2026年应用时间序列分析习题及答案

2026年应用时间序列分析习题及答案习题1某地区2018年1月至2025年12月共96个月的月度工业产值数据（单位：亿元）记为序列{Xₜ}，部分数据如下（t=1对应2018年1月）：t:12345678910Xₜ:120123125128130132135137140142已知该序列经一阶差分后得到ΔXₜ=Xₜ-Xₜ₋₁，其样本自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）如下表（滞后阶数k=1至6）：k:123456ACF:0.320.150.08-0.05-0.020.01PACF:0.320.090.05-0.03-0.010.00（1）判断原序列{Xₜ}是否平稳，说明理由；（2）根据差分后序列的ACF和PACF，判断其适用的ARMA模型类型，并给出模型形式；（3）若拟合模型后得到残差序列{eₜ}，其Ljung-Box检验统计量Q(12)=15.2（自由度12），显著性水平α=0.05时临界值为21.03，判断残差是否为白噪声，说明依据。解答1（1）原序列{Xₜ}不平稳。理由：观察原始数据，Xₜ呈现明显递增趋势（1月至10月从120增长至142），趋势性序列通常非平稳；进一步，一阶差分后ΔXₜ的ACF和PACF在滞后1阶后迅速衰减至接近0，说明差分后可能平稳，因此原序列为一阶单整I(1)过程，非平稳。（2）差分后序列ΔXₜ的ACF在滞后1阶显著（0.32），滞后2阶及以上不显著（绝对值均小于0.1）；PACF同样仅滞后1阶显著（0.32），后续阶数不显著。根据ARMA模型识别规则，ACF和PACF均在1阶后截尾，符合ARMA(1,1)模型特征。但需注意，当ACF和PACF均仅一阶显著时，可能为AR(1)或MA(1)，需进一步验证。此处ACF和PACF的一阶值均为0.32，更接近ARMA(1,1)中φ₁和θ₁的关系（ARMA(1,1)的ACF(1)=(φ₁-θ₁)(1-φ₁θ₁)/(1-2φ₁θ₁+θ₁²)，若φ₁=θ₁则ACF(1)=0），但本题中ACF(1)=0.32>0，PACF(1)=0.32，更可能为AR(1)模型，因为AR(p)的PACF在p阶截尾，MA(q)的ACF在q阶截尾。此处PACF仅1阶显著，ACF衰减，故更合理的模型是AR(1)，即ΔXₜ=φ₀+φ₁ΔXₜ₋₁+eₜ，其中|φ₁|<1。（3）残差为白噪声。Ljung-Box检验原假设H₀：残差序列无自相关（白噪声），备择假设H₁：存在自相关。计算得到Q(12)=15.2，小于临界值21.03（α=0.05），故不拒绝原假设，认为残差是白噪声，模型拟合充分。习题2设某金融资产日收益率序列{rₜ}满足如下模型：rₜ=0.002+0.15rₜ₋₁+eₜeₜ|Ωₜ₋₁~N(0,hₜ)hₜ=0.0001+0.25eₜ₋₁²+0.65hₜ₋₁（1）指出该模型的具体类型，并写出其完整表达式；（2）计算该模型的无条件方差E(hₜ)；（3）若t时刻eₜ=0.02，hₜ=0.0004，预测t+1时刻的条件方差hₜ₊₁；（4）分析模型中参数0.25和0.65的经济含义。解答2（1）该模型为AR(1)-GARCH(1,1)模型。完整表达式为：均值方程：rₜ=μ+φ₁rₜ₋₁+eₜ，其中μ=0.002，φ₁=0.15；方差方程：hₜ=ω+α₁eₜ₋₁²+β₁hₜ₋₁，其中ω=0.0001，α₁=0.25，β₁=0.65。（2）GARCH(1,1)模型的无条件方差（长期方差）满足E(hₜ)=ω/(1-α₁-β₁)。代入参数得：E(hₜ)=0.0001/(1-0.25-0.65)=0.0001/0.1=0.001。（3）t+1时刻的条件方差hₜ₊₁=ω+α₁eₜ²+β₁hₜ=0.0001+0.25(0.02)²+0.650.0004=0.0001+0.250.0004+0.00026=0.0001+0.0001+0.00026=0.00046。（3）t+1时刻的条件方差hₜ₊₁=ω+α₁eₜ²+β₁hₜ=0.0001+0.25(0.02)²+0.650.0004=0.0001+0.250.0004+0.00026=0.0001+0.0001+0.00026=0.00046。（4）参数α₁=0.25表示过去一期残差平方（即“新息”）对当前条件方差的影响系数，反映市场“冲击”（如突发事件导致的异常收益率）对波动率的贡献；β₁=0.65表示过去一期条件方差对当前条件方差的影响系数，反映波动率的持续性（记忆性）。两者之和α₁+β₁=0.9<1，满足GARCH模型平稳性条件，说明波动率的冲击会逐渐衰减，但β₁较大（0.65>α₁），表明波动率具有较强的长期记忆性。习题3某城市2015年至2024年季度GDP数据（单位：亿元）记为{Yₜ}（t=1至40，t=1为2015Q1），经检验为二阶单整I(2)序列。对其进行二阶差分得到Zₜ=Δ²Yₜ=ΔYₜ-ΔYₜ₋₁，Zₜ的样本ACF和PACF如下（滞后阶数k=1至8）：k:12345678ACF:0.450.300.180.05-0.03-0.010.000.00PACF:0.450.12-0.080.03-0.020.010.000.00（1）判断Zₜ的平稳性，说明理由；（2）根据ACF和PACF，选择Zₜ的ARMA模型阶数(p,q)，并给出模型形式；（3）若使用ARIMA(p,d,q)模型拟合原序列{Yₜ}，确定d值，并说明理由；（4）假设拟合ARIMA(2,2,1)模型后，得到参数估计：φ₁=0.5,φ₂=-0.2,θ₁=0.3（截距项显著），写出该模型的具体表达式（差分后形式）。解答3（1）Zₜ是平稳序列。理由：二阶差分后Zₜ的ACF和PACF在滞后1阶后迅速衰减至接近0（k≥4时ACF和PACF绝对值均小于0.1），且无明显趋势或周期性，符合平稳序列的特征。（2）Zₜ的ACF在滞后1阶显著（0.45），滞后2阶次显著（0.30），后续阶数不显著；PACF仅滞后1阶显著（0.45），后续阶数不显著。根据ARMA模型识别规则，ACF拖尾（衰减）、PACF在1阶截尾，符合AR(1)模型特征（AR(p)的PACF在p阶截尾，ACF拖尾）。但ACF滞后2阶为0.30（超过2倍标准误，假设标准误约为1/√T≈0.16，0.30>0.32？此处需注意，若样本量T=40，标准误约为1/√40≈0.158，0.30>20.158≈0.316，接近显著），可能需考虑AR(2)。但PACF滞后2阶为0.12<0.316，不显著，因此更合理的模型是AR(1)，即Zₜ=φ₀+φ₁Zₜ₋₁+eₜ，|φ₁|<1。（2）Zₜ的ACF在滞后1阶显著（0.45），滞后2阶次显著（0.30），后续阶数不显著；PACF仅滞后1阶显著（0.45），后续阶数不显著。根据ARMA模型识别规则，ACF拖尾（衰减）、PACF在1阶截尾，符合AR(1)模型特征（AR(p)的PACF在p阶截尾，ACF拖尾）。但ACF滞后2阶为0.30（超过2倍标准误，假设标准误约为1/√T≈0.16，0.30>0.32？此处需注意，若样本量T=40，标准误约为1/√40≈0.158，0.30>20.158≈0.316，接近显著），可能需考虑AR(2)。但PACF滞后2阶为0.12<0.316，不显著，因此更合理的模型是AR(1)，即Zₜ=φ₀+φ₁Zₜ₋₁+eₜ，|φ₁|<1。（3）d=2。原序列{Yₜ}为二阶单整I(2)，即需要二阶差分（d=2）才能转化为平稳序列Zₜ=Δ²Yₜ，因此ARIMA模型的差分阶数d=2。（4）ARIMA(2,2,1)模型的差分后形式为：(1-φ₁L-φ₂L²)(1-L)²Yₜ=φ₀+(1-θ₁L)eₜ代入参数得：(1-0.5L+0.2L²)(1-2L+L²)Yₜ=φ₀+(1-0.3L)eₜ展开差分算子：(1-0.5L+0.2L²)(Yₜ-2Yₜ₋₁+Yₜ₋₂)=φ₀+eₜ-0.3eₜ₋₁即：Yₜ-2Yₜ₋₁+Yₜ₋₂-0.5(Yₜ₋₁-2Yₜ₋₂+Yₜ₋₃)+0.2(Yₜ₋₂-2Yₜ₋₃+Yₜ₋₄)=φ₀+eₜ-0.3eₜ₋₁整理后：Yₜ-2.5Yₜ₋₁+2.2Yₜ₋₂-0.9Yₜ₋₃+0.2Yₜ₋₄=φ₀+eₜ-0.3eₜ₋₁习题4考虑两个变量的VAR模型：消费支出Cₜ和可支配收入Iₜ，样本区间为2000Q1至2024Q4（T=100），建立VAR(2)模型：Cₜ=α₁+φ₁₁(1)Cₜ₋₁+φ₁₂(1)Iₜ₋₁+φ₁₁(2)Cₜ₋₂+φ₁₂(2)Iₜ₋₂+e₁ₜIₜ=α₂+φ₂₁(1)Cₜ₋₁+φ₂₂(1)Iₜ₋₁+φ₂₁(2)Cₜ₋₂+φ₂₂(2)Iₜ₋₂+e₂ₜ（1）写出该VAR(2)模型的矩阵形式；（2）若φ₁₂(1)=0.4,φ₁₂(2)=0.1，解释其经济含义；（3）进行脉冲响应分析时，假设e₁ₜ和e₂ₜ的协方差矩阵Σ=E(ee')=[[0.04,0.02],[0.02,0.09]]，计算Cholesky分解后的正交化冲击；（4）若检验VAR模型的稳定性，特征方程为det(I-φ₁z-φ₂z²)=0，其根的模分别为0.8,1.2,0.9,1.1，判断模型是否稳定，说明理由。解答4（1）矩阵形式为：Yₜ=A₀+A₁Yₜ₋₁+A₂Yₜ₋₂+eₜ其中Yₜ=(Cₜ,Iₜ)'，A₀=(α₁,α₂)'，A₁=[[φ₁₁(1),φ₁₂(1)],[φ₂₁(1),φ₂₂(1)]]，A₂=[[φ₁₁(2),φ₁₂(2)],[φ₂₁(2),φ₂₂(2)]]，eₜ=(e₁ₜ,e₂ₜ)'。（2）φ₁₂(1)=0.4表示滞后1期的可支配收入Iₜ₋₁对当期消费支出Cₜ的影响系数，即Iₜ₋₁每增加1单位，Cₜ平均增加0.4单位；φ₁₂(2)=0.1表示滞后2期的可支配收入Iₜ₋₂对Cₜ的影响系数，即Iₜ₋₂每增加1单位，Cₜ平均增加0.1单位。两者反映收入对消费的滞后影响，且滞后1期的影响大于滞后2期。（3）Cholesky分解要求Σ=PP'，其中P为下三角矩阵。设P=[[p₁₁,0],[p₂₁,p₂₂]]，则：p₁₁²=0.04→p₁₁=0.2；p₂₁p₁₁=0.02→p₂₁=0.02/0.2=0.1；p₂₁²+p₂₂²=0.09→p₂₂=√(0.09-0.01)=√0.08≈0.2828。因此正交化冲击为P⁻¹eₜ，其中P⁻¹=[[1/0.2,0],[-0.1/(0.20.2828),1/0.2828]]=[[5,0],[-1.7678,3.5355]]。因此正交化冲击为P⁻¹eₜ，其中P⁻¹=[[1/0.2,0],[-0.1/(0.20.2828),1/0.2828]]=[[5,0],[-1.7678,3.5355]]。（4）VAR模型稳定的条件是所有特征根的模小于1。本题中特征根的模为0.8,1.2,0.9,1.1，其中1.2和1.1的模大于1，因此模型不稳定。不稳定的VAR模型会导致脉冲响应函数发散，预测结果不可靠。习题5某企业2016年1月至2025年12月的月销售额数据（单位：万元）记为{Sₜ}，已确认其包含季节性成分（周期s=12）。采用SARIMA模型拟合，经检验差分后序列平稳，模型识别为SARIMA(1,1,1)(1,1,1)₁₂。（1）写出该SARIMA模型的完整表达式（包含季节和非季节部分）；（2）若拟合后得到参数：φ₁=0.6（非季节AR参数），Φ₁=0.5（季节AR参数），θ₁=0.3（非季节MA参数），Θ₁=0.4（季节MA参数），截距项α=2.5，写出具体的模型方程；（3）计算该模型的总阶数（参数个数），并说明季节差分和非季节差分的作用；（4）若2025年12月的销售额S₁₂₀=500万元，2025年11月S₁₁₉=480万元，2024年12月S₁₀₈=450万元，2024年11月S₁₀₇=430万元，预测2026年1月的销售额（假设残差e₁₂₀=0）。解答5（1）SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)ₛ模型的一般形式为：(1-φ₁L-…-φₚLᵖ)(1-Φ₁Lˢ-…-ΦₚLᴾˢ)(1-L)ᵈ(1-Lˢ)ᴰSₜ=α+(1-θ₁L-…-θ_qL۹)(1-Θ₁Lˢ-…-Θ_QLQˢ)eₜ本题中p=1,d=1,q=1,P=1,D=1,Q=1,s=12，因此：(1-φ₁L)(1-Φ₁L¹²)(1-L)(1-L¹²)Sₜ=α+(1-θ₁L)(1-Θ₁L¹²)eₜ（2）代入参数得：(1-0.6L)(1-0.5L¹²)(1-L)(1-L¹²)Sₜ=2.5+(1-0.3L)(1-0.4L¹²)eₜ（3）总参数个数包括非季节AR(p=1)、季节AR(P=1)、非季节MA(q=1)、季节MA(Q=1)和截距项α，共1+1+1+1+1=5个参数（若截距项不独立，可能合并，但通常SARIMA包含截距）。季节差分(1-L¹²)用于消除年度季节性（周期12个月），非季节差分(1-L)用于消除趋势性，两者共同使序列平稳。（4）预测2026年1月（t=121）的销售额，需展开模型的差分形式：(1-L)(1-L¹²)Sₜ=ΔΔ₁₂Sₜ=Sₜ-Sₜ₋₁-Sₜ₋₁₂+Sₜ₋₁₃