第四章最优投资组合理论

第四章最优投资组合理论第1页，共110页。在对证券市场进行分析的基础上，投资者确定最优的证券组合：从可行的投资组合中确定最优的风险-回报机会，然后决定最优的证券组合——最优证券组合理论选择的目标：使得均值-标准差平面上无差异曲线的效用尽可能的大选择的对象：均值-标准差平面上的可行集第2页，共110页。第3页，共110页。证券组合理论的三个基本原理：投资者厌恶风险，投资在风险证券需要风险酬金不同投资者对待证券组合风险-期望回报率的态度不同，以效用函数来刻画正确衡量一个证券的方式是看它对整个证券组合波动的贡献。第4页，共110页。第5页，共110页。证券组合选择问题通过分析资本市场，一个中心的事实是，风险资产的回报平均来说高于无风险资产的回报，而且回报越高，风险越大。第6页，共110页。第7页，共110页。一期投资模型：投资者在期初投资，在期末获得回报。一期模型是对现实的一种近似，如对零息债券、欧式期权的投资。虽然许多问题不是一期模型，但作为一种简化，对一期模型的分析是分析多期模型的基础。第8页，共110页。1.一些基本概念回报率第9页，共110页。由于期末的收益是不确定的，所以回报率为随机变量。价格与回报率之间是一一决定的关系，给定价格，就可算出回报率，反过来，给出了回报率，就可决定价格。在以下的章节里，通常以回报率为研究对象，并假设，字母（或者字母上加一波浪线）表示随机变量，字母上加一横线表示期望值。第10页，共110页。由于违约、通货膨胀、利率风险、再投资风险等不确定因素，证券市场并不存在绝对无风险的证券。到期日和投资周期相同的国库券视为无风险。能够进行投资的绝大多数证券是有风险的。第11页，共110页。风险利用回报率的方差或者标准差来度量期望回报率利用回报率的期望值来刻画收益率第12页，共110页。1.1证券组合的回报率假设有种可得的不同资产，我们把初始财富分成份，投资到这种资产上，设为投资在第i种资产上的财富,；如果以比例表示，则为，为投资在第i种资产上的财富的份额，，以表示第i种资产的回报率，则到期末,由i产生的收益为或者，从而该证券组合的总收益为，该证券组合的回报率为第13页，共110页。第14页，共110页。例子：表4-1：计算证券组合的期望回报率（1）证券和证券组合的值证券在证券组合每股的初始在证券组合初始名称

中的股数

市场价格

总投资

市场价值中的份额

A 100 40元 4,000元 4,000/17,000=0.2325 B 200 35元 7,000元 7,000/17,200=0.4070 C 100 62元 6,200元 6,200/17,200=0.3605 证券组合的初始市场价值=17,200元

总的份额=1.0000

第15页，共110页。在表4-1（1）中，假设投资者投资的期间为一期，投资的初始财富为17200元，投资者选择A、B、C三种股票进行投资。投资者估计它们的期望回报率分别为16.2%，24.6%，22.8%。这等价于，投资者估计三种股票的期末价格分别为46.48元[因为(46.48-40)/40=16.2%]，43.61元[因为43.61-35/35=24.6%]，76.14元[因为76.14-62/62=22.8%]。证券组合期望回报率有几种计算方式，每种方式得到相同的结果。第16页，共110页。（2）利用期末价格计算证券组合的期望回报率证券在证券组合每股的期末名称 中的股数预期价值总的期末预期价值

A 100 46.48元 46.48元

100=4,648元 B 200 43.61元 43.61元

200=8,722元 C 100 76.14元 76.14元

100=7,614元

证券组合的期末预期价值=20,984元 证券组合的期望回报率=(20,984元-17,200元)/17,200元=22.00% 第17页，共110页。在表4-1（2）中，先计算证券组合的期末期望价值，再利用计算回报率的公式计算回报率，即，从证券组合的期末期望价值中减去投资的初始财富，然后用去除这个差。尽管这个例子里只有三种证券，但这种方法可以推广到多种证券。第18页，共110页。（3）利用证券的期望回报率计算证券组合的期望回报率证券在证券组合初证券的在证券组合的期望名称 始价值中份额期望收益率 回报率所起的作用 A 0.232516.2%0.2325

16.2%=3.77% B 0.407024.6%0.4070

24.6%=10.01% C 0.360522.850.3605

22.8%=8.22%

证券组合的期望回报率=22.00% 第19页，共110页。在表4-1（3）中，把证券组合期望回报率表示成各个股票期望回报率的加权和，这里的权是各种股票在证券组合中的相对价值。第20页，共110页。既可以用证券组合中各种证券的数量来表示证券组合，也可以用证券组合中各种证券所占证券组合初始价值的份额来表示证券组合。在上表中，既可用（100，200，100）来表示该证券组合，也可用（0.2325，0.4070，0.3605）来表示。第21页，共110页。1.2证券组合回报率的方差和标准差方差标准差第22页，共110页。例子：对于前面的A，B，C三种证券这里表示证券和之间的协方差。第23页，共110页。假设A，B，C三种证券的方差-协方差矩阵为则证券组合的方差为第24页，共110页。证券形成地组合的回报率标准差不大于单个证券回报率标准差的加权平均。分散化(Diversification)只要，则两个证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。直观解释只要证券相互之间地相关系数小于1，则证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。第25页，共110页。两个证券组合回报率之间的协方差证券组合1：证券组合2：证券组合1、2之间的协方差为第26页，共110页。2.假设所有风险厌恶者的无差异曲线如图1所示，在均值-标准差平面上，为严格增的凸函数，并且，越在西北方向的无差异曲线，其效用越高。第27页，共110页。图1：风险回避者的无差异曲线第28页，共110页。3.不具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择假设在无摩擦市场上存在N种可交易风险证券，所有资产回报率的期望和方差均有限且期望互不相等。这N种可交易风险证券的回报率以向量表示，表示期望值向量。而这N种可交易风险证券回报率的协方差矩阵以表示第29页，共110页。证券组合的期望收益率和方差给定证券组合期望回报率方差当证券的种类越来越多时，证券组合回报率的方差的大小越来越依赖于证券之间的协方差而不是证券的方差。第30页，共110页。3.1可行集可行集由N种可交易风险证券中的任意K种形成的证券组合构成的集合称为可行集。在均值-标准差平面上来刻画可行集。第31页，共110页。例子：两种证券形成的可行集假设证券1的期望回报率，标准差为；证券2的的期望回报率，标准差为。设由证券1、2形成的证券组合分别有第32页，共110页。证券组合的期望回报率第33页，共110页。假设证券1、2收益率的相关系数为，则证券组合回报率的标准差为

每个证券组合回报率的标准差的上、下界证券组合D：上界在=1时达到，下界在=-1时达到第34页，共110页。证券组合收益率的标准差的上下界第35页，共110页。证券组合收益率的标准差的上下界下界上界下界第36页，共110页。分散化导致风险缩小。实际的可行集——一维双曲线例子；=0，-0.1=-1=1=0=-0.1第37页，共110页。可行集的方程假设=0，由1、2两种证券形成的可行集在均值-标准差平面上的表示。证券组合的期望回报率标准差为通过找出与之间的关系第38页，共110页。可行集的方程得到为一双曲线第39页，共110页。最小方差证券组合MVP(minimum-varianceportfolio)第40页，共110页。三种以上证券形成的可行集可行集的两个重要性质（1）只要N不小于3，可行集对应于均值-标方差平面上的区域为二维的。（2）可行集的左边向左凸。可行集第41页，共110页。三种证券形成可行集的例子三点形成地区域第42页，共110页。3.2有效集定理有效集定理投资者从满足如下条件的证券组合可行集中选择他的最优证券组合：（1）对给定的回报，风险水平最小（2）对给定的风险水平，回报最大；满足上面两个条件的证券组合集称为有效集。第43页，共110页。下面分两步把有效集定理应用到可行集上，得到投资者最优的可投资集。第44页，共110页。3.3把有效集定理第一条应用到可行集给定期望回报率，找方差最小的证券组合

第45页，共110页。证券组合前沿第46页，共110页。定义：一个证券组合称为前沿证券组合，如果它在所有具有相同期望回报率的证券组合中具有最小方差。定义：所有前沿证券组合构成的集合称为证券组合前沿。第47页，共110页。证券组合前沿的性质性质1：整个证券组合前沿可以由任何两个前沿证券组合生成。性质2：前沿证券组合的任何凸组合仍然在证券组合前沿上。第48页，共110页。证券组合前沿的方程任意前沿证券组合的回报率的期望和标准差满足如下方程：第49页，共110页。在期望-标准差平面上的证券组合前沿第50页，共110页。单个证券与证券组合在均值-标准差平面上的位置第51页，共110页。3.4把有效集定理的第二条应用到证券组合前沿在证券组合前沿上，给定风险，找期望回报率最高的证券组合。第52页，共110页。有效集和非有效集最小方差证券组合定义：比最小方差证券组合回报高的前沿证券组合称为有效证券组合，既不是最小方差证券组合又不是有效证券组合的前沿证券组合称为非有效证券组合。第53页，共110页。问题：先利用第二条，再利用第一条，得到的有效集是否一样？第54页，共110页。3.5只有两种证券时的特例假设市场上只存在两种证券A和B。A具有较高的期望回报率和较高的标准差。相关系数第55页，共110页。3.5只有两种证券时的特例第56页，共110页。可行集、证券组合前沿和有效集期望回报率

A

MVPB

标准差第57页，共110页。不同相关系数时的证券组合前沿第58页，共110页。相关系数越小，曲线弯曲越厉害。极限状况每对证券只有一个相关系数。当只有两种证券时，可行集与证券组合前沿一致问题：如果证券A的期望回报率高于证券B的期望回报率，而标准差小于B的标准差，这时的可行集、证券组合前沿和有效集是什么？第59页，共110页。3.6风险厌恶者的最优证券组合第60页，共110页。不存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略第61页，共110页。不同风险厌恶程度的投资者的最优投资策略第62页，共110页。Twomutualfundsalimitednumberofportfoliosmaybesufficienttoservethedemandsofawiderangeofinvestors,thisisthetheoreticalbasisofthemutualfundindustry.第63页，共110页。4.具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择

Top-downanalysis对大多数投资者而言，货币市场基金是最容易获得的无风险资产。买卖债券只不过是手段，而实质是存在无风险借贷的市场。第64页，共110页。假设在无摩擦市场上存在N种可交易风险证券和一种无风险证券。以表示无风险利率。第65页，共110页。步骤首先利用例子分三步讨论：只允许购买无风险债券只允许卖出无风险债券可以自由交易其次，推广到一般情形第66页，共110页。4.1只允许购买无风险债券例子：前面的A，B，C三种证券期望回报率向量为把无风险债券当作第4种证券，无风险利率为第67页，共110页。方差-协方差矩阵为第68页，共110页。首先考虑证券A和证券4形成的可行集、证券组合前沿、有效集（注意对权的限制）5种证券组合第69页，共110页。证券组合的期望回报率和标准差期望回报率标准差第70页，共110页。由证券A和证券4构成的5种证券组合的期望回报率和标准差第71页，共110页。由证券A和证券4构成的5种证券组合在均值-标准差平面上的图示第72页，共110页。其次，考虑一个证券组合5与证券4形成的可行集、证券组合前沿、有效集。证券组合5由证券A、C构成证券组合5的期望回报率、标准差为第73页，共110页。证券组合5与证券4形成的可行集、证券组合前沿、有效集第74页，共110页。证券组合5从A变到C第75页，共110页。证券A、C、4形成的可行集、证券组合前沿、有效集第76页，共110页。证券A、B、C、4形成的可行集、证券组合前沿、有效集最后考虑由A、B、C、4形成的可行集、证券组合前沿、有效集第77页，共110页。第78页，共110页。投资者最优证券组合选择部分投资在无风险债券上第79页，共110页。全部投资在风险证券上第80页，共110页。4.2只允许出售无风险债券第81页，共110页。首先考虑证券A和证券4形成的可行集、证券组合前沿、有效集（注意权的限制）4种证券组合第82页，共110页。由证券A和证券4构成的4种证券组合的期望回报率和标准差第83页，共110页。由证券A和证券4构成的9种证券组合在均值-标准差平面上的图示第84页，共110页。其次，考虑一个证券组合5与证券4形成的可行集、证券组合前沿、有效集。证券组合5由证券A、C构成证券组合5的期望回报率、标准差为第85页，共110页。证券组合5与证券4形成的可行集、证券组合前沿、有效集第86页，共110页。证券组合5从A变到C第87页，共110页。证券A、C、4形成的可行集、证券组合前沿、有效集第88页，共110页。证券A、B、C、4形成的可行集、证券组合前沿、有效集最后考虑由A、B、C、4形成的可行集、证券组合前沿、有效集第89页，共110页。第90页，共110页。投资者最优证券组合选择卖出无风险债券第91页，共110页。全部投资在风险证券上第92页，共110页。4.3无限制的借贷第93页，共110页。如何求这个切点第94页，共110页。4.4推广到一般情形N种风险资产形成的证券组合前沿方程第9