第五章 提升 练习1　导数中的函数构造问题

提升课练习1导数中的函数构造问题一元函数的导数及其应用第五章

高中数学

选择性必修

第二册必备知识练关键能力练拓展突破练必备知识练

1.

(2025·广东广州高二期末)函数的定义域为R，f(2)＝－1，对任意

x∈R，f'(x)＜－1，则f(x)＞1－x的解集为(

A

)A.

(－∞，

2)B.

(2，

＋∞)C.

(－1，1)D.

(1，

＋∞)A12345678910111213141516【解析】令g(x)＝f(x)＋x，∵对任意x∈R，f'(x)＜－1，∴g'(x)＝f'(x)＋1＜0，即g(x)在R上单调递减，

又f(2)＝－1，∴g(2)＝f(2)＋2＝1，

由f(x)＞1－x，可得f(x)＋x＞1，即g(x)＞g(2)，∴x＜2，即不等式f(x)＞1－x的解集为x∈(－∞，2).123456789101112131415162.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf'(x)＋f(x)≤0，对任意的0＜a＜b，则必有(

A

)A.

af(b)≤bf(a)B.

bf(a)≤af(b)C.

af(a)≤f(b)D.

bf(b)≤f(a)A12345678910111213141516

123456789101112131415163.

(2025·重庆沙坪坝期末)设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，

若f(x)＋f'(x)＞0，f(1)＝1，则不等式f(x)＞e1－x的解集为(

B

)A.

(0，＋∞)B.

(1，＋∞)C.

(－∞，0)D.

(0，

1)【解析】构造函数g(x)＝f(x)·ex，则g'(x)＝[f'(x)＋f(x)]·ex＞0，故g(x)在R上单调递增，g(1)＝e，f(x)＞e1－x可化为g(x)＞e＝g(1)，故原不等式的解集为(1，＋∞).B12345678910111213141516

A.

(，＋∞)B.

(，＋∞)C.

(，＋∞)D.

(3，＋∞)C12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

(0，＋∞)B.

(1，＋∞)C.

(－∞，0)D.

(0，1)A12345678910111213141516【解析】令g(x)＝e3xf(x)，则g'(x)＝3e3xf(x)＋e3xf'(x)，∵3f(x)＋f'(x)＞0，∴3e3xf(x)＋e3xf'(x)＞0，∴g'(x)＞0，∴函数g(x)＝e3xf(x)在R上是增函数，又f(x)＞e－3x可化为e3xf(x)＞1，且g(0)＝e3×0f(0)＝1，∴g(x)＞g(0)，解得x＞0，∴不等式f(x)＞e－3x的解集为(0，＋∞).123456789101112131415166.函数f(x)的导函数为f'(x)，对任意的正数x都有2f(x)＞xf'(x)成立，则(

A

)A.

9f(2)＞4f(3)B.

9f(2)＜4f(3)C.

9f(2)＝4f(3)D.

9f(2)与4f(3)的大小不确定A12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

(0，

)B.

(0，

)C.

(，π)D.

(，π)B12345678910111213141516

123456789101112131415168.

(多选)已知f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且(x＋1)·f'(x)＞f(x)，则

下列不等式中，一定成立的是(

BD

)A.

3f(4)＜4f(3)B.

4f(4)＞5f(3)C.

3f(3)＜4f(2)D.

3f(3)＞4f(2)BD12345678910111213141516

123456789101112131415169.

(多选)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)＜f(x)对任意的x∈R恒

成立，则(

AB

)A.

f(ln

2)＜2f(0)B.

f(2)＜e2f(0)C.

f(ln

2)＞2f(0)D.

f(2)＞e2f(0)

AB12345678910111213141516

a＜b＜c

12345678910111213141516

12345678910111213141516

(0，＋∞)

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516必备知识练关键能力练拓展突破练关键能力练13.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x)，满足f'(x)＞

f(x)且

y＝f(x＋1)是偶函数，f(0)＝2e2，求不等式f(x)＜2ex的解集.

1234567891011121314151614.已知函数f(x)＝(x2＋ax)ln

x，a∈R.

(1)若f(x)的图象在x＝1处的切线经过点(0，

－2)，求a的值；

(2)当1＜x＜e2时，不等式f(x)＜x2恒成立，求a的取值范围.12345678910111213141516

12345678910111213141516必备知识练关键能力练拓展突破练拓展突破练

(－1，0)∪(1，＋∞)

12345678910111213141516

∴在(－∞，0)上，g(x)＞0的解集为(－∞，－1)，g(x)＜0的解集为(－1，0).由x2f(x)＞0，得f(x)＞0(x≠0).又f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，∴不等式x2f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞).12