2025-2026学年江苏东台市第一中学高一下册阶段学情调研数学试题 含解析

/数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.）1.已知复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（）A. B. C. D.12.下列命题正确的个数为（）（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面（2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行（3）如果直线，和平面满足，，那么（4）如果直线，和平面满足，，，那么A.1 B.2 C.3 D.43.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.4.已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的值为（）A. B.-2 C.或-2 D.或-25.设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）A. B.9 C. D.17.的值为（）A.1 B. C. D.28.在锐角中，角A，B，C的边分别为a，b，c,为的面积，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.）9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.10.下列说法正确的是（）A.若i为虚数单位，为正整数，则B.若、互为共轭复数，则为实数C.若是纯虚数，则D.复数满足，则的最大值为11.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（）A.B.的取值范围为C.取值范围为D.若的平分线交于，，，则三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）12.有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），，，，则原多边形面积为________.13.已知圆锥的轴截面为等边三角形，是底面的内接正三角形，点在上，且.若平面，则实数__________.14.中，为边延长线上一点，，，，且的面积为，若点在线段上，满足，则的值为________.四、解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15.已知，，与的夹角为.（1）求；（2）若向量与相互垂直，求实数的值.16.已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根.（1）设、满足方程，求，；（2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.17.在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.（1）求的值；（2）若角满足，求的值.18.如图，在长方体中，，，点为棱上一点.（1）试确定点的位置，使得平面，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小.19.如图，已知中，，，，，为线段上两点，且.（1）若，求的值；（2）设，试将的面积表示为的函数，并求其最大值；（3）若，求的值.

数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.）1.已知复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（）A. B. C. D.1答案：B解析：解答过程：因为复数，由题意可得，解得.2.下列命题正确的个数为（）（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面（2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行（3）如果直线，和平面满足，，那么（4）如果直线，和平面满足，，，那么A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解析：思路：对于（1）考虑到a可能与b在同一平面内即可判断；对于（2）根据直线与平面平行性质即可判断；对于（3）直线平行不能通过平面传递；（4）综合直线与平面平行性质与判定.解答过程：（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面，错误，理由如下：还有可能在经过的平面内；（2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行，错误，理由如下：直线与平面内的直线平行或异面；（3）如果直线，和平面满足，，那么，错误，理由如下：直线，还可能相交或异面；（4）如果直线，和平面满足，，，那么，正确，理由如下：若，则存在使得，又，所以.3.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用正弦定理求出角，然后再求解的值.解答过程：由，，，可得，所以，.4.已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的值为（）A. B.-2 C.或-2 D.或-2答案：D解析：思路：使用投影向量的概念求出在上的投影向量，再求出的值.解答过程：由于在上的投影向量为,又，所以，，解得或-2.5.设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据直线与平面垂直的判定与性质可直接解决本题.解答过程：由于题干未指定与n为平面内两条相交直线，故且不能必然推出，故“且”是“”的不充分条件；，故“且”是“”的必要条件.所以，“且”是“”的必要不充分条件.6.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）A. B.9 C. D.1答案：C解析：思路：利用正弦定理可得，结合三角恒等变换运算求解.解答过程：因为，由正弦定理可得，且，即，整理可得，所以.7.的值为（）A.1 B. C. D.2答案：C解析：思路：运用和差化积公式进行化简分子部分变为，再使用诱导公式、二倍角公式化简分母，从而让问题得到解决.解答过程：运用和差化积公式进行化简，得.8.在锐角中，角A，B，C的边分别为a，b，c,为的面积，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：结合余弦定理，应用三角形面积公式化简得，求出角，再使用正弦定理边化角得，根据正切函数性质及不等式性质求出的取值范围，进而利用对勾函数单调性求解即可.解答过程：，又，所以，即，即，由于，所以，由正弦定理可知，，，由于，所以，设，则，，由于函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以，的取值范围为.二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.）9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.答案：BC解析：解答过程：对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，因，则，即，C正确；对于D，，D错误.10.下列说法正确的是（）A.若i为虚数单位，为正整数，则B.若、互为共轭复数，则为实数C.若是纯虚数，则D.复数满足，则的最大值为答案：AD解析：思路：对于A：根据虚数单位的性质运算求解；对于BC：举反例说明即可；对于D：分析可知点的轨迹是以坐标原点为圆心，半径的圆，结合圆的性质运算求解.解答过程：对于选项A：，故A正确；对于选项B：例如，则，可得不为实数，故B错误；对于选项C：例如为纯虚数，则，故C错误；对于选项D：设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，即，可得点的轨迹是以坐标原点为圆心，半径的圆，则，所以的最大值为，故D正确.11.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（）A.B.的取值范围为C.取值范围为D.若的平分线交于，，，则答案：ABD解析：思路：先通过正弦定理将边化为角，利用和差角公式对已知条件进行三角恒等变形，推导出核心关系；再结合锐角三角形的条件，列出三个角的不等式组，求出角的取值范围，选项A直接验证关系；选项B通过正弦定理将边的比值转化为关于的函数，结合函数单调性求值域；选项C根据的范围判断的取值范围；选项D利用角平分线的面积关系建立等式，结合半角公式进行计算即可判断.解答过程：选项A：由正弦定理，得，代入得：，所以，所以，由，得，故，于是，在三角形中，解得，即，故选项A正确；选项C：因为△ABC为锐角三角形，所以，解得：，故，故选项C错误；选项B：，因为，令，则，函数在该区间单调递增，，，所以，故选项B正确；选项D：因为，且为锐角，得：由，得：，所以，因为AD是的平分线，由面积关系，得：所以，因为，代入得：，两边同除以：，由三角恒等式，得：又因为，所以，故选项D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）12.有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），，，，则原多边形面积为________.答案：解析：思路：根据所给的直观图中直角梯形的数据求出梯形面积，根据原来的平面图形面积是直观图面积的倍，求出平面图形的面积.解答过程：因为，，，则，，可得直观图的面积为，所以原多边形面积为.13.已知圆锥的轴截面为等边三角形，是底面的内接正三角形，点在上，且.若平面，则实数__________.答案：##解析：思路：延长交圆于点，设，求出三边边长，分析可知，利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可.解答过程：如图，延长交圆于点，由题意可知，、均为等边三角形，设，由正弦定理可得，则，易知为的中点，则，，则，，因为平面，平面，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得.故答案为.14.中，为边延长线上一点，，，，且的面积为，若点在线段上，满足，则的值为________.答案：##解析：思路：根据题意可得，利用余弦定理解得，，进而可得和.解答过程：在中，因为，，则的面积为，即，则，可得，在中，设，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），即，，且，，在中，由余弦定理可得，即，在中，由余弦定理可得，且，所以.四、解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15.已知，，与的夹角为.（1）求；（2）若向量与相互垂直，求实数的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由数量积的定义可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解即可；（2）根据向量垂直可得，结合数量积的运算律求解即可.（1）因为，，，则，所以.（2）若向量与相互垂直，则，即，解得.16.已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根.（1）设、满足方程，求，；（2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.答案：（1），（2）解析：思路：（1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数，设，则，再利用方程求解；（2）利用复数的几何意义表示向量，再根据向量与的夹角为钝角，最后利用向量的数量积求出实数的取值范围.（1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数，设，则，那么代入可得，即，则有，故.（2）设，则，故与，那么，，由于向量与的夹角为钝角，那么且向量与不共线，则解得且，故实数的取值范围为.17.在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.（1）求的值；（2）若角满足，求的值.答案：（1）（2）或解析：思路：（1）根据题意结合三角函数值的定义分析求解即可；（2）分析可知，根据两角和差公式运算求解，注意讨论的符号性.（1）因为角的终边过点，且，则，，所以.（2）因为，又因为，则，若，则；若，则.18.如图，在长方体中，，，点为棱上一点.（1）试确定点的位置，使得平面，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小.答案：（1）点为棱的中点，理由见解析（2）解析：思路：（1）点为的中点，连接中点与点，则为中位线，则，根据线面平行判定即可求解；（2）根据线线平行找到异面直线的所成角，即可结合三角形边角关系求解.（1）点为的中点，设与相交于点，连接，则为中位线，则，平面，平面所以，平面（2）由（1）知，，所以即为异面直线与所成角或其补角.因为，所以，，且，所以，在中，.又，所以.故异面直线与所成角的大小为.19.如图，已知中，，，，，为线段上两点，且.（1）若，求的值；（2）设，试