小学五年级数学《除数是整数的小数除法》教案

小学五年级数学《除数是整数的小数除法》教案

  一、教材与学情深度分析

  （一）教材的立体化解读与价值定位

    “除数是整数的小数除法”是数与代数领域“数的运算”主题中的核心内容之一，隶属于人教版小学数学五年级上册第三单元。从整个小学数学知识体系的宏观脉络审视，本课处于承上启下的关键枢纽位置。承上，它紧密衔接四年级学习的“整数除法”、“小数的意义和性质”以及本单元先前学习的“小数乘法”，是对整数除法运算的一次意义拓展和算法迁移；启下，它直接为后续学习“一个数除以小数”、“商的近似值”、“循环小数”乃至六年级的“分数除法”奠定坚实的算理基础与算法模型。

    教材通常通过创设贴近学生生活实际的问题情境（如购物、体育、科学测量等），引出除数是整数的小数除法算式。其编排逻辑遵循从特殊到一般、从具体到抽象的原则：往往先呈现被除数小数位数能够被整除的简单情形，再逐步过渡到有余数需要添0继续除，以及商中间有0的复杂情况。核心的算理揭示点在于“商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐”。这一关键问题，本质上是将整数除法的“计数单位相除”思想迁移至小数领域。例如，计算9.6÷3，可以理解为将9个一和6个十分之一平均分成3份，每份是3个一和2个十分之一，即3.2。竖式中，先分“个位”上的9，商3写在个位，对应着3个一；分完个位后，将十分位上的“6”落下来继续除，这个“6”代表6个十分之一，除以3得到2个十分之一，因此商“2”必须写在十分位上，这就在算理层面自然解释了小数点对齐的必要性。

    本课的学习，远不止于掌握一种计算技能。其深层次的教育价值在于：第一，发展学生的运算能力和推理意识。学生在探索算法、明晰算理的过程中，需要经历观察、猜想、验证、归纳等完整的数学思维活动，实现从具体操作到形式化符号表达的抽象飞跃。第二，强化数感与模型思想。通过对运算结果的预估和解释，学生能进一步理解小数作为“十进制分数”的本质，构建起整数、小数除法运算的统一认知模型。第三，培养应用意识和探究精神。解决真实情境中的问题，能让学生体会数学的实用价值，并在挑战性任务驱动下，主动建构知识。

  （二）学情的精准化诊断与认知起点分析

    教学对象为小学五年级学生，其认知发展正处于由具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。

    已有知识经验储备：1.熟练掌握整数除法的笔算方法，明晰“从高位除起”、“除到哪一位，商就写在那一位上面”、“余数必须比除数小”等基本法则。2.深刻理解小数的意义，熟知小数的数位顺序表，能进行小数与十进分数之间的互化。3.初步学习了小数乘法，并理解了积的小数点定位规律。这些均为本课学习提供了稳固的知识锚点。

    潜在学习困难与迷思概念预判：1.算理理解的障碍：学生最容易出现的困惑是“为什么小数除法中商的小数点要和被除数的小数点对齐”，而容易与小数乘法“数因数的小数位数”的方法混淆。他们可能机械记忆规则，但对其背后的“计数单位细分与继续除”的原理理解不深。2.算法迁移的负干扰：整数除法中“末尾有余数添0继续除”是在整数范围内，而小数除法中“末尾有余数添0”实质是小数性质的应用（在小数末尾添0，大小不变），概念上存在跨越。3.操作过程中的典型错误：如竖式中忘记点商的小数点；被除数整数部分除完后，直接将小数部分当作余数处理而不继续除；当被除数整数部分小于除数，商0后，小数点位置处理不当等。

    心理与能力特点：五年级学生具备一定的自主探究与合作交流能力，乐于接受挑战，但对抽象的算理推导可能缺乏持久兴趣。他们更倾向于从直观操作和熟悉的情境中获取理解。因此，教学设计需提供丰富的直观支撑（如人民币模型、面积模型、线段图），设计层层递进的问题链，引导学生在“做数学”和“说数学”中主动突破认知难点。

  二、素养导向的教学目标

    依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养要求，结合教材与学情，确立以下三维融合的教学目标：

    1.知识与技能：理解并掌握除数是整数的小数除法的计算方法，能正确书写竖式，并准确计算除数是整数的小数除法（包括整数部分不够商1、需要添0继续除等情况）。

    2.过程与方法：在解决实际问题的过程中，经历自主探索、合作交流、算法多样化的过程，通过联系数的含义、借助直观模型等方式，深刻理解“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的算理，实现从整数除法到小数除法的算法迁移和意义建构。

    3.情感、态度与价值观：在探索算理、算法的活动中，体验克服困难、解决问题的成功喜悦，感受数学知识之间的内在联系，培养严谨认真的计算习惯和初步的推理意识、应用意识。

  三、教学重难点研判

    教学重点：除数是整数的小数除法的计算方法，理解“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的算理。

    教学难点：理解“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的算理本质；掌握被除数整数部分不够除，商0后点上小数点再除，以及除到被除数末尾有余数需要添0继续除的方法。

  四、教学准备

    1.教师准备：多媒体课件（包含问题情境动画、直观模型演示、阶梯式练习题组）、人民币学具图片（元、角、分）、正方形方格图。

    2.学生准备：练习本、笔。

  五、教学过程设计与实施

    （一）情境激趣，问题导学（预计时间：5分钟）

      1.创设情境，激活旧知

        课件呈现情境：学校开展“阳光体育”活动，王鹏同学坚持晨跑。他计划4周跑步22.4千米。为了科学锻炼，他想知道平均每周应跑多少千米？

        师：从图中你获得了哪些数学信息？能提出什么数学问题？

        生：已知总路程22.4千米，总时间4周，求平均每周跑的路程。列式为：22.4÷4。

      2.揭示课题，明确目标

        师：仔细观察这个算式，和我们以前学过的除法算式有什么不同？

        生：被除数是小数，除数是整数。

        师：是的，这就是我们今天要深入研究的新课——除数是整数的小数除法。（板书课题）面对这个新问题，你打算怎么计算？先估一估，结果大概是多少？

        生：22.4比20大，比24小，20÷4=5，24÷4=6，所以结果应该在5和6之间，大约是5点几。

      设计意图：选用学生熟悉的体育活动情境导入，自然引出小数除法问题，赋予计算现实意义。通过对比揭示新知，利用估算培养学生的数感，并对计算结果形成合理预期，为后续探究提供方向和方法上的铺垫。

    （二）自主探究，初构算法（预计时间：12分钟）

      1.独立尝试，暴露思维原初状态

        师：22.4÷4到底等于多少呢？请同学们独立思考，尝试用自己的方法计算。可以动笔算一算，也可以利用老师提供的“元角分”模型（课件呈现：22.4元可以看作22元4角）想一想，把你的想法记录下来。

        学生独立尝试，教师巡视，收集具有代表性的不同算法（正确与错误的）。

      2.算法交流，呈现多样化策略

        将学生的不同解法投影展示：

        策略一：单位换算（化为整数）

        22.4千米=22400米，22400÷4=5600（米），5600米=5.6千米。

        策略二：利用人民币模型

        把22.4元看成22元4角。22元÷4=5元……2元，余下的2元换成20角，加上原来的4角，是24角。24角÷4=6角。所以一共是5元6角，即5.6元（千米）。

        策略三：小数的意义（化为分数）

        22.4=224/10，(224/10)÷4=224/10×1/4=224/40=56/10=5.6。

        策略四：尝试笔算（可能正确或错误）

        学生可能出现的竖式样例如下：

        (正确)(错误：忘点小数点)(错误：小数部分直接当余数)

        5.6565……2.4

        4)22.44)22.44)22.4

        202020

        ——————

        2.4242.4

        2.424

        ————

        00

      3.聚焦冲突，引发算理探究需求

        师：同学们真了不起，想出了这么多方法！这些方法都能帮助我们得到22.4÷4=5.6。那么，这些方法之间有没有什么共同点或者联系呢？尤其是笔算的方法，有的同学得到了5.6，有的得到了56，还有的得到了5余2.4，到底哪种正确？为什么正确的竖式里，商的小数点要点在那个位置？

      设计意图：本环节是学生算法生成的“孵化场”。放手让学生尝试，充分尊重其认知起点和个性化思维。展示多样化策略，旨在沟通不同方法间的内在联系（本质都是将不同计数单位上的数进行拆分与重组），并聚焦于竖式计算这一核心载体。通过呈现典型错误，制造认知冲突，使学生产生“为何要点小数点”的强烈探究欲望，将教学自然引向对算理的深度剖析。

    （三）操作明理，深度建构（预计时间：15分钟）

      1.模型支撑，直观诠释算理

        师：为了弄明白竖式计算的道理，我们请“老朋友”来帮忙。（课件动态演示）

        演示一：人民币模型与竖式对应

        将22.4元表示为22元（2张10元，2张1元）和4角（4个1角）。

        第一步（分“元”）：22元平均分成4份，每份最多分5元（竖式：22÷4商5，写在个位，表示5元）。分了20元（4×5=20），还余2元。

        第二步（“元”化“角”）：余下的2元换成20角（竖式：落下十分位上的“4”？不，此时余数“2”在个位，代表2元。2元=20角，需要与原有的4角合并，是24角。在竖式中，这个操作如何体现？——将十分位上的“4”“落下来”，与余数“2”组成“24”。但这“24”表示什么？是24角，也就是24个十分之一元）。

        第三步（分“角”）：24角平均分成4份，每份6角（竖式：24÷4商6，这个“6”表示6角，应写在什么位？角是十分之一元，所以应写在十分位）。分掉24角（4×6=24），正好分完。

        追问：现在你看明白了吗？竖式里，商“5”写在个位，因为它分的是“元”；商“6”必须写在十分位，因为它分的是“角”（十分之一元）。为了区分开“元”和“角”这两个不同的单位，我们在商里用“小数点”将它们隔开。所以，商的小数点应该点在“5”（个位）和“6”（十分位）之间，也就是和被除数22.4的小数点对齐的位置。

      2.数形结合，抽象计数单位思想

        演示二：面积模型（方格图）

        用一个长方形表示总数22.4（长22.4个单位）。平均分成4份。

        先分整数部分20，每份得5（长5）；剩下2.4的部分，可以看作24个小格（每个小格是0.1），平均分给4份，每份得6个小格（长0.6）。合起来每份长5.6。再次强化“先分整数部分，再分小数部分”的过程，而竖式就是这一过程的简洁记录。

        师：无论是分钱还是分图形，我们都是先分（整）数部分，分完后剩下的，转换成更小的单位（从“元”到“角”，从“一”到“十分之一”），和原来的小数部分合起来再分。在竖式里，“落下一个数字”并继续除，就代表了这个“转换与合并”的过程。商的小数点，标志着整数部分分完了，接下来要分小数部分了。

      3.对比归纳，形成算法雏形

        师：现在，请同学们对比正确的竖式计算过程，和整数除法相比，有哪些步骤是相同的？最需要特别注意的新步骤是什么？

        引导学生总结：计算方法与整数除法基本相同，也是“从高位除起”，“除到哪一位，商就写在哪一位上面”。关键的不同点在于：商的小数点要和被除数的小数点对齐。这既是新步骤，也是算理的核心体现。

      设计意图：这是突破教学难点的核心环节。通过人民币模型和面积模型的动态演示，将抽象的竖式每一步与具体的“分物”过程一一对应，赋予“落下一个数字”、“商的位置”、“小数点对齐”等操作以直观的、可理解的现实意义。从具体模型到抽象符号的多次往复，帮助学生完成对算理的意义建构，真正理解“小数点对齐”是“相同计数单位相除”这一数学本质在算法上的必然要求。

    （四）迁移拓展，完善算法（预计时间：10分钟）

      1.挑战进阶，探究特殊情形

        问题一：被除数整数部分不够除怎么办？

        出示：王鹏每周计划跑5.6千米，他平均每天要跑多少千米？（5.6÷7）

        师：请先估一估，商比1大还是比1小？为什么？（被除数整数部分5比除数7小，不够商1，所以商是纯小数，小于1）。

        学生尝试列竖式计算，必然遇到“5除以7不够商1”的困境。

        师：整数部分不够商1，在整数除法中我们怎么处理？（商0）。这里可以吗？商0后，接下来怎么除？商的小数点怎么点？

        引导学生讨论并操作：个位不够商1，就在商的个位上写0占位，表示整数部分分完了0个一。然后点上小数点（与被除数的小数点对齐），将十分位上的“6”落下来，看成56个十分之一继续除以7。

        问题二：除到最后有余数怎么办？

        出示：王鹏的爷爷也爱锻炼，他12分钟跑了1.8千米，平均每分钟跑多少千米？（1.8÷12）

        学生计算。当计算到十分位上1除以12不够商1时，引导学生回忆小数性质，在被除数1.8的末尾添0（大小不变），变成1.80，将百分位上的0落下来，看作180个百分之一继续除。或者，当算到余数6（表示6个十分之一）时，添0变成60个百分之一继续除。

        明确：在小数除法中，如果除到被除数末尾仍有余数，可以根据小数的性质，在余数后面添0继续除，直到除尽或达到要求的精度为止。

      2.算法统整，形成结构化认知

        师生共同梳理除数是整数的小数除法计算法则：

          （1）按：按照整数除法的法则进行计算。

          （2）齐：商的小数点要和被除数的小数点对齐。

          （3）添：如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。

          （4）补：如果被除数的整数部分不够除，先在商的个位写0，点上小数点后再继续除。

        可以将法则简化为口诀：“小数除法整数除，点对齐点是关键。整数部分不够除，商0点点继续除。末尾有余要添0，一直除到尽为止。”

    设计意图：本环节旨在引导学生将初步建构的算法迁移到更一般、更复杂的情境中，通过解决“整数部分不够商1”和“有余数需添0继续除”这两个典型难点，完善对算法的全面认识。教师的引导侧重于激发学生的已有经验（商0占位、小数性质），促进知识的正向迁移。最后的算法归纳，将零散的操作要点系统化、结构化，形成清晰、稳固的计算程序模型，便于学生掌握和应用。

    （五）分层应用，巩固内化（预计时间：10分钟）

      1.基础巩固层：算法明辨

        (1)竖式计算，并说说你是怎么算的。

          9.6÷4=14.4÷12=6.5÷5=（被除数整数部分够除）

        (2)竖式计算，重点关注特殊处理。

          2.4÷6=1.26÷18=0.735÷7=（涉及整数部分不够除、中间不够商1、末尾添0）

        设计意图：巩固基本算法，强化计算技能，尤其关注易错点的专项练习。

      2.变式辨析层：算理深植

        (1)数学小医生：诊断下列竖式中的错误，并改正。

          （设计常见错误类型：忘点小数点、小数点没对齐、整数部分不够除未商0、添0位置错误等）

        (2)根据不完整的竖式，推理并补全被除数、除数或商。

        设计意图：通过辨析错误和逆向思考，深化对算理的理解，培养学生批判性思维和推理能力。

      3.综合应用层：问题解决

        (1)一盒铅笔5支共8.5元，平均每支铅笔多少钱？

        (2)一辆汽车行驶85.5千米用了3小时，它的平均速度是每小时多少千米？

        (3)（拓展）一瓶1.5升的果汁，正好倒满6个相同的杯子。每杯果汁有多少升？如果倒满10个这样的杯子呢？先估一估，再计算。

        设计意图：将计算技能置于真实问题情境中应用，培养学生获取信息、分析数量关系、运用数学知识解决实际问题的能力，体会数学的价值。拓展题渗透了函数思想（总量一定，份数与每份量成反比关系的雏形）。

    （六）回顾反思，展望延伸（预计时间：3分钟）

      1.课堂小结

        师：通过今天的学习，你有哪些收获？在探索除数是整数的小数除法的过程中，我们经历了怎样的学习路径？（发现问题—尝试解决—操作明理—总结算法—应用拓展）你认为最关键的是什么？（理解“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的道理）

      2.课后延伸

        （1）实践作业：记录家里一次购物的小票，选择其中一种商品，计算它的单价，并与小票核对。

        （2）预习思考：如果除数不是整数，而是小数，比如22.4÷0.4，又该怎样计算呢？你能尝试将除数变成整数吗？

    设计意图：引导学生从知识、方法、经验等多个维度进行反思梳理，形成完整的认知闭环。课后作业设计兼具实践性、趣味性和前瞻性，既巩固本节课知识，又将学生的思维引向下一节课“一个数除以小数”，为后续学习埋下伏笔，保持探究的连续性。

  六、板书设计

    板书力求清晰、直观地展现知识的发生发展过程和逻辑结构。

    除数是整数的小数除法

    核心问题：22.4÷4=5.6（千米）

    探究过程：

      1.尝试：22.4km=22400m→整数除

        22.4元=22元4角→实物分

      2.明理（竖式对应）：

        5.6……商

        4)22.4……被除数

        20……分掉20个一（4×5）

        ————

        2.4……余2个一和4个十分之一（合24个十分之一）

        2.4