量子计算与金融第8章 常见量子计算算法

量子计算与金融QuantumComputingand

Finance第八章

常见量子计算算法CUEB2026年7月4

日1

/

56Contents1245相位估计

(Phase

Estimation)算法原理细节讨论求阶问题从简单问题说起求阶问题概述算法基本原理重要的中间过程结果与最终结果3

算法推导过程连分式的基本概念因数分解问题因数分解与求阶问题的归约关系Shor因数分解算法Simon算法Simon问题的基本陈述和说明6群论视角分析Simon算法核心推导周期查找问题周期查找与Simon问题的关联核心算法7

Shor离散对数算法背景介绍核心算法8

隐藏子群问题

(HSP)

基础隐藏子群问题的重温HSP视角下的Deutsch算法广义阿贝尔隐藏子群算法前置知识核心算法讨论CUEB2026年7月4

日2

/

56相位估计

(Phase

Estimation)相位估计

(Phase

Estimation)CUEB2026年7月4

日3

/

56相位估计

(Phase

Estimation)相位估计问题背景问题定义：给定酉算子

U

及其特征态

|u⟩，满足

U

|u⟩

=

exp(2πiφ)|u⟩。其中相位

φ

∈

[0,

1)

未知，需要通过量子算法进行估计。核心元素：关注特征态

|u⟩

与未知相位

φ

的提取。2n 1

2ε⌈︁ (︁ )︁⌉︁参数设定：令

N

=

2

，设定寄存器大小

m

=

(2n

+

1)

+

log

2

+

，以保证估计精度与成功概率。算法核心：利用量子傅里叶变换（QFT）及其逆变换（IQFT），结合受控操作

Cm(U

)

实现相位提取。CUEB2026年7月4

日4

/

56相位估计

(Phase

Estimation)

算法原理相位估计算法流程Step

1:

初始化：使用两个寄存器。第一寄存器初态为

|0⟩⊗m，第二寄存器输入特征态

|u⟩。初态

|Φ0⟩

=

|0m⟩|u⟩。Step

2:

叠加态：对第一寄存器施加

H⊗m，得到均匀叠加态：

1

|Φ1⟩=

√2m2m−1∑︂|k⟩|u⟩k=0Step

3:

受控操作：施加受控酉操作

Cm(U

)。由于U

k|u⟩

=

exp(2πiφk)|u⟩，系统状态演化为：

(︄1|Φ2⟩

=

√2mm2

−1∑︂)︄exp(2πiφk)|k⟩

|u⟩k=0Step

4:

逆变换与测量：对第一寄存器施加逆量子傅里叶变换（IQFT），将相位信息转化为计算基态，测量得到

φ

的估计值

φ˜。CUEB2026年7月4

日5

/

56相位估计

(Phase

Estimation)

算法原理图8-1

相位估计的量子电路图CUEB2026年7月4

日6

/

56相位估计

(Phase

Estimation)

细节讨论相位估计的细节与精度分析2m精确情况：若

φ

恰好可被

m

个比特精确表示，即

φ

=

j

，IQFT

后将以概率

1

测得

|j⟩，从而准确获得

φ。

j

j2m 2m近似情况：若

φ

̸=

，存在误差

ε

:=

φ

−

。比特数

m

的选择：为确保以至少

1

−

ε的概率获得精确到

q

比特的近似2q值

φ˜（精度

1

），需选择：21m=

q+

log 2

+2ε

⌈︃ (︃ )︃⌉︃其中

⌈·⌉

为上取整函数。CUEB2026年7月4

日7

/

56求阶问题求阶问题CUEB2026年7月4

日8

/

56求阶问题求阶问题概述问题定义：寻找模指数函数

f

(x)

=

ax

mod

N（其中

gcd(a,

N

)

=

1）的周期

T。等价表述：寻找满足

ax

≡

1

mod

N

的最小正整数

x，该

x

即为

a

模

N的阶。数论基础：函数的周期性质由模数的素因数分解、欧拉定理以及中国剩余定理共同决定。量子意义：求阶问题是

Shor

算法的核心，量子相位估计算法可高效求解此问题。CUEB2026年7月4

日9

/

56求阶问题

从简单问题说起求阶实例分析：a

=

6,

N

=

91Step

1:

模数分解：91

=

7

×

13。因

gcd(6,

91)

=

1，适用欧拉定理。Step

2:

欧拉定理：φ(91)

=

(7

−

1)(13

−

1)

=72，故

672

≡

1

mod

91，但这仅为周期的倍数。Step

3:

子模数周期分析：模

7：6

≡

−1mod7，故

62

≡

1

mod7，周期

T1

=

2。模

13：6

是模

13

的原根，最小周期

T2

=

12。Step

4:

综合周期：根据中国剩余定理，模

91

的周期为子周期最小公倍数：T

=

LCM(T1,

T2)

=

LCM(2,

12)

=

12结论：f

(x)

=

6x

mod

91

的周期为

12。CUEB2026年7月4

日10

/

56求阶问题

求阶问题概述求阶问题与量子黑箱问题定义：求解

ar

≡

1

(mod

N

)

的最小正整数

r。其中

a

<

N

，N

≥

2，且

gcd(a,

N

)

=1（即

a

∈

Z∗N

）。r

即为元素

a

在群中的阶。量子资源：需要

n

=

⌈log2

N

⌉

个量子比特来操作。算法黑箱：量子求阶算法可视为一个黑箱，输入为

N

和

a，输出为周期r。核心策略：借助相位估计算法框架，利用酉算子

Ua|x⟩

:=

|ax

mod

N

⟩

提取特征值相位，进而求得

r。CUEB2026年7月4

日11

/

56求阶问题

求阶问题概述特征态矢与相位估计框架酉算子定义：Ua|x⟩

:=

|ax

mod

N

⟩。对于

N≤

x

<

2n，Ua|x⟩

:=

|x⟩（平凡操作）。特征态矢构造：利用基底

L

=

{|k r−1k=0amod

N

⟩} ，构造

r

个特征态矢：

1

r−1∑︂−jk

k|ψj⟩

=

√r ωr |amodN

⟩k=0其中

ωr

≡

exp(2πi/r)，0

≤

j

≤

r

−

1。jja

j

r

j

r特征值：U

|ψ

⟩

=

ω

|ψ

⟩，即对应的特征值为

ω

。1√r∑︁r−1j=0j|ψ

⟩

=

|1⟩，故选择

|1⟩

作为第二寄存器的初始状态选择：由于初始输入。CUEB2026年7月4

日12

/

56求阶问题

求阶问题概述寄存器设计与连分式算法第一寄存器大小：选取

q

=

2n

+

1⌈︁ (︁

1

2 2ε)︁⌉︁，则

m

=

(2n

+

1)

+

log

2

+

。1−εjr r的概率得到相位

φ

≈ 精确到

2n

+

1

比特精度要求：确保以不小于的估计。rj jr最终目标：相位估计输出

φ

≈

，需引入“连分式算法”从近似分数

中精确提取出周期

r。CUEB2026年7月4

日13

/

56求阶问题

求阶问题概述图8-2

求阶算法的量子电路图CUEB2026年7月4

日14

/

56算法推导过程算法推导过程CUEB2026年7月4

日15

/

56算法推导过程量子态的演化推导

(1/2)Step

1:

初始化与叠加：初态

|Φ0⟩

=

|0m⟩|1⟩。对第一寄存器施加

H⊗m，得到：

1

|Φ1⟩=

√2m2m−1∑︂k=0|k⟩|1⟩maStep

2:

受控操作：施加

C

(U

)，将

|1⟩

=1√r∑︁r−1j=0j|ψ

⟩

代入：1|Φ2⟩=

√2mm

2

−1∑︂k

1r−1∑︂k=0

j=0

⎛ ⎞|k⟩

⎝Ua

√r |ψj

⟩⎠ka j利用

U

|ψ

⟩jkr j=

ω

|ψ

⟩，交换求和顺序整理得：1|Φ2⟩=

√rr−1

∑︂j=0

(︄1√2mm2

−1∑︂k=0jk)︄r jω|k⟩|ψ

⟩CUEB2026年7月4

日16

/

56算法推导过程量子态的演化推导

(2/2)Step

3:

逆量子傅里叶变换

(IQFT)：对第一寄存器施加

QFT†2m

，利用QFT|k⟩

=† 1

√2m∑︁

ml=02−1

−klω2m

|l⟩：1|Φ3⟩=

√rr−1

∑︂

(︄12mmm2−12

−1∑︂

∑︂j=0 l=0

k=0exp

2πikj lr−

2m

(︃ (︃ )︃)︃)︄|l⟩

|ψj⟩2mjr测量结果：当

l

≈ 时，干涉相长，测量第一寄存器得到整数

l

的概率最大。2mjr结论：测量得到

l

≈

，随后通过经典连分式算法即可精确求解出

r。CUEB2026年7月4

日17

/

56算法推导过程连分式定义与数论定理jr问题背景：相位估计测量结果

φ

≈

，需寻找最接近

φ

的分数以提取

r。连分式定义：具有如下形式的分式：0a

+11a

+

1 a2+1

1

a3+···+

aN其中

a0,

a1,

·

·

·,

aN

为正整数。其第

n

个渐进分数定义为

[a0,

a1,

·

·

·,

an]。数论定理：任意有理数

x

≥

1

必存在连分式表示。在量子计算中通常考虑x

∈

(0,

1)，默认

a0

=

0。算法作用：利用连分式算法，给定

φ

可有效生成

s′

和

r′，满足gcd(s′,

r′)

=

1

且

s′/r′

=

s/r。将

r′

作为候选者测试

ar′

mod

N=

1。CUEB2026年7月4

日18

/

56算法推导过程连分式算法的失败原因与补救连分式算法可能无法找到正确的

s′,

r′，或

r′

无法通过

ar′

≡

1

(mod

N

)测试。失败原因1：相位估计给出了糟糕的

s/r

结果。发生概率上限为

ε，可通过调整量子电路规模缓释。失败原因2：gcd(s′,

r′)

>

1，导致

r′

仅是

r

的因子。补救方案：Nelson

提出了三种补救方案以应对上述情况。CUEB2026年7月4

日19

/

56因数分解问题因数分解问题CUEB2026年7月4

日20

/

56因数分解问题

因数分解与求阶问题的归约关系因数分解与求阶问题的归约关系问题定义：给定合数

N

，寻找非平凡素因子

p,

q，即

N=

qp

或更一般的k k1 m1 mN

=

p ·

·

·

p 。核心定理：因数分解问题可归约为求阶问题。若能高效求解

ar

≡

1(mod

N

)，则

N

可通过概率策略分解。实例演示(N=15,a=2)：gcd(2,

15)

=

1，求阶得

r

=

4。ar/2=22=4̸≡±1(mod

15)。计算

gcd(4

−

1,

15)

=

3，gcd(4

+

1,

15)

=5，分解成功。2概率保证：r

为偶数且

N

不整除

ar/2

+

1

的概率至少为

1

。CUEB2026年7月4

日21

/

56因数分解问题

因数分解与求阶问题的归约关系因数分解的概率策略流程若

N

为偶数，直接返回因子

2。在

[2,

N

−

1]

随机选

a。若

gcd(a,

N

)

=

d

>

1，则

p

=

d,

q

=

N/d。若

gcd(a,

N

)

=1，启动求阶程序计算

ar

≡

1

(mod

N

)

得到

r。若

r

为偶数，验证

ar/2

̸≡

±1

(mod

N

)。若通过，计算gcd(ar/2

±

1,

N

)

=

d，得到因子

d

和

N/d。数学原理：ar

≡

1

⇒

(ar/2

−

1)(ar/2

+

1)

≡

0

(mod

N

)。复杂度：运行时间

O((log2

N

)3)，成功概率

O(1)。CUEB2026年7月4

日22

/

56因数分解问题

Shor因数分解算法Shor算法的核心贡献提出背景：由数学家彼得·肖尔（Peter

Shor）于1994年提出，是量子计算领域最著名的算法之一。经典与量子的结合：Shor算法仅在“求阶”步骤使用量子版本（量子求阶算法），其余步骤仍为经典算法。两者互相支持而非完全替代。核心贡献：创新性地利用量子并行性和量子傅里叶变换，将传统计算机上指数级复杂度的大数因数分解问题转化为多项式时间可解问题。深远影响：对密码学（尤其是

RSA

加密体系）具有颠覆性影响，因为RSA

的安全性正基于大数分解的计算难度。CUEB2026年7月4

日23

/

56Simon算法Simon算法CUEB2026年7月4

日24

/

56Simon算法

Simon问题的基本陈述和说明Simon问题的基本定义n函数设定：给定函数

f

:

{0,

1}

→

{m nm2 20,

1}

（即

f

:

Z

→

Z

），定义在有∼n2限阿贝尔群

G

=

(F

,

⊕)

上。核心条件：存在非平凡二进制串

s

∈

{0,

1}n,

s

̸=

0n，使得对任意

x,

y：f

(x)

=

f

(y)

⇐⇒

(x

=

y)

∨

(x

⊕

s

=

y)问题目标：在查询次数尽可能少的情况下，根据

f

的查询结果找到隐藏向量

s。运算说明：⊕

为按位异或（模2加法）；内积定义为x

·

z

:=∑︁nj=1(xj

zj

)

mod

2。CUEB2026年7月4

日25

/

56Simon算法

Simon问题的基本陈述和说明图8-3

Simon算法的量子电路图CUEB2026年7月4

日26

/

56Simon算法

群论视角分析隐藏子群问题

(HSP)

视角子群构造：集合

S

=

{n n2n0

,

s}

构成

Z

的子群。单位元为

0

，且s

⊕

s

=

0n。陪集结构：x

⊕

S

=

{x,

x

⊕

s}

是

S

的陪集。函数

f

在每个陪集上取常数值，即为“陪集不变函数”。商群映射：根据拉格朗日定理，陪集个数为

|G|/|S|

=

2n/2

=

2n−1。f

本质是从商群

G/S到

G

的单射。问题本质：寻找

s等价于寻找隐藏子群

S。Simon问题是隐藏子群问题（HSP）的典型实例，与求阶、因数分解等问题同属一类。CUEB2026年7月4

日27

/

56Simon算法

Simon算法核心推导量子态演化：叠加与黑箱查询Step

1:

初始化与叠加：初态

|Φ0⟩

=

|0n⟩|0m⟩。对第一寄存器施加

H⊗n：

1

∑︂x∈Zn2m|Φ1⟩

=

√2n |x⟩|0

⟩Step

2:

黑箱查询

Uf

：

1

∑︂x∈Zn2|Φ2⟩=

Uf|Φ1⟩=

√2n |x⟩|f

(x)⟩测量第二寄存器：若测得

f

(x)，第一寄存器坍缩为陪集

x

⊕

S

的等幅叠加态（二对一情形）：1|ψ2⟩

=

√2

(|x⟩

+

|x

⊕

s⟩)CUEB2026年7月4

日28

/

56Simon算法

Simon算法核心推导量子态演化：Hadamard变换与正交补Step

3:

施加

H⊗n：利用

H⊗n|x⟩

=1

√2n∑︁zx·z2(−1) |z⟩，对

|ψ

⟩

变换：31|ψ⟩=

√2n+1∑︂z(−1)x·z

[1

+

(−1)s·z

]

|z⟩干涉相消：当

s

·

z

=

1

时，系数

1

+

(−1)

=0，振幅相消。当

s

·

z

=

0

时，系数

1

+

1

=2，振幅相长。正交补空间

S⊥：测量结果

z

必满足

s

·

z

=0，即⊥ n2z∈

S :=

{z

∈

Z

|

s

·

z

=

0}。31|ψ⟩=

√2n−1∑︂z∈S⊥x·z(−1) |z⟩CUEB2026年7月4

日29

/

56Simon算法

Simon算法核心推导求解隐藏向量

s线性方程组：每次运行算法可得到一个满足

s

·

z

=

0

的向量

z

∈

S⊥。维度分析：dim(S)

=

1，dim(S⊥)

=

n

−

1。经典后处理：重复算法

O(n)

次，收集

n

−

1

个线性无关的向量

u1,

u2,

·

·

·

,

un−1。构建方程组：⎧⎪⎨⎪⎩1u·

s=

02u·

s=

0..un−1·

s=

0最终结果：求解该线性方程组，其唯一非零解即为隐藏向量

s。CUEB2026年7月4

日30

/

56周期查找问题周期查找问题CUEB2026年7月4

日31

/

56周期查找问题

周期查找与Simon问题的关联周期查找与Simon问题的关联问题定义：给定函数

f

(x)

=

ax

mod

N

（gcd(a,

N

)

=

1），寻找最小正整数

r

使得

f

(x

+

r)

=

f

(x)，即

ar

≡

1

(mod

N

)。群论视角：周期查找本质上是针对无限循环群

G

=

(Z,

+)

的隐藏子群问题。隐藏子群为

K

=

rZ，生成元为

r。函数

f

在陪集

x

+

K

上取常数值。与Simon算法的联系：n2Simon算法处理

Z

群，子群

K

=

{0,

s}，位移为按位异或。周期查找处理整数加法群

Z，通过模

2m

截断转化为有限循环群

Z2m

上的问题。两者核心逻辑一致：通过量子叠加探测所有位移陪集，利用

QFT

提取位移参数。CUEB2026年7月4

日32

/

56周期查找问题

核心算法周期查找核心算法

(1/2)寄存器设计：第一寄存器（输入）：大小

m，满足

2m

≥

N

2以确保相位估计精度。第二寄存器（输出）：大小

n

=

⌈log2

N

⌉，存储

f

(x)。初始化与叠加：初态

|Φ0⟩

=

|0m⟩|0n⟩。对第一寄存器施加

H⊗m，实现量子并行性：

1

|Φ1⟩=

√2m2m−1∑︂x=0n|x⟩|0

⟩执行黑箱

Uf

：2m−1∑︂

1

|Φ2⟩=

Uf|Φ1⟩=

√2m |x⟩|f

(x)⟩x=0此步将元素

x

映射到陪集

x

+

rZ，体现“陪集常数函数”性质。CUEB2026年7月4

日33

/

56周期查找问题

核心算法周期查找核心算法

(2/2)对

f

(x)

进行傅里叶变换：利用

|f

(x)⟩

=1√r∑︁r−1l=0e2πilx/rˆ|f

(l)⟩，代入得：21|Φ⟩≈

√r2mmr−12

−1∑︂

∑︂l=0

x=02πilx/rˆe |x⟩|f

(l)⟩对第一寄存器进行逆傅里叶变换

(IQFT)：提取出相位信息，最终状态化简为：

1

r−1∑︂ˆ|Φ3⟩

=

√r |l/r⟩|f

(l)⟩l=0测量与经典后处理：测量第一寄存器得到

l/r（l

为随机整数），随后利用连分式算法精确求解出周期

r。CUEB2026年7月4

日34

/

56Shor离散对数算法Shor离散对数算法CUEB2026年7月4

日35

/

56Shor离散对数算法

背景介绍离散对数问题背景问题定义：给定

a

和

b

=

as

mod

N

，求解未知指数

s。当代加密体系的安全性高度依赖于此问题的计算难度。算法提出：由

Peter

Shor

提出，专门针对

Z∗N下的离散对数问题。周期函数构造：定义

f

(x1,

x2)

=

asx1+x2

mod

N

=

bx1

ax2

mod

N

。该函数具有周期性：f

(x1

+

l,

x2

−

ls)

=

f

(x1,

x2)。隐藏子群问题：在群

G

=

(Zr

×

Zr,

+

mod

r)

下，隐藏子群为K

=

{(l,

−ls)

|

l

∈

Zr}。前提假设：假设

a

的阶

r

已知（可通过量子求阶算法获得），且为简单起见假设

r

为素数。CUEB2026年7月4

日36

/

56Shor离散对数算法

核心算法Shor离散对数算法核心步骤初始化：使用三个寄存器，初态

|Φ0⟩

=

|0m⟩|0m⟩|0⟩（输入寄存器大小m

=

⌈log2

r

+

1⌉）。叠加：对前两个寄存器施加

Hadamard

门，得到全叠加态。f黑箱操作：施加

U

，得到

1

2m∑︁x

,x1

2|x⟩|x

⟩|1 2 1 2f

(x

,

x

)⟩。第三寄存器QFT：对第三个寄存器进行傅里叶变换，整理后得到包含相位e2πi(sl2x1+l2x2)/r

的叠加态。前两寄存器IQFT：分别对第一、第二寄存器做逆傅里叶变换，得到：31|Φ⟩=

√r2mr−1∑︂l2=0ˆ2 2 2

1|sl/r⟩|l/r⟩|f(sl,l

)⟩测量与求解：测量前两个寄存器得到

sl2/r

和

l2/r，利用连分式算法分别计算，最终解出离散对数

s。CUEB2026年7月4

日37

/

56隐藏子群问题

(HSP)

基础隐藏子群问题

(HSP)

基础CUEB2026年7月4

日38

/

56隐藏子群问题

(HSP)

基础

隐藏子群问题的重温隐藏子群问题与“分离陪集”问题定义：给定群

G

和有限集

X，函数

f

:

G

→

X

满足：对任意g1,

g2

∈

G，当且仅当

g1

·

g2−1

∈

H（或加法群中

g1

−

g2

∈

H）时，f

(g1)

=

f

(g2)。目标是找到隐藏子群

H。分离陪集：函数

f

在子群

H

的同一陪集上取常数值，在不同陪集上取值互异。这种函数称为“陪集不变函数”或“分离陪集函数”。实例：G

=

Z/6Z，H

=

{0,

3}。陪集为

H0

=

{0,

3},

H1

=

{1,

4},H2

=

{2,

5}。f

在每个陪集内为常数，在陪集间互异。复杂度优势：经典算法确定

H

需

O(|G|)时间；量子算法利用量子并行性和量子谕示，可将复杂度降至

O(poly(log

|G|))。CUEB2026年7月4

日39

/

56隐藏子群问题

(HSP)

基础

HSP视角下的Deutsch算法HSP视角下的Deutsch算法群与子群设定：群

G

=

Z2

=

{0,

1}。子群

H

只能是平凡子群

{0}

或全群Z2。函数与隐藏子群：若

f

为常数型（f

(0)

=

f

(1)），则

f

在整个群上为常数，对应隐藏子群H

=

Z2。若

f

为平衡型（f

(0)

̸=

f

(1)），则

f

在单元素陪集上为常数，对应隐藏子群H

=

{0}。群表示论解释：G

=

Z2

的特征标为

χ0(x)

=

1

和

χ1(x)

=

(−1)x。量子加速本质：通过群傅里叶变换（QFT），常数型函数测量结果为

|0⟩，平衡型函数测量结果为

|1⟩。单次查询即可提取隐藏子群

H，实现指数级加速。CUEB2026年7月4

日40

/

56隐藏子群问题

(HSP)

基础

广义阿贝尔隐藏子群算法前置知识与对偶群性质量子谕示：算法输入为量子黑箱

Uf

，执行变换

Uf

|g⟩|x⟩

=

|g⟩|x

◦

f

(g)⟩。对偶群与正交补：若

Gˆ

是

G

的对偶群，H

≤

G，则正交补H⊥

=

{g

∈

G

|

χg

(h)

=

1,

∀h∈

H}

是

G

的子群。核心性质：|H⊥|=

|G|/|H|χ(H⊥)

∼=

G/HH⊥⊥=

H均匀叠加态：定义子群

H

的均匀叠加态为

|H⟩

:=1

√|H|∑︁h∈H|h⟩。CUEB2026年7月4

日41

/

56隐藏子群问题

(HSP)

基础

广义阿贝尔隐藏子群算法核心算法步骤

(1/2)初始化：准备两个寄存器，初态为

|0⟩⊗|G||0⟩⊗|X|（控制位与目标位）。量子叠加：对控制位施加

Hadamard

门（或

QFT），得到1

√|G|∑︁g∈G|g⟩|0⟩。

f量子并行计算：应用量子谕示

U

，得到1

√|G|∑︁g∈G|g⟩|f

(g)⟩。测量目标寄存器：由于

f

分离陪集，测量得到

f

(s)

后，控制位寄存器坍缩为陪集

s

+

H

的均匀叠加态：

1

∑︂h∈H|s

+

H⟩

=

√︁|H| |s+

h⟩CUEB2026年7月4

日42

/

56隐藏子群问题

(HSP)

基础

广义阿贝尔隐藏子群算法核心算法步骤

(2/2)

与

QFT

变换对控制位进行

QFT：将陪集态变换到对偶群

Gˆ

上：

1

QFT:

√︁|H|h∈H|s

+

h⟩

→

√︁|H|

·

|G|∑︂

1 ∑︂y∈Gˆ∑︂h∈Hχy

(s) χy

(h)|y⟩⊥根据正交补性质，当

y

∈

χ(H

)

时，∑︁h∈Hyχ(h)=

|H|；否则为

0。化简得：

√︄|H|∑︂yχ

(s)|y⟩|G|

y∈χ(H⊥)测量：测量控制位寄存器，得到属于

χ(H⊥)

的特征标

y。物理意义：χy

(s)

仅为相位因子（|χy

(s)|2

=

1），不影响测量概率。QFT

成功将陪集空间的叠加态转化为正交补子群

χ(H⊥)

上的叠加态。CUEB2026年7月4

日43

/

56隐藏子群问题

(HSP)

基础

广义阿贝尔隐藏子群算法总结与展望算法核心：利用

QFT

将群上的陪集常数函数特性转化为对偶群上的正交补子群信息，从而高效提取隐藏子群结构。适用范围：目前科学家仅针对有限阿贝尔群和极特殊的非阿贝尔群证明了有效的量子

HSP

算法。经典案例：Deutsch问题、广义Simon问题、求阶问题、周期查找、离散对数问题等均属于

HSP

框架。研究前沿：针对普遍非阿贝尔群的隐藏子群问题是当前量子计算领域的研究热点。CUEB2026年7月4

日44

/

56Acknowledgement版权与免责声明Thank

you!版权与免责声明：

本PPT基于《量子计算与金融》（作者：

余颖丰，

电子工业出版社2026年出版）

部分核心内容整理制作，

版权归作者与出版社所有。PPT内容仅为原书精华摘录，不可替代原书阅读。未经版权方书面授权，任何单位和个人不得擅自复制、修改、传播或用于商业用途。如需引用，请通过正规渠道购买正版图书。CUEB2026年7月4

日45

/

56参考文献参考文献

IScottAaronson.Quantumcopy-protectionandquantummoney.In200924thAnnualIEEEConferenceonComputationalComplexity,pages229–242.IEEE,

2009.ScottAaronson,EdwardFarhi,DavidGosset,etal.Quantum

money.CommunicationsoftheACM,55(8):84–92,

2012.YacineA¨ıt-SahaliaandJeanJacod.High-FrequencyFinancialEconometrics.PrincetonUniversityPress,

2014.MartinBaxterandAndrewRennie.FinancialCalculus:AnIntroductiontoDerivativePricing.CambridgeUniversityPress,

1996.CharlesH.BennettandGillesBrassard.Quantumcryptography:Publickeydistributionandcointossing.InProceedingsoftheIEEEInternationalConferenceonComputers,Systems,andSignalProcessing,pages175–179,Bangalore,

1984.Jiˇr´ıBlank,PavelExner,andMiloslavHavl´ıˇcek.HilbertSpaceOperatorsinQuantumPhysics.Springer,Dordrecht,

2008.CUEB2026年7月4

日46

/

56参考文献参考文献

IIAdamBouland,WimvanDam,HamedJoorati,etal.Prospectsandchallengesofquantumfinance.arXivpreprintarXiv:2011.06492,

2020.ZdzislawBrzezniakandTomaszZastawniak.BasicStochasticProcesses:ACourseThroughExercises.Springer,

2000.UmbertoCherubini,GiovanniDellaLunga,SabrinaMulinacci,etal.FourierTransformMethodsinFinance.JohnWiley&Sons,

2010.AndrewM.ChildsandWimVanDam.Quantumalgorithmsforalgebraicproblems.ReviewsofModernPhysics,82(1):1–52,2010.DavidR.CoxandHiltonD.Miller.TheTheoryofStochasticProcesses.Chapman&Hall/CRC,

1965.DavidDeutsch.Quantumtheory,theChurch–Turingprincipleandtheuniversalquantumcomputer.ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondon.A.MathematicalandPhysicalSciences,400(1818):97–117,

1985.DavidDeutschandRichardJozsa.Rapidsolutionofproblemsbyquantumcomputation.ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondon.SeriesA:MathematicalandPhysicalSciences,439(1907):553–558,

1992.CUEB2026年7月4

日47

/

56参考文献参考文献

IIIBayeMatarDia.OptionpricingwithFourierseries.SSRN,

2007.PaulA.M.Dirac.Anewnotationforquantummechanics.MathematicalProceedingsoftheCambridgePhilosophicalSociety,35(3):416–418,

1939.DavidP.DiVincenzo.Quantumcomputation.Science,270(5234):255–261,1995.DanielJ.Egger,ClaudioGambella,JakubMarecek,etal.Quantumcomputingforfinance:State-of-the-artandfutureprospects.IEEETransactionsonQuantumEngineering,1:1–24,

2020.GuidoFanoandS.M.Blinder.Twenty-FirstCenturyQuantumMechanics:HilbertSpacetoQuantumComputers.Springer,

2017.WalterFeit.TheRepresentationTheoryofFiniteGroups.North-HollandPublishingCompany,

1982.BenjaminFine,AnjaMoldenhauer,GerhardRosenberger,etal.AlgebraandNumberTheory:ASelectionofHighlights.WalterdeGruyterGmbH&CoKG,2023.CUEB2026年7月4

日48

/

56参考文献参考文献

IVRichardHaberman.AppliedPartialDifferentialEquationswithFourierSeriesandBoundaryValueProblems.PearsonModernClass,

2004.BrianC.Hall.QuantumTheoryforMathematicians.Springer,

2013.DylanHerman,CodyGoogin,XiaoyuanLiu,etal.Quantumcomputingforfinance.NatureReviewsPhysics,5(8):450–465,

2023.MikaHirvensalo.QuantumComputing.NaturalComputingSeries.Springer,2001.A.Hurn,K.Lindsay,andA.McClelland.OntheefficacyofFourierseriesapproximationsforpricingEuropeanoptions.AppliedMathematics,5(17):2786–2807,

2014.MoniqueJeanblanc,MarcYor,andMarcChesney.MathematicalMethodsforFinancialMarkets.SpringerScience&BusinessMedia,

2009.PhillipKaye,RaymondLaflamme,andMicheleMosca.AnIntroductiontoQuantumComputing.OxfordUniversityPress,

2006.AlexeiY.Kitaev.QuantummeasurementsandtheAbelianstabilizerproblem,1995.CUEB2026年7月4

日49

/

56参考文献参考文献

VFimaC.Klebaner.IntroductiontoStochasticCalculuswithApplications.WorldScientificPublishingCompany,

2012.JosephM.Landsberg.QuantumComputationandQuantumInformation:AMathematicalPerspective.AmericanMathematicalSociety,

2024.SergeLang.Algebra.Springer,

2002.PeterD.Lax.FunctionalAnalysis.JohnWiley&Sons,

2014.Peter

D.

Lax.

线性代数及其应用.

人民邮电出版社,

北京,

第2版（修正版）edition,

2025.ChrisLomont.Thehiddensubgroupproblem–review

andopenproblems.arXiv:quant-ph/0411037,

2004.KazuhisaMatsuda.IntroductiontoOptionPricingwithFourierTransform:OptionPricingwithExponentialL´evyModels.PhDthesis,DepartmentofEconomics,

The

Graduate

Center,

The

City

University

of

New

York,

2004.RobertC.Merton.Optionpricingwhenunderlyingstockreturnsarediscontinuous.JournalofFinancialEconomics,3(1–2):125–144,

1976.CUEB2026年7月4

日50

/

56参考文献参考文献

VIMicheleMosca.Quantumalgorithms.InEncyclopediaofComplexityandSystemsScience,pages7088–7118.Springer,NewYork,NY,

2009.MicheleMoscaandArturEkert.Thehiddensubgroupproblemandeigenvalueestimationonaquantumcomputer.InProceedingsof1stNASAQCQCConference,volume1509ofLectureNotesinComputerScience,pages174–188,

1998.MikioNakaharaandTetsuoOhmi.QuantumComputing:FromLinearAlgebratoPhysicalRealizations.CRCPress,

2008.MichaelA.NielsenandIsaacL.Chuang.QuantumComputationandQuantumInformation.CambridgeUniversityPress,

2010.BerntØksendal.StochasticDifferentialEquations:AnIntroductionwithApplications.SpringerScience&BusinessMedia,

2013.Rom´anOru´s,SamuelMugel,andEnriqueLizaso.Quantumcomputingforfinance:Overviewandprospects.ReviewsinPhysics,4:100028,

2019.NicolasPrivault.IntroductiontoStochasticFinancewithMarketExamples.ChapmanandHall/CRC,

2022.CUEB2026年7月4

日51

/

56参考文献参考文献

VIISasanBarakRamezani,AlexanderSommers,HariKiranManchukonda,etal.Machinelearningalgorithmsinquantumcomputing:Asurvey.In2020InternationalJointConferenceonNeuralNetworks(IJCNN),pages1–8.IEEE,

2020.PatrickRebentrostandSethLloyd.Quantumcomputationalfinance:Quantumalgorithmforportfoliooptimization.KI–Ku¨nstlicheIntelligenz,38(4):327–338,

2024.EleanorRieffelandWolfgangPolak.Anintroductiontoquantumcomputingfornon-physicists.ACMComputingSurveys(CSUR),32(3):300–335,

2000.GerhardRosenberger,AnnikaSchu¨renberg,andLeonardWienke.AbstractAlgebra:WithApplicationstoGaloisTheory,AlgebraicGeometry,RepresentationTheoryandCryptography.WalterdeGruyterGmbH&CoKG,2024.JosephJ.Rotman.AnIntroductiontotheTheoryofGroups.Springer,1999.WalterRudin.FourierAnalysisonGroups.CourierDoverPublications,

2017.WolfgangScherer.MathematicsofQuantumComputing.Springer,

2019.CUEB2026年7月4

日52

/

56参考文献参考文献

VIIILawrenceS.Schulman.TechniquesandApplicationsofPathIntegration.DoverPublications,

2005.Jean-PierreSerre.LinearRepresentationsofFiniteGroups.Springer,

1977.PeterW.Shor.Algorithmsforquantumcomputation:Discretelogarithmsandfactoring.InProceedings35thAnnualSymposiumonFoundationsofComputerScience,pages