次序统计量及其分布

次序统计量及其分布第一页，共24页。例5-3-1：设总体X的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布，其分布列为x012p现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有种，现将它们以及由它们所构成的次序统计量的一切可能值列在表中(P243)，由此可给出的分布列如下：X(1)012P19/277/271/27X(2)012P7/2713/277/27X(3)012P1/277/2719/27第二页，共24页。可见这三个次序统计量的分布是不相同的。进一步，我们可以给出两个次序统计量的联合分布，如x(1)和x(2)的联合分布列为

x(2)x(1)

01207/279/273/27104/273/272001/27易于看出不等于即x(1)和x(2)是不独立的。第三页，共24页。次序统计量的分布（一）单个次序统计量的分布定理5-3-1：设总体X的密度函数为p(x)，分布函数为F(x)，x1,x2,…,xn为样本，则第k个次序统计量x

(k)的密度函数为（5-3-3）证明：对任意的实数x，考虑次序统计量x(k)取值落在小区间(x,x+

x]内这一事件，它等价于“样本容量为n的样本中有1个观测值落在区间(x,x+

x]之间，而有k-1个观测值小于等于x，有n-k个观测值大于x+

x”，其直观示意图见下图5-8.第四页，共24页。

x

x+

xn-kk-11图5—8x

(k)的取值示意图样本的每一分量小于等于x的概率为F(x),落入区间(x,x+

x]概率为F(x+x)-F(x),落入区间(x+x,b]的概率为1-F(x+x)，而将n个分量分成这样的三组，总的分法有种，于是，若以Fk

(x)记x

(k)的分布函数，则由多项分布可得第五页，共24页。两边同除以

x,并令x→0,即有推论1：最大次序统计量x

(n)的概率密度函数为推论2：最小次序统计量x

(1)的概率密度函数为(5-3-4)(5-3-5)第六页，共24页。例5-3-2:设总体X的密度函数为现从该总体中抽得一个容量为5的样本，试计算解：我们首先应求出x

(2)的分布。由总体密度函数不难求出总体分布函数为由公式（5-3-3）可以得到x

(2)的密度函数为第七页，共24页。于是第八页，共24页。（二）多个次序统计量的联合分布仅讨论任意二个次序统计量的情形。定理5-3-2：设总体ξ有密度函数f(x),a

≤x

≤b,（同样可设a=-∞,b=+∞)。并且ξ1,ξ2,…,ξn是取自这一总体的一个样本，则其任意两个次序统计量ξ(1)<ξ

(2)的联合分布密度函数为（5-3-6）证明：对增量

y,z以及y<z,事件第九页，共24页。可以表述为“容量为n的样本x1,x2,…,xn中有i-1个观测值小于等于y,一个落入区间(y,y+

y],j–i-1个落入区间(y+

y,z],一个落入区间(z,z+z],而余下的n—j个大于z+z”i-11j-i-11n-j于是由多项分布得i-11j-i-11n-ji-11j-i-11n-ji-11j-i-11n-jyy+yzz+zi-11j-i-11n-j第十页，共24页。考虑到F(x)的连续性，当有于是第十一页，共24页。例5-3-4：设总体分布为U(0,1),x1,x2,…,xn为样本，则(x

(1),x

(n))的联合密度函数为令由R>0可以推出则该分布参数为(n-1,2)的贝塔分布。第十二页，共24页。总体分位数与样本分位数（一）总体分位数定义5-3-2：设总体X的分布函数为F(x)，满足(5-3-7)的xα称为X的α—分位数，如下图所示。几种常用分布的分位数第十三页，共24页。都在书后附表中可以查到。其中N(0,1)是分布函数表Φ(x)反过来查，而其它几个分布,则是分别对给出α的几个的常用值如α=0,0.25,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975等等，列出相应分布对应值的α分位点。图5-9给出了四种常用分布的α分位点表示方法，其中N(0,1)的α分位点通常记成uα.图5-9第十四页，共24页。这里要注意到如下几个有用的事实。，要求的分位数xα,可化成求1)若N(0,1)的分位数.此时，故从而2）对于T~t(n)，由密度函数的对称性可知即（5-3-8）（5-3-9）第十五页，共24页。3）对于F—分布由于所以即（5-3-10）第十六页，共24页。（二）样本分位数定义5-3-3：设为取自总体X的次序统计量，称mp特别地，当p=½时，称mp为样本中位数。（5-3-11）（5-3-12）第十七页，共24页。对多数总体而言，要给出样本p分位数的精确分布通常不是一件容易的事，但当n→+∞时，样本p分位数的渐近分布有比较简单的表达式，我们这里不加证明地给出如下定理。定理5-3-4：设总体密度函数为f(x),xp为其p分位数，f(x)在xp

处连续且f(x)>0,则当n→+∞时，样本p分位数mp的渐近分布为特别地，对样本中位数有（5-3-13）第十八页，共24页。例5-3-2:设总体X为柯西分布，其密度函数为其分布函数为易知，θ是该总体的中位数，即x

½=θ.设是来自该总体的样本，则当样本容量n较大时，样本中位数m

0.5的渐近分布为第十九页，共24页。五数概括与箱线图次序统计量的应用之一就是五数概括与箱线图。在得到有序样本后，容易计算如下五个值：最小观测值x

min=x

(1);最大观测值x

max=x

(n);中位数m

0.5;第一4分位数Q1=m

0.25第三4分位数Q3=m

0.75。所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数据的轮廓。第二十页，共24页。例5-3-4：表5—5是某厂160名销售人员某月的销售量数据的有序样本，由该批数据可计算得到：五数概括的图形表示称为箱线图，由箱子和线段组成。图5-11是该例中样本数据的箱线图，其作法如下下面就通过一个具体的实例说明之。第二十一页，共24页。457476808791929395969899104106111113117120122122124126127127129129130131131133134134135136137137139141141143145148149149149150150153153153153154157160160162163163165165167167168170171172173174175175176178178178179179179180181181188189189191191191192192194194194194195196197197198198198199200201202204204205205206207210214214215215216217218219219221221221221221222223223224227227228229232234234238240242242242244246253253255258282290314319表5—11某厂160名销售员的月销售量的有序样本第二十二页，共24页。（1）画一个箱子，其两侧恰为第一4分位数和第三4分位数，在中位数位置上画一条竖线，它在箱子内，这个箱子包含了样本中50%的数据