小学数学四年级上册 除数是整十数的除法 知识清单

小学数学四年级上册除数是整十数的除法知识清单【第一板块：核心概念与算理溯源】一、除法的意义与位值原则在四年级上册的学习中，除法运算已经从简单的表内除法扩展到了更复杂的多位数除法。其核心是建立在“平均分”和“包含除”的两种现实模型之上。除数是整十数的除法，是整数除法从“一位数除多位数”跨越到“两位数除多位数”的桥梁。其根本的算理，是依据“数的组成”和“位值原则”。当我们计算160÷30时，我们实际上是在思考：160是由16个十组成的，而30是3个十。问题就转化为“16个十里包含多少个3个十”，这回归到了二年级的表内除法（16÷3）的思考层面。因此，将除数、被除数视为若干个“计数单位”的集合，是理解本课知识的关键。二、基本概念清单【基础】（一）除法的各部分名称在算式a÷b=c……d（其中d<b，且b≠0）中：a被称为被除数，表示被分的总数。b被称为除数，表示分的标准（每份的数量或份数）。c被称为商，表示分得的结果。d被称为余数，表示分完后剩余且不够再分一份的数量。本单元的核心在于除数b是一个末尾有0的数，即整十数（如10、20、30、90等）。（二）整十数的定义整十数是指个位上是0的自然数，如10、20、30……120、350等。它们都可以看作是“几个十”。例如：80可以看作是8个十，130可以看作是13个十。（三）余数的本质【重要】余数必须小于除数。这是检验除法计算正确与否的法则之一。在除数是整十数的除法中，余数也必须是一个小于这个整十数的数。例如，在150÷40中，余数不可能是50，因为50里面还可以再分出一个40，正确的余数应该是30。【第二板块：算法构建与计算模型】三、口算除法的方法与技巧【高频考点】除数是整十数的口算，核心是“化整为十”或“表内除法迁移”。（一）基于乘法的逆运算想乘法算除法。例如，求80÷40=？，就思考几个40是80。因为2个40是80，所以80÷40=2。（二）基于计数单位的转化【核心方法】将被除数和除数都看作是几个十，然后用表内除法计算。1.例：120÷30=？2.思路：120是12个十，30是3个十。3.转化：12个十除以3个十，等同于计算12÷3=4。4.结果：所以120÷30=4。这种方法揭示了算理的本质，即计数单位的个数相除。（三）口算练习要点包括被除数是整十、整百、几百几十的数，除数是整十数的各种情况。如：180÷30=6，420÷60=7，240÷40=6。对于能整除的，要求快速准确；对于有余数的，如150÷40，口算得3（余30），能口述出结果。四、笔算除法的模型建构【非常重要】【难点】笔算除法的核心步骤是“试商”和“定商的位置”。除数是整十数的除法，为后续学习复杂的试商打下了坚实基础。（一）商是一位数的笔算除法【基础模型】1.情境导入：92本连环画，每班分30本，可以分给几个班？2.列式：92÷303.估算与试商：思考92里面有几个30。因为30×3=90，接近92且小于92，30×4=120，超过了92，所以商应该是3。4.商的位置：【非常重要】92是由9个十和2个一组成。90是9个十，除以30（3个十），得到3，这个3表示“3个一”吗？不，因为90÷30=3，这里的3是3个十除以3个十的结果，实际上表示的是可以分给3个班，所以“3”应该写在个位上，表示3个一。更深层的理解是，我们用被除数的前两位“92”去除以除数30，因为除数是两位数，我们就先看被除数的前两位，前两位“92”够除，所以商就写在个位上。5.计算过程：（1）确定商写在个位。（2）用商3乘以除数30，得到90，写在92下面。（3）做减法：9290=2。（4）检查余数：2<30，说明商3正确。6.结论：92÷30=3（个）……2（本）。答：可以分给3个班，还剩2本。（二）商是两位数的笔算除法【进阶模型】【高频考点】1.情境导入：学校买了178本故事书，每班分30本，可以分给几个班？2.列式：178÷303.判断商的位数：除数是两位数，先看被除数的前两位。前两位“17”表示17个十，17个十除以30（3个十），17÷3，最多商5，但5表示5个十吗？不对，因为17<30，所以前两位不够除。此时，要看前三位“178”。4.商的定位：【核心规则】当被除数的前两位不够除时，就要看前三位。那么商就应该写在个位上。178÷30，我们思考178里面有几个30。5.试商：30×5=150，接近178且小于178；30×6=180，超过了178。所以商5。6.计算过程：（1）商5，写在个位上。（2）5×30=150，写在178下面。（3）=28。（4）检查余数：28<30。7.结论：178÷30=5（个）……28（本）。答：可以分给5个班，还剩28本。（三）商的定位法则总结【非常重要】1.从被除数的高位除起，先看被除数的前两位。2.如果前两位大于或等于除数，商的最高位就在十位上（如果除数是两位数，且被除数前两位够除，商就是两位数；如果被除数本身就是两位数，前两位就是它本身，商就是一位数）。3.如果前两位小于除数，就看前三位，这时商的最高位就在个位上（商是一位数）。4.简单概括：除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。五、试商技巧与策略【重要】【难点】对于除数是整十数的除法，试商相对直观，但依然有技巧。（一）直接口算试商法利用乘法口诀，想几十乘几最接近且小于被除数。例如200÷40，想四几得二十，四五二十，所以商5。（二）拆数试商法（适用于被除数不是整十数）例如324÷40，可以想40×8=320，接近324，所以商8。如果余数4小于40，则正确。（三）对商进行必要的调整虽然整十数除数试商一般比较准确，但有时也会出现“初商”过大或过小的情况。1.商过大：如250÷30，如果试商9，30×9=270，270>250，说明商9大了，需要调小改商8。2.商过小：如180÷30，如果试商5，30×5=150，=30，余数30等于除数。根据余数小于除数的原则，余数30还可以再分一份，说明商5小了，需要调大改商6。（注：在除数是非整十数时，试商调整会更复杂，本单元为后续学习铺垫。）【第三板块：典型例题与变式训练】六、基础题型解析【基础】（一）直接计算题1.题目：80÷40=？2.解析：想8个十除以4个十，8÷4=2，所以80÷40=2。3.题目：150÷30=？4.解析：15个十除以3个十，15÷3=5，所以150÷30=5。5.题目：197÷60=？6.解析：60×3=180，60×4=240（超），商3。180小于197，=17，17<60。所以197÷60=3……17。（二）列竖式计算题1.题目：85÷402.竖式过程：商2写在个位，2×40=80，8580=5。结果：2……5。3.题目：360÷604.竖式过程：看被除数前两位36<60，看三位360。商6写在个位，6×60=360，=0。结果：6。5.题目：425÷506.竖式过程：42<50，看425。试商8，8×50=400，=25，25<50。结果：8……25。七、易错题辨析与规避策略【高频考点】（一）商的定位错误1.错误案例：计算320÷80，学生可能将商写在十位上，得到商4，但位置错误。2.错因分析：没有理解用被除数前两位“32”除以80时，32<80，不够除，必须看前三位“320”。既然看的是三位数，商就应该在个位上。3.规避策略：每次计算前先判断商的位数。320÷80，因为32<80，所以商是一位数，只能写在个位。（二）余数处理不当1.错误案例：计算250÷40，得到商5，余数50。或者商6，余数10。2.错因分析：前者是计算错误，40×5=200，=50，余数50>40，说明商5太小，应该商6；后者是正确的。3.规避策略：每次计算完，必须检查余数是否小于除数。如果余数大于或等于除数，说明商小了，需要调大。（三）被除数末尾有0时的处理1.错误案例：计算500÷60，学生容易直接划掉末尾的0，想成50÷6=8……2，从而得出80……2的错误结论。2.错因分析：误用了商不变的规律，但在有余数除法中，余数的变化要对应计数单位的变化。500是50个十，除以6个十，商是8，余数是2个十，即20。3.正确做法：500÷60=8……20。列竖式计算，不能简单地抹零。4.规避策略：牢记被除数和除数同时除以10，商不变，但余数要乘以10。或者坚持用竖式计算的程序来保证准确。八、综合应用与拓展题（一）生活中的数学问题1.题目：一辆卡车一次可以运货50箱，仓库里有420箱货物，需要运几次才能运完？最后一次运多少箱？2.解析：420÷50=8（次）……20（箱）。因为余下的20箱还需要再运一次，所以实际需要8+1=9次。最后一次运20箱。3.考点：考察“进一法”在实际问题中的应用。当问题问“至少需要几次”时，往往需要将商加1。（二）条件开放题1.题目：在算式□78÷50中，要使商是一位数，□里最大可以填几？要使商是两位数，□里最小可以填几？2.解析：（1）除数是50，是两位数。判断商的位数，看被除数的前两位“□7”。（2）要使商是一位数，意味着前两位“□7”<50。那么□里可以填4、3、2、1。最大填4。（3）要使商是两位数，意味着前两位“□7”≥50。那么□里可以填5、6、7、8、9。最小填5。3.考点：考察对除法算理和商定位法则的逆向运用。（三）规律探索题1.题目：不计算，直接比较大小。A=360÷40，B=450÷50，C=240÷30。请问A、B、C三个算式的结果之间有什么关系？2.解析：计算得A=9，B=9，C=8。A和B的结果相同。进一步观察，360÷40可以看作是36个十除以4个十，结果是9；450÷50是45个十除以5个十，结果是9。这提示我们，当被除数和除数存在倍数关系或同时扩大缩小时，结果可能不变或呈现规律。3.引申：这为后续学习“商不变的规律”埋下伏笔。【第四板块：考点分析、考查方式与解题模型】九、核心考点梳理【非常重要】1.口算能力：直接写出得数，主要考查几百几十数除以整十数，要求快速准确。2.笔算能力：列竖式计算，包括能整除和有余数的情况，重点考查计算步骤、商的定位、余数的处理。3.估算能力：估计商是几位数，或者估算结果的大致范围。4.概念理解：考查除法各部分名称、余数小于除数的性质。5.实际应用：结合生活情境，解决与“平均分”、“包含除”相关的问题，特别注意“进一法”和“去尾法”的灵活运用。6.填空题与选择题：（1）考查商的位数：如“428÷40的商是（两）位数”。（2）考查最大能填几：如“40×（）<316”，括号里最大能填几。（3）考查余数的性质：如“一个数除以50，余数最大是（49）”。（4）考查单位换算或简单应用：如“3盒月饼，每盒20个，分给50个同学，每人一个，够吗？”等。7.判断题：如“在有余数的除法里，余数可能比除数大。（×）”。十、各类题型的解题步骤与要点【重要】（一）竖式计算题解题步骤（SOP）1.【一审】：看清除数和被除数，确定这是一道除数是整十数的除法题。2.【二判】：看被除数的前两位或前三位，判断商是几位数，预估商的最高位写在哪里。3.【三试】：用乘法口诀试商，找到一个合适的商，使得除数乘以这个商最接近且小于或等于当前被除数（或当前被除数的前几位）。4.【四乘】：将试出的商与除数相乘，将乘积写在被除数的下方。5.【五减】：用被除数减去这个乘积，得到差（余数）。6.【六比】：检查这个差（余数）是否小于除数。如果小于，则这一步计算正确；如果大于或等于，说明商小了，需要调大商，返回第三步；如果乘积大于被除数，说明商大了，需要调小商，返回第三步。7.【七落】：如果被除数还有下一位没有参与计算，将其落下来，与余数组成新的数，继续除（对于商是两位数的除法）。8.【八查】：检查整个竖式过程，特别是数位对齐情况，最后横式上写出正确的答案。（二）应用题解题步骤1.阅读与理解：通读题目，找出已知条件和问题，明确是“总数、份数、每份数”中的哪个量。2.分析与解答：（1）根据数量关系列出正确的除法算式。（2）进行计算，得出商和余数。（3）根据实际问题的情境，对结果进行解读和处理。是直接取商，还是需要商加1（进一法），或是舍去余数只取商（去尾法）。例如：“准备包装盒”通常用进一法；“裁剪布料”通常用去尾法。3.回顾与反思：检查计算是否正确，答案是否符合生活实际，并完整作答。十一、考向预测与思维提升（一）未来考试的融合趋势未来的考查不会仅仅停留在单纯的计算上，会更侧重于在具体情境中运用计算能力，以及对算理的深度理解。1.与估算结合：例如，先估一估“632÷70”的商大约是几，再进行计算。2.与数量关系结合：结合“单价×数量=总价”、“速度×时间=路程”等模型，进行综合应用。例如“王叔叔带500元去买化肥，每袋80元，最多能买几袋？还剩多少钱？”。3.与图形结合：例如，已知一个长方形的面积是240平方米，宽是30米，求长是多少米？这实质上是除法运算的应用。（二）易错点的再次强化1.数位对齐：商写在什么位上，相应的乘积的末位就要和那一位对齐。2.中间有0的情况：如361÷30，被除数十位上是6，个位是1。在计算时，30×12=360，商12，其中十位上的1和个位上的2都要写。但如果遇到300÷30，商是10，十位上的1不能丢。再如302÷30，商是10，余2，个位上的0要占位。3.连续退位减法的计算：在竖式减法时，注意退位，避免计算错误。【第五板块：跨学科视野与素养拓展】十二、生活中的数学与多学科联系（一）与体育学科的融合在体育课中，我们经常会分组活动。例如，全校有420名学生，如果每30人组成一个方队进行广播操比赛，可以组成多少个方队？如果每40人组成一个方队，又可以组成多少个方队？这直接应用了除数是整十数的除法。（二）与美术学科的融合美术课上，一张大的卡纸长180厘米，如果每30厘米剪成一段，可以剪成几段？如果有5张这样的卡纸，一共可以剪成多少段？这不仅涉及除法，还涉及乘加混合运算。（三）与信息技术的融合计算机中的数据存储单位：1KB=1024B，1MB=1024KB，1GB=1024MB。虽然1024不是整十数，但理解这种“包含除”的关系，有助于学生建立对大数据的初步感知。我们可以简化问题：一个U盘是8GB，一部电影大约占2GB，这个U盘大约能存几部电影？8÷2=4，这里的2虽然不是整十数，但计算的逻辑是相通的。（四）与财商的培养零花钱管理：假设你每周有30元零花钱，你想买一个价值158元的乐高玩具。你需要存几周才能够买到？158÷30=5（周）……8（元）。因为5周后只有150元，不够，所以需要6周。这既练习了除法，也培养了孩子的理财规划和耐心。（五）古人的智慧——试商方法古代的《孙子算经》中就有关于除法的记载。古人做除法，叫做“商除法”，也是通过不断尝试和调整来找到商。我们今天学的“试商”方法，正是古人在长期实践中总结出来的智慧结晶。对于除数不是整十数的情况，古人还会采用“同头无除商八九”、“除数折半商四五”等口诀，这些都为我们后续的学习打开了兴趣之门。【第六板块：易错诊断与针对性训练】十三、典型错例分析与纠正（一）错例1：定位不清1.原题：340÷40=2.错解：竖式写成商在十位，计算34÷4=8……2，然后直接把个位的0落下来，得到80……20。3.错因诊断：认为34比40小，所以不够除，但错误地认为看前两位时商要写在十位。实际上，34<40，看前三位340，商是一位数，只能写在个位。计算时应该想340里面有几个40。4.对症下药：反复练习判断商的位数。看到340÷40，立刻判断：34<40，所以商是一位数，商在个位。想40乘几最接近340，40×8=320，40×9=360（超），所以商8，8×40=320，=20。结果是8……20。（二）错例2：余数大于除数1.原题：410÷60=2.错解：60×6=360，=50，50<60，这是正确的。但有些学生可能会试商7，60×7=420>410，发现商大；或者试商6后，减法算错，得到余数70。3.错因诊断：乘法口诀不熟，或减法计算错误，导致对余数的大小于除数缺乏检查意识。4.对症下药：养成计算后“回头看”的习惯。每做完一步减法，都要问自己：这个得数比除数小吗？如果得数比除数大，一定要意识到商小了，必须改商。（三）错例3：实际问题中商的取值错误1.原题：有280名同学要乘坐大巴去春游，每辆大巴车限乘40人，至少需要多少辆大巴车？2.错解：280÷40=7（辆）。回答：需要7辆。3.错因诊断：没有考虑实际情境。280÷40=7，正好整除，7辆车每辆40人，刚好装下，这题没有错。如果题目改成290名同学，290÷40=7（辆）……10（人），如果回答7辆，就有10人没车坐，不符合“至少”的要求。4.对症下药：仔细审题，理解“至少”、“最多”、“可以装满”等关键词的含义。对于“至少需要几辆车”、“至少需要几个箱子”这类问题，只要有余数，商就要加1。十四、综合与实践：小小规划师项目式学习活动：为班级新年联欢会设计购买方案。1.背景：班级有45名同学，班费共有500元。2.任务一：购买零食。一包薯片8元，一包饼干7元。如果只买薯片，最多能买多少包？如果只买饼干呢？这需要用到带余除法，并理解“最多”的含义（去尾法）。3.任务二：购买饮料。大瓶饮料每瓶12元，小瓶饮料每瓶5元。如果计划花240元买大瓶，可以买几