线性代数彭玉芳第一章维向量和线性方程组

线性代数彭玉芳第一章维向量和线性方程组第1页，共77页。(一)、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组由消元法，得当时，该方程组有唯一解第2页，共77页。求解公式为二元线性方程组

请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.第3页，共77页。其求解公式为二元线性方程组我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.记号数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即其中，称为元素.i为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第j

列.原则：横行竖列第4页，共77页。二阶行列式的计算主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积——对角线法则例1计算行列式第5页，共77页。二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为第6页，共77页。例2求解二元线性方程组解因为所以第7页，共77页。练习：1.计算2.解方程组第8页，共77页。2.二元线性方程组

若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为小结：1.二阶行列式第9页，共77页。(二)、三阶行列式定义设有9个数排成3行3列的数表原则：横行竖列引进记号称为三阶行列式.主对角线副对角线二阶行列式的对角线法则并不适用！第10页，共77页。三阶行列式的计算——对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.第11页，共77页。也可以将前两列写在后面，然后按照实线乘积取正，虚线乘积取负的和。第12页，共77页。例1

计算行列式解按对角线法则，有第13页，共77页。补充例2

计算行列式解按对角线法则，有第14页，共77页。方程左端解由得补充例3

求解方程第15页，共77页。练习：计算行列式第16页，共77页。小结：三阶行列式三阶行列式的计算作业：11页,习题一1题（4）（6）（8）（10)第17页，共77页。二、行列式的性质行列式称为行列式的转置行列式.若记，则.记性质1

行列式与它的转置行列式相等,即.第18页，共77页。性质1

行列式与它的转置行列式相等.证明根据行列式的定义，有若记，则行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.第19页，共77页。以三阶行列式为例验证：第20页，共77页。性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.验证于是备注：交换第行（列）和第行（列），记作.第21页，共77页。性质3如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有，所以.

性质4如果行列式有一行（列）全为零，则此行列式为零第22页，共77页。性质5

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数乘以此行列式.验证我们以三阶行列式为例.记根据三阶行列式的对角线法则，有备注：第行（列）乘以，记作.第23页，共77页。推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．备注：第行（列）提出公因子，记作.第24页，共77页。验证我们以4阶行列式为例.推论2

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．第25页，共77页。性质6

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和，而且这两个行列式除了这一行（列）以外，其余的元素与原来的行列式对应元素相同。则例如：第26页，共77页。验证我们以三阶行列式为例.第27页，共77页。性质7

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．则验证我们以三阶行列式为例.记备注：以数乘第行（列）加到第行（列）上，记作.第28页，共77页。小结:行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.性质3如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质4如果行列式有一行（列）全为零，则此行列式为零性质5行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式.推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式

为零第29页，共77页。性质6若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和，而且这两个行列式除了这一行（列）以外，其余的元素与原来的行列式对应元素相同。性质7把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．作业：习题一1（4）（6）（8）（9）（10）2、3。第30页，共77页。三、行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.第31页，共77页。一、引言结论三阶行列式可以用二阶行列式表示.思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？第32页，共77页。把称为元素的代数余子式．在三阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，留下来的二阶行列式叫做元素的余子式，记作

.结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.第33页，共77页。例如：三阶行列式中代数余子式：余子式：第34页，共77页。定理

三阶行列式D等于它的任意一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：或

．或简写为：证明略！第35页，共77页。这样我们可以通过计算三个二阶行列式来计算三阶行列式这个定理称为拉普拉斯定理。例2将行列式按第一行，第三列展开。解：按第一行展开得：第36页，共77页。按第三列展开：第37页，共77页。推论三阶行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即或

．推论还可以写成：第38页，共77页。证明：行列式第i行（i=2）第j行（j=3）在D中的第3行用第2行元素代替，有从而有：同理可证第39页，共77页。

为叙述方便，引进以下记号：（1）交换行列式的两行（列），记为；（2）第行（列）乘以，记作作第行（列）提出公因子，记作；（3）将行列式的第行（列）乘加到第行（列）上，记为．．第40页，共77页。例3

计算解：第41页，共77页。

四、n

阶行列式定义称由个数排成行列组成的记号为阶行列式，简记为．

．

第42页，共77页。例如把称为元素的代数余子式．在n阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作.结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.第43页，共77页。n

阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（按第i行展开）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即（i行与j列)综上所述，有同理可得第44页，共77页。例4由定义可得第45页，共77页。例5计算下面行列式的值：解：按展开第46页，共77页。按展开第47页，共77页。例6证明证明：左边加到提取公因子一列乘（-1）加到其它列第48页，共77页。例7解方程解法1所以方程的解为第49页，共77页。解法2将x=1代入行列式得同样将x=2，x=3代入行列式，值为0。所以，x=1，x=2，x=3是方程的根。又因为方程最多有三个实根，所以，方程的解为x=1，x=2，x=3第50页，共77页。

证明用数学归纳法例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2时(1)式成立.第51页，共77页。假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行减去前行的倍：按照第1列展开，并提出每列的公因子，就有第52页，共77页。n−1阶范德蒙德行列式第53页，共77页。例计算行列式解第54页，共77页。第55页，共77页。例设,的元的余子式和代数余子式依次记作和，求分析利用及第56页，共77页。解第57页，共77页。第58页，共77页。第59页，共77页。小结：定理

三阶行列式D等于它的任意一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：推论三阶行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零。以上结论可推广到n阶行列式。理论上，任意阶的行列式都可以计算了。第60页，共77页。第一章行列式内容提要

§1行列式的定义、性质及计算一、二阶与三阶行列式二、行列式的性质三、行列式的展开 四、n

阶行列式

§2克拉默法则行列式的概念.行列式的性质及计算.——

线性方程组的求解.

行列式是线性代数的一种工具！学习行列式主要就是要能计算行列式的值.第61页，共77页。§2克拉默法则含有n个未知量n个方程组成的方程组解的问题第62页，共77页。二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为第63页，共77页。一、克拉默法则定理：如果线性方程组的系数行列式不等于零，即第64页，共77页。其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成第65页，共77页。证明：用D中的第j列的各元素的代数余子式（j=1,2,…n)依次去乘方程（1）的第一、第二、…个方程，再将等式两端相加，得：根据上节的定理和推论有：所以

第66页，共77页。定理中包含着三个结论：方程组有解；（解的存在性）解是唯一的；（解的唯一性）解可以由公式(2)给出.这三个结论是有联系的.应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论.第67页，共77页。关于克拉默法则的等价命题定理1

如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.定理2

如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.设第68页，共77页。例1求解线性方程组解：第69页，共77页。按