《制图基本》-第3章立体视图及立体表面交线

3.1平面立体

立体可分为平面立体和曲面立体。平面立体指表面都是平面的立体，如棱柱、棱椎等，如图3-1所示。作平面立体的三视图时，应先画出立体表面上各顶点、各棱线及顶面、底面等的相应投影，再分析各棱线与各投影面的相对位置，判别可见性。可见棱线画成粗实线，不可见的用虚线表示出来。3.1.1棱柱1.棱柱的三视图棱柱由棱面、顶面及底面所围成，各棱线互相平行。常见的棱柱有四棱柱、五棱柱、六棱柱等。图3-2(a)为一正六棱柱，由六个棱面和顶面、底面组成。顶面和底面均为水平面，其水平投影反映实形，正面、侧面投影分别积聚成一直线段。前、后两个侧面都是正平面，其正面投影反映实形，水平投影和侧面投影均积聚成直线段。棱柱的另外四个棱面都是铅垂面，水平投影分别积聚为一直线段，正面和侧面投影为四边形。正六棱柱的投影如图3-2(b)所示。下一页返回3.1平面立体棱线AB为铅垂线，其水平投影积聚成一点a(b)，正面投影和侧面投影均反映实长，即a'h'=a''h''=AB。棱面与顶面的交线DE为侧垂线，侧面投影积聚成为一点d''(e')，水平投影及正面投影均反映实长，即de=d'e'=DE。棱面与底面的交线BC为水平线，水平投影反应实长，即bc=BC，正面投影b'c'和侧面投影b''c''均处于水平位置且小于实长。其余棱线的投影情况可自行分析。正六棱柱三视图作图步骤。

(1)画出三视图的对称线。

(2)画出顶面、底面的三面投影。

(3)画出六个棱面的三面投影。绘制或阅读正六棱柱的三视图时，都应遵循投影规律，分析出表面形状及棱线相对投影面位置，从而实现三维与二维的转换。上一页下一页返回3.1平面立体2.棱柱表面取点立体表面取点，即根据立体表面上点的一个投影，求其余两个投影棱柱各表面均处于特殊位置，可利用其表面的积聚性来求得表面上点的投影。如图3-3所示，已知棱柱表面上M点的水平投影m，求其正面投影杯和侧面投影m''。分析:由于M可见，所以M在棱柱顶面上，棱柱顶面为水平面，它的正面和侧面投影都有积聚性。M点的投影必在顶面的同面投影上。所以由m可求得m'和m''，M点的三个投影均为可见。3.1.2棱锥1.棱锥的三视图棱锥由棱面与底面所围成。各棱面均是三角形，所有棱线汇交于一点，即棱锥的顶点。常见的有三棱锥、四棱锥等。上一页下一页返回3.1平面立体

图3-4(a)为一正三棱锥，它由底面△ABC和三个棱面△SAB、△SBC、△SAC组成。底面△ABC是水平面，它的水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚成水平直线段;棱面△SAC为侧垂面，侧面投影积聚成一直线段，水平和正面投影为类似形;棱面△SAB和△SBC为一般位置平面，三视图均为类似形。绘制棱锥的三视图时，画出底面△ABC和棱线SA、SB、SC的三面投影并判断可见性即可。棱锥的三视图作图步骤:(1)画出底面的三视图;(2)画出顶点的三视图;(3)画出棱线的三视图。2.棱锥的表面取点特殊位置平面上点的投影，可利用积聚性求得。一般位置平面上点的投影，则要利用辅助线来求解。上一页下一页返回3.1平面立体如图3-5所示，已知M点的正面投影m，求M点的其他投影。

m'可见，所以M点在棱面△SAB上，该面是一般位置平面，可过点S,M作辅助直线SI，因M点在直线SI上，M点的投影必在SI的同面投影上，由m'可求得m和m'';也可过M点在△SAB面上作平行于AB的直线ⅡⅢ为辅助线((23//ab、2''3''//a''b'')，因点M在ⅡⅢ线上，由m'可求得m和m''。方法一作图步骤:(1)连接s'm'并延长与a'b'交于1',s'1'即为辅助直线的正面投影;(2)作出SI的其他两面投影;(3)由m'可求得m和m''。方法二作图步骤:(1)过m'作2'3'//a'b';(2)作出ⅡⅢ的其余两面投影，并由m'求得m和m''。上一页返回3.2曲面立体曲面立体指表面是曲面或曲面和平面的立体，如圆柱、圆锥、球、圆环等，如图3-6所示。常见的曲面立体是回转体。一动线绕一条定直线回转一周，形成的曲面称为回转面，回转体即由回转面或回转面与平面围成。这条定直线称为回转体的轴线，动线称为回转体的母线，回转面上任意位置的一条母线称为素线，母线上点运动轨迹是圆，称为纬圆。绘制回转体三视图时，应画出回转体的轮廓线、顶点的投影，以及转向轮廓线的投影。转向轮廓线是决定视图范围的外形轮廓线，也常是曲面的可见与不可见部分的分界线。下面分别分析圆柱、圆锥、球及圆环的三视图。3.2.1圆柱下一页返回3.2曲面立体

以直线为母线，绕与它平行的轴线旋转一周所形成的面称为圆柱面。圆柱面和两端平面围成圆柱体，简称圆柱。1.圆柱的三视图

图3-7(a)所示为一水平放置的圆柱，轴线为侧垂线，圆柱面的侧面投影积聚为圆，此圆同时也是两端面的投影;两端面的正面投影和水平投影均积聚成直线。圆柱面最上端的素线和最下端的素线为正面投影面的转向轮廓线，最前端的素线和最后端的素线为水平投影面的转向轮廓线。圆柱三视图作图步骤:(1)画出轴线的正面投影和水平投影以及圆柱侧面投影的对称中心线;(2)画出两端面圆的投影;(3)画出各投影面的转向轮廓线。上一页下一页返回3.2曲面立体2.圆柱表面上取点圆柱表面取点，可利用圆柱面投影积聚性求得。如图3-7(b)所示，已知正面投影m'，求M点的其他投影。作图步骤:(l)利用圆柱侧面投影的积聚性，由m'求m'';(2)由观m'、m'',求m，并判断可见性。3.2.2圆锥以直线为母线，绕与它相交的轴线回转一周所形成的面称为圆锥面。圆锥面和锥底平面围成圆锥体，简称圆锥。1.圆锥的三视图上一页下一页返回3.2曲面立体

图3-8(a)所示为一正圆锥，其轴线为铅垂线，底面为水平面，其正面和侧面投影积聚为一段水平直线，水平投影反映实形即圆，圆锥面上点的水平投影都落在此圆范围内。圆锥三视图作图步骤:(1)画出轴线的正面和侧面投影以及俯视图中圆的中心线;(2)画出锥底面的三视图;(3)画出锥顶点的三视图;(4)画出圆锥面的转向轮廓线。圆锥三视图如3-8(b)所示。2.圆锥表面取点如图3-9所示，已知M点的正面投影m，求M点的水平投影m和侧面投影m''。上一页下一页返回3.2曲面立体根据m可知，M点在圆锥面上。圆锥面的投影无积聚性，故需作辅助线。方法一:辅助素线法如图3-9(a)所示，作图步骤如下:(1)在圆锥主视图上，作过锥顶s'和点m'的辅助素线，延长s'm'交锥底于1'。(2)求出辅助素线的水平投影s1和侧面投影.s''1''。(3)根据投影规律求得m和m''，并判断可见性。方法二:辅助纬圆法如图3-9(b)所示，作图步骤如下:(1)过m'点作一水平辅助纬圆，作纬圆的正面投影，即直线段2'3'。(2)作纬圆的水平投影，即一直径等于2'3'的圆。(3)根据投影规律求得m，即可求出m''，并判断可见性。上一页下一页返回3.2曲面立体3.2.3球以半圆为母线，绕其直径回转一周形成的面称为球面。球面围成球体，简称球。1.球的三视图球的三视图均为圆，其直径与球直径相等;这三个圆分别是球面对三个投影面的转向轮廓线的投影。如图3-10所示，球投影作图步骤:(1)画出对称中心线，确定球心位置;(2)画出三个与球直径相等的圆。2.球表面取点球表面取点，可通过纬圆法求得。如图3-10所示，已知球面上M点的水平投影m，求m'和m''。作图步骤如下:上一页下一页返回3.2曲面立体(1)过M点作一个平行于正面的辅助纬圆，水平投影为直线段12，正面投影为直径等于1'2'的圆。

(2)m可见，由从属性可作出m'。

(3)由m和m'作出m''。当然，也可过M点作平行于水平面的辅助纬圆或平行于侧面的辅助纬圆来求解。3.2.4环如图3-11所示，以圆A为母线，绕与该圆在同一平面内但不通过圆心的轴线回转一周所形成的面称为环面。环面围成环体，简称环。其中，圆A的外半圆回转形成外环面，内半圆回转形成内环面。上一页下一页返回3.2曲面立体1.圆环的三视图如图3-12所示，两个圆是最左、最右素线圆A,B是环面前后分界线。两个粗实线半圆是外环面正面投影轮廓线，两个虚线半圆为内环面正面投影轮廓线。圆的上、下两条切线是环面上最高、最低纬圆的积聚投影。侧面投影与正面投影形状类似。圆环三视图作图步骤:(1)出轴线的正面投影和侧面投影，及圆环水平投影的对称中心线。

(2)在水平投影中，画出内、外水平投影轮廓线(两个粗实线圆)，并用细点画线画出素线圆中心所在圆的投影。

(3)画出正面投影轮廓线，即圆a'、b'和两圆的上、下两条切线。上一页下一页返回3.2曲面立体(4)画出侧面投影轮廓线，即圆c''、d''和两圆的上、下两条切线。2.环面取点环面取点，可利用纬圆法求解。如图3-12所示，已知M点的水平投影m,求另外两投影。作图步骤如下:(1)过m点作水平辅助纬圆的水平投影;(2)求水平辅助纬圆的正面投影;(3)由m点求得m';(4)由m和m'求得m''，并判断可见性。上一页返回3.3平面与立体表面交线

立体被平面切截后的部分称为截切体，平面与该立体表面的交线称为截交线，该平面称为截平面。截交线既属于截平面，又属于立体表面，是二者共有点的集合。故求截交线的投影，可归结为求立体表面的棱线、素线或纬圆与截平面的交点的投影，然后依次连接各交点的同面投影即可。3.3.1平面截切平面立体平面与平面立体相交时，截交线是平面多边形，多边形的各顶点一般是立体的棱线与截平面的交点。因此，求平面立体截交线，可通过求直线与平面的交点来解决。

【例3-1]如图3-13(a)所示，求三棱锥S--ABC被正垂面P截切后的投影。分析:由图3-13可知，平面尸与三棱锥的三个棱面相交，交线为三角形，三角形的顶点是三棱锥三条棱线SA,SB、SC与平面P的交点。下一页返回3.3平面与立体表面交线

作图步骤:(1)作出三棱锥的三面投影;(2)平面P为正垂面，可得到各棱线与面P交点的正面投影1',2',3';(3)根据1',2',3'及从属性，求出各点的水平投影1,2,3与侧面投影1''、2''、3'';(4)依次连接各顶点的同面投影，即得截交线的水平投影△123和侧面投影△1''2''3'';(5)整理轮廓线，并判断可见性。结果如图3-13(b)所示。立体被两个或两个以上的截平面截切时，既要确定每个截平面与立体截交线，又要考虑截平面之间有无交线。

【例3-2]如图3-14(a)所示，求带切口的五棱柱的投影。上一页下一页返回3.3平面与立体表面交线

分析:五棱柱被正平面P和侧垂面Q截切。五棱柱与P平面的交线为B-A-G-F，其水平投影和侧面投影积聚成直线段;五棱柱与Q平面的交线为B-C-D-E-F，其侧面投影积聚成直线段;P、Q两截平面的交线为BF。作图时可分别求出五棱柱上点A,B,C,D,E,G,F的三面投影，然后依次连接各点的同面投影即可。作图步骤:(1)作出五棱柱的三面投影;(2)作出平面P,Q的侧面投影投影，确定点A,B,C,D,E,F,G的侧面投影;(3)根据投影从属性求出各点的水平投影和正面投影;(4)依次连接各点的同面投影，求得截交线B-A-G-F和截交线B-C-D-E-F的投影，并画出截平面交线BF三面投影;上一页下一页返回3.3平面与立体表面交线(5)整理轮廓线，并判断可见性。结果如图3-14(b)所示。3.3.2平面截切曲面立体平面截切曲面立体，截交线一般是由平面曲线(或平面曲线与直线)组成的封闭平面图形，截交线上的点是曲面立体与截平面的共有点。可先求截交线上最高、最低等特殊位置点，再求一般位置点，从而求得截交线。1.平面截切圆柱根据平面与圆柱轴线的相对位置不同，平面截切圆柱有三种截交形式，如表3-1所示。平面截切圆柱，第一、二种情况的截交线较简单，下面举例说明第三种情况时截交线投影的作图方法。上一页下一页返回3.3平面与立体表面交线【例3-3]如图3-15所示，求圆柱被正垂面P截切后的投影。分析:截平面P倾斜于圆柱的轴线，截交线的空间形状是椭圆，其长轴为ⅠⅡ，短轴为ⅢⅣ。截交线的正面投影积聚为一斜线，圆柱面的水平投影积聚成圆。利用圆柱表面取点的方法，由已知的正面投影(斜直线)和水平投影(圆)，求出各点的侧面投影，再按顺序光滑连接即得截交线的侧面投影。作图步骤如下:(1)作出圆柱未被截切时的各面投影。

(2)作出截切面的正面投影。

(3)求特殊点Ⅰ、Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ的各面投影，它们分别为截交线上最低、最高、最前和最后点，其正面投影与水平投影可直接在图上标出，侧面投影可根据投影关系作出。上一页下一页返回3.3平面与立体表面交线(4)作一般点，如图中的V、矶点和V,珊点，可利用圆柱表面取点的方法。(5)光滑连线，按顺序将各点的侧面投影光滑连接，即得截交线的侧面投影。(6)判断可见性，并整理投影轮廓线，如图3-15所示。截平面与圆柱轴线斜交夹角发生变化时，其侧面投影上椭圆的形状也随之变如图3-16所示，当夹角为45。时，截交线的侧面投影为与圆柱等直径的圆。[例3-4]如图3-17所示，求圆柱开槽后的投影。分析:圆柱槽口的截交线是由两个平行于圆柱轴线侧平面Pl,P2和一个垂直于圆柱轴线的水平面Q相交而成。逐个分析截平面与圆柱轴线的相对位置，分别作出各个截交线的投影，并注意画出两截平面交线的投影。上一页下一页返回3.3平面与立体表面交线

作图步骤如下:(1)画出圆柱未被截切时的各面投影。

(2)画出截平面Pl,P2与圆柱的截交线的正面投影，即为直线1'2'.7'8'.3'4',5'6',截平面Q与圆柱的截交线的正面投影为直线2'4',6'8'。

(3)画出各截交线的水平投影，顶面上截交线的投影为直线17和直线35;圆柱面上截交线的投影积聚在圆周上。

(4)求出各截交线的侧面投影。

(5)求截平面之间交线ⅡⅦ、ⅣⅥ的投影。正面投影积聚成点2'8',4'6',水平投影直线28,46分别与直线17,35重合，侧面投影为虚线2''8''和4''6''。

(6)整理投影轮廓线，如图3-17所示。圆柱切口、开槽、穿孔是较为常见，如图3-18所示，空心圆柱被平面截切。注意内圆柱表面也会产生另一组截交线，画法与外圆柱面截交线画法类似，还要注意它们的可见性。作图过程请读者自行分析。上一页下一页返回3.3平面与立体表面交线2.平面截切圆锥平面截切圆锥，根据截平面与轴线的相对位置不同，截交线基本形式有五种，如表3-2所示。

(1)当截平面通过圆锥顶点时，截交线是过锥顶的两条直线，连同它与锥底面的交线构成一个三角形。

(2)当截平面垂直于圆锥轴线时，截交线为圆。

(3)当截平面倾斜于圆锥轴线，且θ＞α时，截交线为椭圆。

(4)当截平面倾斜于圆锥轴线，且θ=α时，截交线为抛物线。

(6)当截平面平行或倾斜于圆锥轴线时(θ＜α),截交线为双曲线。

【例3-5]如图3-19(a)所示，求正垂面截切圆锥的投影。上一页下一页返回3.3平面与立体表面交线

分析:截半面倾斜于圆锥釉线，且θ>α,所以截交线是椭圆，长釉为ⅠⅡ，短轴为ⅢⅣ。截交线的正面投影为斜线段，它反映椭圆长轴的实长。可以利用圆锥表面取点的方法，求出椭圆上一系列点的水平和侧面投影，再将同面投影依次光滑连接，即得截交线水平投影和侧面投影。作图步骤:(1)作出圆锥未被截切时的各面投影。

(2)求出截交线的正面投影。

(3)求出特殊点的水平投影1,2及侧面投影1'',2''。1'2'的中点(3'4')是短轴端点的正面投影，用辅助圆法可求得水平投影3,4，然后即可求得侧面投影3''、4''。

(4)截交线的正面投影与圆锥正面投影对称线的交点5',6'，也是圆锥最前、最后素线上的点，据此可求出直接求得5'',6''，然后可求出水平投影5,6。上一页下一页返回3.3平面与立体表面交线(5)求一般位置点，可利用辅助素线法或辅助纬圆法，如图3-19点Ⅶ、Ⅷ投影可通过辅助纬圆法求得。

(6)将各点的同面投影依次光滑连接，即得水平投影和侧面投影。

(7)判断可见性，并整理轮廓线。结果如图3-19(b)所示。如图3-20(a)，侧平面截切圆锥，截交线为双曲线。双曲线的正面投影和水平投影均积聚为直线，侧面投影反映实形。一般点投影的求取，可采用纬圆法或素线法。截交线三视图结果如图3-20(b)所示，具体作图过程请读者自行分析。3.平面截切球平面与球的截交线是圆，其直径与截平面到球心的距离有关。上一页下一页返回3.3平面与立体表面交线

图3-21为一水平面截切球，其截交线正面投影和侧面投影均为直线段，而水平投影反映圆的实形。

图3-22(a)是一正垂面截切球，截交线的正面投影为直线段，水平投影和侧面投影均为椭圆。特殊点可根据正面投影1'.2'.5'.6'.7'.8'求出其他投影，一般点可通过辅助纬圆法求得。截交线三视图结果如图3-22(b)所示，具体作图过程请读者自行分析。

图3-23半球切槽的投影。分析:半球被两个侧平面和一个水平面截出一个凹槽，截交线均为圆弧，正面投影都是直线。在水平投影上，由水平面截切出的截交线的投影(圆弧)反映实形，由两个侧平面截切出的截交线分别投射成直线段。在侧面投影上，由水平面截切出的截交线投射成两段直线，由两个侧平面截切出的截交线的投影反映实形，两个截平面的交线为正垂线。上一页返回3.4立体与立体表面交线

立体相交称为相贯，其表面的交线称为相贯线。立体相贯可分为两平面体相贯、平面体与曲面体相贯、两曲面体相贯等。两平面立体相贯，相贯线与求平面截切平面立体的截交线类似，平面立体与曲面立体相贯，相贯线与求平面截切曲面立体的截交线类似，故本节主要讨论两曲面立体相贯的情况。相贯线是两立体的表面交线，是两立体表面共有点的集合，此外，它一般是封闭的空间曲线。3.4.1利用积聚性求相贯线若相贯两立体表面的某一投影具有积聚性(如圆柱面的积聚性)，相贯线在该投影上能够也必积聚，再结合投影关系或采用表面取点的方法，即可求出相贯线的其他投影。这种求相贯线的方法称为积聚性法。下一页返回3.4立体与立体表面交线3.4立体与立体表面交线1.两圆柱正交相贯两圆柱正交，即其轴线垂直相交。【例3-6]求图3-24(a)所示正交两圆柱的相贯线。分析:两圆柱正交相贯，小圆柱面的水平投影积聚成圆，故相贯线的水平投影也在该圆上。大圆柱面的侧面投影积聚成圆，相贯线的侧面投影必在这个圆上，再根据投影关系即可求出其正面投影。作图步骤:(1)作出两圆柱的水平投影、侧面投影及正面投影的外轮廓;(2)求特殊点，点Ⅰ、Ⅱ既是最高点，同时又是最左、最右点，点Ⅲ,Ⅳ既是最低点，同时又是最前、最后点。根据其水平投影和侧面投影都可求出的正面投影;(3)求一般点，可先在相贯线水平投影上定出一般点Ⅴ、Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ的水平投影，再求出其侧面投影，然后即可求出其正面投影;上一页下一页返回3.4立体与立体表面交线(4)依次光滑连接各点的正面投影;(5)判断可见性，整理轮廓线。结果如图3-24(b)所示。随着半径的变化，正交两圆柱相贯线变化趋势如图3-25所示。

(1)直径不相等的两正交圆柱相贯，相贯线为双曲线，其弯曲趋势总是向大圆柱投影内弯曲，如图3-25中(a),(b)所示;(2)直径相等的两正交圆柱，相贯线为两椭圆，如图3-25(c)所示。2.圆柱孔正交相贯图3-26(a)为圆柱与圆柱孔相贯，图3-26(b)为圆柱孔与圆柱孔相贯，图3-26(c)既有内、外圆柱面相贯，又有两内圆柱面相贯。相贯线的求法与上述圆柱面相贯线的求法一致，只是应注意画出内圆柱面的不可见的轮廓线。上一页下一页返回3.4立体与立体表面交线3.4.2利用辅助平面求相贯线假想用一辅助平面在适当位置截切相贯的两立体，辅助平面与立体表面产生两截交线，它们的交点既属于辅助平面，又属于两立体表面，即是相贯线上的点。更换辅助面求出若干点，依次光滑连接各点的同面投影，即得所求的相贯线。这种方法称为辅助平面法。选择辅助平面时，应选与两曲面立体的截交线投影是简单易画的图形(如直线或圆弧等)的平面。

[例3-7]求图3-27(a)中圆柱和圆锥正交的相贯线。分析:圆柱的轴线为侧垂线，圆锥的轴线为铅垂线，选用水平面作为辅助平面，它与圆柱面的截交线是两直线，与圆锥面的截交线为圆，两直线与圆的交点即为相贯线上的点。上一页下一页返回3.4立体与立体表面交线

作图步骤:(1)作出圆柱与圆锥的水平投影及侧面投影和正面投影的外轮廓。

(2)求特殊点，点Ⅰ、Ⅱ为相贯线上的最高、最低点，同时也是圆锥最左素线与圆柱正面转向轮廓线的交点，其三面投影可直接确定。

Ⅲ、Ⅳ为相贯线上最前、最后点，也是圆柱水平转向轮廓线上的点，侧面投影可直接得知，其余两投影可用辅助平面求得。以过这两点的水平面P1为辅助平面，它与圆锥的截交线为圆，与圆柱的截交线为平行两直线(即圆柱水平转向轮廓线)，圆与直线水平投影的交点即为3,4，利用投影关系可求出3'.4'。

(3)求一般点，如V、Ⅵ，可选用水平面P2作为辅助平面，作出它与圆柱、圆锥的截交线(直线与圆)，求出水平投影，再利用投影关系求出正面投影。可根据需要求得多个一般点的各面投影。上一页下一页返回3.4立体与立体表面交线(4)依次光滑连接各点的同面投影。(5)判断可见性