圆弧.假设QUOTE则QUOTE当直线QUOTE与轨迹QUOTE相切时，QUOTE可得QUOTE当暂取由于QUOTE可得出QUOTE再结合图形，可以得出对于轴对称下方的圆弧图形，当QUOTE或者QUOTE时，直线QUOTE与QUOTE轴对称下方的圆弧将会只有一个交点，由于对称性可知QUOTE或综上所述：当或时，直线QUOTE与曲线QUOTE只有一个交点.例题9如图，QUOTE是抛物线QUOTE上面的一点，直线QUOTE过点QUOTE并且与抛物线QUOTE交于另一点QUOTE当直线QUOTE与过点QUOTE的切线垂直时，求线段QUOTE中点QUOTE的轨迹方程；当直线QUOTE不过原点并且与QUOTE轴交于点QUOTE与QUOTE轴交于点QUOTE求QUOTE的取值范围.解法：（1）假设QUOTE根据题意QUOTE由QUOTE,①得QUOTE过点QUOTE得切线的斜率QUOTE不符合题意，QUOTE直线的斜率为QUOTE直线的方程可得QUOTE,方法一：联立①②消去可得QUOTE.QUOTE是QUOTE的中点，QUOTE消去QUOTE可得QUOTE方法二：由QUOTE得QUOTE即QUOTE再将上述式子代入②并整理，可得QUOTEQUOTE中点QUOTE的轨迹方程是QUOTE中点QUOTE的轨迹方程是QUOTE（2）假设直线QUOTE根据题意QUOTE则QUOTE分别过QUOTE作QUOTE轴，QUOTE轴，垂足分别为QUOTE可得QUOTE根据QUOTE消去QUOTE可得QUOTE③则QUOTE方法一：QUOTEQUOTE取一切不相等的正数，取值范围为QUOTE.方法二：QUOTE当QUOTE时，QUOTE当QUOTE时，QUOTE又因为方程③有两个相异实根，可得QUOTE所以QUOTE即QUOTE所以QUOTE当QUOTE时，QUOTE取一切正数，QUOTE取值范围为QUOTE方法三：根据QUOTE三点共线可得QUOTE即QUOTE则QUOTE即QUOTE于是QUOTEQUOTE取一切不等于1的正数，QUOTE取值范围为QUOTE教法研析：在引导学生利用几何法求解解析几何问题时，应该先引导学生回忆平面几何或者解析几何图形的有关性质，并在题当中找到与之符合的条件，进而得到新的结论，在此基础上面发现动点的运动规律与满足的条件，最后可得动点轨迹方程.如果所求轨迹满足某些几何性质（如线段的角平分线，垂直平分线性质等等）可用几何法，首先列出几何式，再代入点的坐标就相对比较简单.1.5参数法参数法就是指引入一个中间变量（参数），使得所求动点横、纵坐标间建立起联系，之后再从所求得式子当中消去参数，从而得出QUOTE间的直接关系式，进而得出所求轨迹方程.例题10已知椭圆QUOTE的一个焦点为QUOTE离心率为QUOTE求出椭圆QUOTE的标准方程；如果动点QUOTE为椭圆外的一点，并且点QUOTE到椭圆的两条切线互相垂直，求出点的轨迹方程.解法：（1）可知QUOTE又QUOTE椭圆的标准方程为QUOTE（2）设两切线为QUOTE①当QUOTE轴或轴时，对应轴或轴，可知QUOTE②当QUOTE与QUOTE轴不垂直且不平行时，QUOTE设QUOTE的斜率为，则QUOTE的斜率为QUOTEQUOTE的方程为QUOTE联立QUOTE得QUOTE因为直线与椭圆相切，所以QUOTE得QUOTEQUOTE所以QUOTE是方程QUOTE的另一个根，QUOTE得QUOTE其中QUOTE所以点的轨迹方程为QUOTE因为QUOTE满足上式，综上知：点的轨迹方程为QUOTE另解：（1）小题为送分题，易得标准方程为QUOTE(2)设两切线为QUOTE依题意可设：QUOTE代入椭圆方程，得QUOTEQUOTE由QUOTE得QUOTE化简得QUOTE（1）同理可得QUOTE即QUOTE（2）（1）+（2）得QUOTE化简得QUOTE故点的轨迹方程是QUOTE教法研析:该题以椭圆为载体，培养学生解决动点轨迹方程直线和圆锥曲线的位置关系的能力，由于将直线与二次曲线的公共点的个数利用QUOTE的符号来进行转化，计算量较大，进而培养了学生方程思想的灵活应用.例题11如图，抛物线QUOTE点QUOTE在抛物线QUOTE上，过作的切线，切点为QUOTE(为原点时，重合于)QUOTE切线的斜率为QUOTE.（1）求的值；（2）当QUOTE在上运动时，求线段中点的轨迹方程.（重合于时，中点为）.解法：（1）根据抛物线QUOTE上任意一点的切线斜率为QUOTE并且切线的斜率为QUOTE，可得点坐标为QUOTE所以切线的方程为QUOTE由于点QUOTE在切线及抛物线上，可得QUOTE①QUOTE②由①②得QUOTE(2)设QUOTE由为线段中点知QUOTE③QUOTE④切线QUOTE的方程为QUOTE⑤QUOTE⑥由⑤⑥得的交点QUOTE的坐标为QUOTE因为点在QUOTE上，QUOTE所以QUOTE⑦由③④⑦得QUOTE当QUOTE时，QUOTE重合于原点QUOTE中点QUOTE为QUOTE教法研析：在启发学生用参数法解决解析几何问题时，需要让学生充分解读出题目中的所给的信息，并将各个信息之间建立联系，通过设出参数来建立起桥梁，使所求动点的横坐标和纵坐标产生联系，通过消除所得式子当中的参数就可以得到的动点横坐标与纵坐标的直接关系了，最终求出轨迹方程.若用直译法求解轨迹方程难达到目的，则可以引导学生引发动点运动的某个几何量，用此量作为参变数，从而分别建立点坐标与该参数的函数关系，最终可通过消参化为轨迹的普通方程1.6交轨法当求解两个曲线的交点轨迹时，可以考虑用方程直接消掉参数，或者先引入参数建立起这些动曲线的某种联系，最终再消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例题12如图，椭圆QUOTE，动圆QUOTE点分别为的左右顶点，与QUOTE相较于QUOTE四点.求直线QUOTE与直线QUOTE交点QUOTE的轨迹方程；设动圆QUOTE与相交于QUOTE四点，其中QUOTE若矩形与矩形QUOTE的面积相等，证明;QUOTE为定值.解法：(1)设QUOTE又因为QUOTE则直线QUOTE的方程是QUOTE①直线QUOTE的方程是QUOTE②根据①②可得QUOTE③又因为点QUO