2026年四川省巴中市中考数学试题（教师卷）

巴中市2026年初中学业水平考试数学试卷

（满分150分，120分钟完卷）

第Ⅰ卷选择题（共40分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是正确的）

1.下列实数中最大的是（）

A.πB.2C.1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】利用“正数大于0，0大于负数”的基本性质即可求解．

【详解】解：∵所有负数都小于0，所有正数都大于0，又2，1是负数，0不是正数，π3.14是正

数，

∴012，

因此最大的实数是．

2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【详解】解：A选项，五角星是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

B选项，太极图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

C选项，奥运五环是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

D选项，该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意．

3.下列计算正确的是（）

A.a2a5a10B.3a2b5ab

22

C.aba2b2D.aabaab

【答案】D

【解析】

【分析】运用同底数幂乘法法则、同类项概念、完全平方公式、单项式乘多项式法则，逐一判断选项即可．

【详解】解：A、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴a2a5a25a7a10，A错误．

B、∵3a与2b所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴3a2b5ab，B错误．

C、∵根据完全平方公式，(ab)2a22abb2，∴(ab)2a2b2，C错误．

2

D、∵根据单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项再相加，∴aabaaabaab，

D正确．

4.一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色不同外没有其他区别，布袋中的球已经搅匀，

从布袋中任取一个球，取出红球的概率为（）

1123

A.B.C.D.

2334

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查概率的计算，根据概率公式，随机事件的概率等于所求情况数除以所有可能的总情况数，

代入计算即可．

【详解】解：∵布袋中有8个红球和16个黑球，

∴球的总个数为81624，

81

∴取出红球的概率为．

243

5.在平面直角坐标系中，点P2,3关于x轴对称的点P的坐标为（）

A.2,3B.2,3C.3,2D.3,2

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律，利用“关于x轴对称的点，横坐标不变，

纵坐标互为相反数”即可求解．

【详解】解：∵关于x轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数，

已知点P2,3，

∴点P关于x轴对称的点P'的横坐标为2，纵坐标为3，即P2,3．

6.要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木架不变形，需将其分割成三角形，即过六边形的一个顶点

作对角线，需要的木条数等于对角线的条数．

【详解】解：∵三角形具有稳定性，要使六边形木架不变形，需把它分成三角形．

∵过n边形的一个顶点作对角线，有(n3)条对角线，

∴对于六边形，至少要再钉上633根木条．

k

7.函数ykxk与y（k0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

x

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据k的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可．

【详解】解：分两种情况讨论：①当k0时，则k0，

k

反比例函数y的图象在第一、三象限，一次函数ykxk的图象经过第一、三、四象限；

x

观察选项A、B，图象均不符合；

②当k0时，则k0，

k

反比例函数y的图象在第二、四象限，一次函数ykxk的图象经过第一、二、四象限；

x

观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合；

观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合．

8.科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作

用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘

1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平

均滞尘量为xmg，则可列方程为（）

10005501000550

A.B.

x2x42x4x

10005501000550

C.D.

x2x42x4x

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查列分式方程解决实际问题，解题思路是先根据题意表示出一片银杏树叶的平均滞尘量，

再根据“片数=总滞尘量÷单片滞尘量”，结合两种树叶的片数相等列出方程．

【详解】解：∵设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg，一片银杏树叶一年的平均滞尘量比国槐的2倍

少4mg，

∴一片银杏树叶一年的平均滞尘量为2x4mg．

1000550

∵一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数为，一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数为，

2x4x

且两种树叶的片数相同，

1000550

∴可列方程：．

2x4x

9.如图，在Rt△ABC中，C90，AB13，BC5，以点B为圆心任意长为半径画弧分别交BC、

1

BA于M、N两点，分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延

2

长交AC于点F，则△ABF的面积为（）

10254065

A.B.C.D.

3333

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式．首先根据勾股定理求出AC的长，

再根据尺规作图可知BF是ABC的角平分线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，结合面积法求

出点F到AB的距离（即FC的长），最后计算△ABF的面积．

【详解】解：在Rt△ABC中，C90，AB13，BC5，

由勾股定理得：ACAB2BC21325212，

由尺规作图可知，BF是ABC的角平分线，过点F作FDAB于点D，

C90，即FCBC，

FDFC，

，

SABCSABFSCBF

111

ACBCABFDBCFC，

222

111

即12513FC5FC，

222

6013FC5FC，

10

18FC60，解得FC，

3

10

FD，

3

111065

SABFD13．

ABF2233

1

10.关于二次函数yx2x，下列说法正确的个数是（）

4

①它的图象经过第一、二、三象限；

②当x3时，y随x的增大而增大；

1

③它的图象可由yx2向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到；

4

④直线ykx1（k为常数）与它的图象一定有两个交点．

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐

个判断即可得结论．

11

【详解】解：∵yx2x(x2)21，

44

1

∵a0，

4

∴抛物线开口向上，对称轴为x2，顶点坐标为2,1，

1

①令y0，得x2x0，解得x0或x4，即抛物线与x轴交于0,0和4,0，

4

∵抛物线开口向上，

1

∴当x0时，yx2x0恒成立，不存在x0且y0的点，

4

∴图象不经过第三象限，故①错误；

②∵开口向上，对称轴为x2，

∴x2时，y随x的增大而增大，又32，

∴x3时y随x的增大而增大，故②正确；

1

③根据平移规律可得，yx2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为

4

1

y(x2)21，与原函数一致，故③正确；

4

1

yx2x

④联立4，整理得x24k1x40，

ykx1

∵Δ[4k1]241416(k1)2160恒成立，

∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确；

综上所述，正确的说法共3个．

第Ⅱ卷非选择题（共110分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

11.计算：5151__________________．

【答案】

4

【解析】

【分析】本题考查平方差公式与二次根式的运算，观察式子符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开

后，结合二次根式的性质计算即可得到结果．

2

【详解】解：5151512514

1

12.代数式有意义时，x的取值范围是_____________．

x3

【答案】x3

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式求解即可．

1

【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据

x3

二次根式的定义，被开方数需大于等于0，可得x30．

根据分式的定义，分母不能为0，可得x30，

即x30，

联立两个条件可得x30，

解不等式得x3．

13.如图，BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点，OABC，OAB60，则ABC的度数为____________．

【答案】30

【解析】

【分析】根据题意可得OAB为等边三角形，进而可得OBC30，再求ABC即可．

【详解】解：OAOB，OAB60，

OBAOAB60，则AOB60，

△OAB为等边三角形，

OABC，

OBC90AOB30，

ABCOBAOBC603030．

已知，是关于的一元二次方程2的两个实数根，则22的最小值是．

14.x1x2xxxt0x1x2______________

1

【答案】

2

【解析】

22

【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数t的取值范围，再利用根与系数的关系将x1x2变形为

关于t的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值．

2

【详解】解：x1，x2是关于x的一元二次方程xxt0的两个实数根，

Δb24ac(1)241t0，

1

解得t，

4

由根与系数的关系得：x1x21，x1x2t，

2222

x1x2(x1x2)2x1x212t12t，

20，

22

x1x212t随t的增大而减小，

1

当t取最大值时，x2x2取得最小值，

412

11

代入得，最小值为12．

42

15.如图，在边长为1的等边三角形ABC中，D为BC边上的动点（不与端点重合），过点D作DGAB

于点G．下列说法正确的有___________．（填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分）

①0DG1；

②S△ADGS△BDG；

③设AGx，则△ADG的面积S是关于x的二次函数；

④仅存在一点D，使得S△ACDS△ADG．

【答案】①②③④

【解析】

3

【分析】由题意易得CB60,ABBCAC1，则有DGBDsinBBD，

2

1

BGBDcosBBD，然后问题根据三角形面积，二次函数的性质及三角函数进行排除答案即可．

2

【详解】解：∵ABC是等边三角形，且边长为1，

∴CB60,ABBCAC1，

∵DGAB，

31

∴DGBDsinBBD，BGBDcosBBD，

22

∵D为BC边上的动点（不与端点重合），

∴0BD1，

31

∴0DG1，0BG，故①说法正确；

22

∵AGABBG1BG，

1

∵0BG，

2

1

∴AG1，

2

∴AGBG，

11

∵S△AGDG,S△BGDG，

ADG2BDG2

∴S△ADGS△BDG，故②说法正确；

设AGx，则有BG1x，

∴DGBGtanB31x，

1133

∴SAGDGx31xx2x，

2222

∴△ADG的面积S是关于x的二次函数，故③说法正确；

过点D作DHAC，如图所示：

3

∴DHDCsinCDC，

2

设AGx，则BG1x，

∴BD2BG22x，

∴DCBCBD2x1，

33

∴DH2x13x，

22

133

∴SACDHx，

ADC224

323

∵Sxx，S△ACDS△ADG，

ADG22

3333

∴x2xx，

2224

2

解得：x（负根舍去），

2

∴仅存在一点D，使得S△ACDS△ADG，故④说法正确；

综上所述：正确的有①②③④．

三、解答题（本大题共8个小题，共90分）

16.计算：

0

（1）2026π126sin6013；

4x53x1

（2）求不等式组3x14x1的解集；

23

2x3x1

（3）先化简1，然后从1、2、3这三个数中选出合适的数代入求值．

x2x24x4

【答案】（1）2

（2）5x2

（3）x2，当x3时，值为1

【解析】

【分析】（1）利用零指数幂性质，二次根式化简，特殊角三角函数值，绝对值性质分别化简各项，再合并

同类项得到最终结果．

（2）分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集．

（3）根据分式混合运算法则化简原式，根据分式有意义的条件排除不符合要求的x，将合适的x代入得到

计算结果．

【小问1详解】

0

解：2026π126sin6013

3

123631

2

1233331

2

【小问2详解】

4x53x1①

解：3x14x1

②

23

解不等式①得：x2，

解不等式②得x5，

∴不等式组的解集为5x2．

【小问3详解】

2x3x1

解：1

x2x24x4

2x3x2x1

x2x2x24x4

2x3x2x1

x2(x2)2

x1(x2)2

x2x1

x2

根据分式有意义的条件，可得x20，x10，即x2且x1．

∴代入x3，原式321．

17.如图，在ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．

（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；

（2）若EFAC，BCAC，B70．求∠BAF的度数．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ADBC，

∴OAEOCF,OEAOFC，

∵O为AC中点，

∴OAOC，

∴AOE≌COFAAS，

∴AECF，

∵AECF，

∴四边形AFCE为平行四边形；

（2）BAF30

【解析】

【分析】（1）由题意得ADBC，OAOC，然后可得AOE≌COFAAS，则有AECF，进而

问题可求证；

（2）由题意证出四边形AFCE为菱形，则有FACFCA，然后可得

BACB70,ACB1802B40，进而问题可求解．

【小问1详解】

略

【小问2详解】

解：∵四边形AFCE为平行四边形，EFAC，

∴四边形AFCE为菱形，

∴AFCF，

∴FACFCA，

∵BCAC，B70，

∴BACB70,ACB1802B40，

∴FAC40，

∴BAFBACFAC30．

18.学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A．非常喜欢，B．喜欢，C．一

般，D．不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

根据上述信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查中，学校一共抽取了_____________名学生，并补全条形统计图；

（2）该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数；

（3）学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列

表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．

【答案】（1）25，补全条形统计图如下：

1

（2）112人（3）

2

【解析】

【分析】（1）根据统计图先求出被抽查的总人数，然后根据题意得到B类男生人数和A类女生人数，进而

问题可求解；

（2）根据题意可直接列式进行求解；

（3）由题意可设C类学生中男生为A1,A2，女生为B1,B2，D类学生中男生为A3,A4，女生为B3，然后

根据列表法进行求解概率即可．

【小问1详解】

解：由统计图可知：本次抽样调查中，学校一共抽取了学生人数为2112%25（名），

∴2544%11（名），即B类男生人数为1165（名），

A类女生人数为25311434（名），

补全条形统计图略；

【小问2详解】

34

解：由（1）可得：400112（人），

25

答：对活动“非常喜欢”的学生人数112人；

【小问3详解】

解：由题意可设C类学生中男生为A1,A2，女生为B1,B2，D类学生中男生为A3,A4，女生为B3，则可

列表如下：

A1A2B1B2

A3A3,A1A3,A2A3,B1A3,B2

A4A4,A1A4,A2A4,B1A4,B2

B3B3,A1B3,A2B3,B1B3,B2

一共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的有6种等可能的结果，所以

61

抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为P．

122

19.“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河

之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面15m的空中P点时，测得C点正前方

的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3和52.4（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡

NC的长为12m，坡比为1:3（计算结果保留整数）．（参考数据：sin42.30.67，cos42.30.74，

tan42.30.91，sin52.40.79，cos52.40.61，tan52.41.30）

（1）求无人机距河面的高度PM；

（2）求两艘皮划艇之间的距离AB．

【答案】（1）21m

（2）7m

【解析】

3

【分析】（1）由题意得：PN15m，tanMCN,PMAM，则有MCN30，然后根据三

3

角函数可进行求解；

（2）由题意得：PBM52.4,PAM42.3，PM21m，然后根据三角函数进行求解即可．

【小问1详解】

3

解：由题意得：PN15m，tanMCN,PMAM，

3

∴MCN30，

∵NC12m，

∴MNNCsin306m，

∴PMPNMN21m；

答：无人机距河面的高度PM的长为21m

【小问2详解】

解：由题意得：PBM52.4,PAM42.3，

由（1）可知：PM21m，

PM21

在RtPMB中，BM16.2m，

tan52.41.30

PM21

在Rt△PMA中，AM23.1m，

tan42.30.91

∴ABAMBM6.97m；

答：两艘皮划艇之间的距离AB的长为7m．

k

20.如图，在平面直角坐标系中，直线yx8与双曲线y（k0）交于A1,a、B两点，与x轴

x

交于点D．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；

k

（2）直接写出不等式x8的解集；

x

（3）若点P为x轴上的动点，当ADP为直角三角形时，求点P的坐标．

9

【答案】（1）y，B9,1

x

（2）9x0或x1

（3）当ADP为直角三角形时，点P的坐标为1,0或10,0

【解析】

【分析】（1）先得出A1,9，然后可得反比例函数解析式，进而联立函数关系式可得点B的坐标；

（2）根据图象可直接进行求解；

22

（3）由题意可设Pt,0，则有D8,0，根据两点间距离公式可得：AD28109162，

2222

DP2t8，AP2t109t181，然后可分当APD90时，当DAP90时，

进而分类进行求解即可．

【小问1详解】

解：由题意可把点A1,a代入直线yx8得：a189，

∴A1,9，

∴k199，

9

∴反比例函数解析式为y，

x

9

yx9x1

联立x，解得：或，

y1y9

yx8

∴点B的坐标为9,1；

【小问2详解】

k

解：由图象及（1）可知：不等式x8的解集为9x0或x1；

x

【小问3详解】

解：由题意可设Pt,0，

把y0代入直线yx8得：0x8，解得：x8，

∴D8,0，

∵A1,9，

222

∴根据两点间距离公式可得：AD28109162，DP2t8，

222

AP2t109t181，

当ADP为直角三角形时，则可分：

当APD90时，由勾股定理可得：DP2AP2AD2，

22

∴t8t181162，

解得：t11,t28（不符合题意，舍去），

∴P1,0；

当DAP90时，由勾股定理可得：AD2AP2PD2，

22

∴t8t181162，

解得：t10，

∴P10,0；

综上所述：当ADP为直角三角形时，点P的坐标为1,0或10,0．

21.如图，AB是O的直径，点C、D在圆上，D是AC的中点，DEAB于点E，交AC于点F，AC、

DB交于点G，H在AB延长线上且BCHCAB．

（1）求证：CH为O的切线；

（2）求证：AFDF；

（3）若DG2，GB3，求AD的长．

【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：

∵AB是O的直径，

∴ACB90，

∴CABABC90，

∵BCHCAB，

∴BCHABC90，

∵OCOB，

∴OCBOBC，

∴BCHOCB90，即OCH90，

∴OCCH，

∵OC是O的半径，

∴CH为O的切线．

（2）证明：∵D是AC的中点，

∴ADCD，

∴ABDDBC，

∵CDCD，

∴DACDBCABD，

∵DEAB，AB是O的直径，

∴ADBAED90，

∴ADEDAEDAEABD90，

∴ADEABDDAC，

∴AFDF．

（3）AD10

【解析】

【分析】（1）连接OC，由题意易得ACB90，则有BCHABC90，然后可得

BCHOCB90，进而问题可求证；

（2）由题意易得DACDBCABD，然后可得ADEDAEDAEABD90，则有

ADEABDDAC，进而问题可求证；

ADDB

（3）由题意易得ABD∽GAD，然后可得，进而问题可求解．

GDDA

【小问1详解】

略

【小问2详解】

略

【小问3详解】

解：∵DG2，GB3，

∴DBDGBG5，

∵ABDGAD，ADBGDA，

∴ABD∽GAD，

ADDB

∴，

GDDA

∴AD2DGDB10，

∴AD10．

22.四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，AEF90．

（1）【教材重现·提出问题】

如图1，ABBC，G、E分别是AB、BC的中点，EF交矩形外角的平分线于点F．求证：

△AGE≌△ECF；

（2）【模型建构·应用意识】

如图2，ABBC4，EF交矩形外角的平分线于点F，延长CF交AD的延长线于点H，求2BEHF

的值；

（3）【拓展推广·实践能力】

CF

如图3，ABmBC，AEmEF（m为常数），求的值（用含m的代数式表示）．

BE

【答案】（1）证明：如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BBCD90DCM，

∵ABBC，G、E分别是AB、BC的中点，

∴AGBGBEEC，

∴BGE45，

∴AGE180BGE135，

∵AEF90，

∴AEBEAGAEBFEC90，

∴EAGFEC，

∵CF平分DCM，

1

∴∠DCF∠DCM45，

2

∴ECF90DCF135AGE，

∴AGE≌ECFASA．

（2）42

CFm21

（3）

BEm

【解析】

【分析】（1）由题意易得BBCD90DCM，AGBGBEEC，然后可得

EAGFEC，ECF90DCF135AGE，进而问题可求证；

（2）在AB上截取一点P，使得BPBE，由题意易得BBCDADC90DCNCDH，

ABCD4，然后可得APE≌ECFASA，则有PECF2BE，进而根据等腰直角三角形的

性质进行求解即可；

ABBCABAC

（3）连接AC,AF，由题意易得，则有ABC∽AEF，然后可得,BACEAF，

AEEFAEAF

进而通过证明ABE∽ACF可进行求解．

【小问1详解】

略

【小问2详解】

解：在AB上截取一点P，使得BPBE，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴BBCDADC90DCNCDH，ABCD4，

∵AEF90，

∴AEBEAPAEBFEC90，

∴EAPFEC，

∵ABBC，BPBE，

∴APEC，

∵B90,BPBE，

∴BPE45，PE2BE，

∴APE180BPE135，

∵CF平分DCN，

1

∴DCFDCN45，

2

∴ECF90DCF135APE，

∴APE≌ECFASA，

∴PECF2BE，

∵CDH90,DCH45，

∴DCH是等腰直角三角形，

∴CH2CD42，

∵CHCFFH2BEHF，

∴2BEHF42；

【小问3详解】

解：连接AC,AF，如图所示：

∵ABmBC，AEmEF，

ABAE

∴m，

BCEF

ABBC

∴，

AEEF

∵ABCAEF90，

∴ABC∽AEF，

ABAC

∴,BACEAF，

AEAF

ABAE

∴,BAEBACEAC,CAFEAFEAC，

ACAF

∴BAECAF，

∴ABE∽ACF，

ABBE

∴，

ACCF

∵ABmBC，B90，

∴ACAB2BC2m21BC，

BEmBCm

∴，

CFm21BCm21

CFm21

∴．

BEm

23.如图，抛物线yax2bx2（a0）与x轴交于A2,0、B1,0两点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点D为抛物线在第二象限内的动点，求ACD面积的最大值；

（3）在第二象限内的抛物线上是否存在点Q，使得ACQ2OCB？若存在，求点Q的坐标；若不存

在，说明理由．

【答案】（1）yx2x2

（2）1

6104

（3）存在，Q,

749

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；

2

（2）由题意易得C0,2，连接OD，设Dt,tt2，其中2t0，然后根据割补法得到ACD

的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可；