2026年黑龙江省绥化市中考数学试题（教师卷）

二〇二六年绥化市初中学业水平考试

数学试题

考生注意：

1．考试时间120分钟

2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分

3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内

一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的

选项所对应的方框涂黑

1.下列有理数中，没有倒数的是（）

A.2027B.1C.0D.1

【答案】C

【解析】

【详解】解：∵0乘以任何数都等于0，不可能等于1，

∴0不存在倒数．

2.下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.正六边形B.矩形C.正方形D.等边三角形

【答案】D

【解析】

【详解】解：A、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意．

x

3.若分式有意义，则x满足的条件是（）

x1

A.x为任意实数B.x1C.x0D.x1

【答案】B

【解析】

【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出不等式求解即可得到结果．

x

【详解】解：要使分式有意义，则x10，

x1

解得x1．

4.下列计算中，结果正确的是（）

11

A.33B.a22a23a4C.42D.2

2

【答案】D

【解析】

【详解】解：选项A、333，所以A错误；

22224

选项B、a2a12a3a3a，所以B错误；

选项C、422，所以C错误；

11

选项D、21，计算正确．

212

5.某校为了了解学生使用电子产品的情况，随机抽查了某班A，B两组学生一周使用电子产品的时间（单

位：小时），数据如下表所示：

A组67888910

B组479991114

下列说法正确的是（）

A.两组数据的众数相等

B.A组数据的平均数大于B组数据的平均数

C.A组数据的方差小于B组数据的方差

D.A组数据的中位数大于B组数据的中位数

【答案】C

【解析】

【分析】分别计算两组数据的众数、平均数、中位数、方差，再逐一判断选项即可．

【详解】解：整理得A组数据为6,7,8,8,8,9,10，共7个；B组数据为4,7,9,9,9,11,14，共7个，

A、A组的众数为8，B组的众数为9，两组众数不相等，∴A错误；

67888910479991114

B、x8，x9，

A7B7

∵89，∴A组平均数小于B组平均数，B错误；

D、两组均有7个数据，中位数为排序后第4个数据，A组中位数为8，B组中位数为9，

∵89，∴A组中位数小于B组中位数，D错误；

110

、222222，

CsA[(68)(78)3(88)(98)108)

77

158

222222，

sB[(49)(79)3(99)(119)149)

77

1058

∵，∴A组数据的方差小于B组数据的方差，C正确．

77

2

6.已知x1，x2是一元二次方程x2x90的两个根，则x1x22x1x2的值为（）

A.16B.16C.20D.20

【答案】A

【解析】

bc

【分析】对于一元二次方程ax2bxc0a0，若两根为x,x，则xx，xx，据此求

1212a12a

出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可．

2

【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2x90的两个根，且a1，b2，c9

29

∴xx2，xx9

121121

∴x1x22x1x222916．

7.下列命题正确的是（）

A.正五边形的外角和是540B.对角线互相垂直的四边形一定是菱形

C.三角形两边的和大于第三边D.一组对角相等的四边形一定是平行四边形

【答案】C

【解析】

【分析】根据多边形外角和性质、菱形判定、三角形三边关系、平行四边形判定，逐一判断各命题正误即

可得到结果．

【详解】解：A、正五边形外角和为360，故本选项的命题错误；

B、对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直无法判定是菱形，故本选项的命题错误；

C、三角形两边的和大于第三边，故本选项的命题正确；

D、平行四边形需要两组对角分别相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项的命题错误．

8.如图，AD∥BC，∠C=30°，∠ADB∶∠BDC=1∶2，则∠DBC的度数是()

A.30°B.36°C.45°D.50°

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用平行线的性质得出∠ADC=150°，∠ADB=∠DBC，进而得出∠ADB的度数，即可得出答

案．

【详解】解：∵AD∥BC，∠C=30°，

∴∠ADC=150°，∠ADB=∠DBC，

∵∠ADB∶∠BDC=1∶2，

1

∴∠DBC=∠ADB=×150°=50°，

3

故选D．

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是本题解题的关键．

9.《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，

九人步．问人有几何？意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步

行．问共有多少人？设共有x人，可列方程为（）

x2xxx9xx9x2x

A.9B.2C.2D.9

32323232

【答案】B

【解析】

【分析】核心思路是抓住车的总数不变，用含x的式子分别表示两种情况下的总车数，即可列出方程．

【详解】解：∵设共有x人，车的总数固定不变，

xx

第一种情况：3人共车，2辆车空，载人的车辆数为，因此总车数为2，

33

x9

第二种情况：2人共车，9人步行，坐车的总人数为x9，因此总车数为，

2

xx9

∴可列方程为2．

32

10.如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角30，

探测器飞行的高度AC603m，则探测器到目标B的距离AB约为（）（其中31.732，计算

结果精确到0.1）

A.207.8mB.207.9mC.208.8mD.208.9m

【答案】A

【解析】

【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出B30，在RtABC中，利用正弦函数的定义

AC

sinB即可求出AB的长，最后代入近似值计算即可．

AB

【详解】解：由题意可知，水平视线与地面BC平行，

B30

在RtABC中，C90，AC603，

AC

sinB，

AB

AC603

AB12031201.732207.84207.8m

sin301．

2

11.如图，在平面直角坐标系中，OAB是等腰直角三角形，A90，OB22，将OAB绕点O顺

时针旋转45后，得到△OAB，点A，B的对应点分别是点A，B，以原点为位似中心，将△OAB放

大为原来的3倍后，得到OAB，顶点B在第一象限对应点B的坐标是（）

A.6,6B.6,2C.6,62D.62,6

【答案】A

【解析】

【分析】由OAB是等腰直角三角形得到OAAB，AOBABO45，即可判断旋转后点A在x

轴上，ABx轴，BOABOA45，OBOB22，通过解直角三角形得到OA，AB，

得到点B的坐标，再根据位似图形的坐标变化求解即可．

【详解】解：如图，

∵OAB是等腰直角三角形，A90，OB22，

∴OAAB，AOBABO45，

∴OA与x轴的夹角为904545，

∵OAB绕点O顺时针旋转45后，得到△OAB，

∴点A在x轴上，ABx轴，BOABOA45，OBOB22，

∴OAOBcosBOA22cos452，

ABOBsinBOA22sin452，

∴B2,2，

∵以原点为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍后，得到OAB，

∴顶点B在第一象限对应点B的坐标是23,23，即6,6．

12.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，顶点坐标为2,5，与x轴交于Am,0，B两点，

其中2m3．则下列结论：

b51

①0②b4a0③ab3c0④a⑤方程ax2bk2xck20（k为常数）

ac165

有实数根．

其中正确的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为2,5，与y轴交于正半轴，得到a0，b4a0，c0，

即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为2,5得到c4a5，根据当x2时，y0，当x3时，

y0，即可判断④；讨论抛物线yax2bxc与直线yk2xk2的交点情况即可判断⑤．

【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为2,5，与y轴交于正半轴，

b

∴a0，2，c0，

2a

∴b4a0，

b

∴0，故①错误；

ac

∵b4a，

∴b4a0，故②错误；

∵a0，c0，

∴ca0，

∴ab3ca4a3c3ca0，故③正确；

∵抛物线的顶点坐标为2,5，

∴当x2时，y4a2bc5，即4a24ac5，

∴c4a5，

由图象可得当x2时，y0，即4a2bc0，

∴4a8a4a50，

5

∴a，

16

由图象可得当x3时，y0，即9a3bc0，

∴9a12a4a50，

1

∴a，

5

51

∴a，故④正确；

165

222

∵方程axbkxck0可化为ax2bxck2xk2，

∴该方程的解为抛物线yax2bxc与直线yk2xk2的交点的横坐标，

∵直线yk2xk2k2x1，

∴该直线过定点1,0，且过第二、三、四象限，

∴抛物线yax2bxc与直线yk2xk2必有交点，

∴方程ax2bk2xck20（k为常数）有实数根．故⑤正确．

综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个．

二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在所对

应的题号后的指定区域内

13.海水淡化，利国利民．2026年6月，我国自然资源部发布，我国海水淡化日产能突破300万吨．把300

万用科学记数法表示为_________．

【答案】3106

【解析】

【详解】解：300万300100003000000，

科学记数法的表示形式为a10n，其中1a10，n为整数，因此30000003106．

14.分解因式：a3bab_________．

【答案】aba1a1

【解析】

【分析】根据提取公因式法和平方差公式，即可分解因式．

【详解】a3babab(a21)ab(a1)(a1)，

故答案是：aba1a1．

【点睛】本题主要考查提取公因式法和平方差公式，掌握平方差公式，是解题的关键．

15.某几何体是由棱长为1cm的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积

是_________cm2．

【答案】14

【解析】

【分析】根据三视图确定几何体的形状及小正方体的排列情况，利用几何体表面积等于主视图、左视图、

俯视图面积之和的2倍进行计算．

【详解】解：综合三视图可得，该几何体只有1层，该层有2排，前排有2个小正方体，后排有1个小正

方体，共3个小正方体．

故表面积为1232222211414cm2．

16.如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________m2（计

算结果保留根号）．

【答案】

243

【解析】

【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成6个全等的等边三角形，求出其中一个等边

三角形的面积，再乘以6即可得到正六边形的面积．

【详解】解：如图，设正六边形的中心为O，

连接OA、OB，

过点O作ODAB于点D

多边形是正六边形

360

AOB60，OAOB

6

OAB是等边三角形

OAOBAB4m

ODAB

11

ADAB42m

22

在RtOAD中，由勾股定理得：ODOA2AD242221223m

112

SOABABOD42343m

22

正六边形的面积为：2．

6SOAB643243m

x24y2x2y

17.计算：_________．

x24x4x2

x2y

【答案】

x2

【解析】

x2yx2yx2

【详解】解：原式2

x2x2y

x2y

．

x2

18.如图，在O中，ABAC，ABC70，则BOC______．

【答案】80

【解析】

【分析】先由弧、弦、圆心角的关系得ABAC，所以ABCACB70，再通过三角形内角和定理可

得∠A40，最后由圆周角定理即可求解．

【详解】解：∵ABAC，

∴ABAC，

∴ABCACB70，

∴A180ABCACB40，

∴BOC2A80．

k

19.如图，反比例函数y与边长为10的等边三角形OAB相交于C，D两点，边OB与x轴重合，

x

BD:OC1:3，则k的值是_________．

【答案】93

【解析】

【分析】根据等边三角形的性质得出AOBABO60，设BDa，则OC3a，利用锐角三角函

数分别表示出点C和点D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于a的方程，求出a的值，

进而求出k的值

【详解】解：∵OAB是等边三角形，边长为10，

∴AOBABO60，OB10，

∴点B的坐标为10,0．

设BDa，

∵BD:OC1:3，

∴OC3a．

过点C作CMx轴于点M，过点D作DNx轴于点N，

3

∴在Rt△OMC中，OMOCcosCOM3acos60a，

2

33

CMOCsinCOM3asin60a，

2

333

∴点C的坐标为a,a．

22

1

∵在RtBDN中，BNBDcosDBNacos60a，

2

3

DNBDsinDBNasin60a，

2

1

∴ONBOBN10a，

2

13

∴点D的坐标为a10,a，

22

k

∵点C，D都在反比例函数y的图象上，

x

33313

∴kaaa10a，

2222

933

整理得a253aa2，

44

∵a0，

91

∴a5a，

44

解得a2，

333

∴k2293．

22

20.如图，在直角三角形ABC中，ACB90，B30，AC2，点P，D分别在边AB，BC上

运动，连接PC，PD．则PCPD的最小值是_________．

【答案】3

【解析】

【分析】延长CA至点M，使ABMCBA，连接MB，过点C作CNMB，交AB于点P，过点

P作PDBC于点D，根据角平分线的性质及垂线段最短可得此时PCPD有最小值，即CN的长度，

然后通过解直角三角形求得MC的长度，从而利用面积法求解即可．

【详解】解：延长CA至点M，使ABMCBA，连接MB，

过点C作CNMB，交AB于点P，过点P作PDBC于点D，

ABMCBA，所以PDPN，

这时PCPD有最小值，即CN的长度，

ACB90，ABC30，AC2，

AC2

BC23，

tanABCtan30

ABMABC30

CBMABCABM60，

BC23

MB43，MCBCtanMBC23tan606，

cosMBCcos60

11

SBCCMBMCN，

CMB22

11

即23643CN，

22

CN3，

PCPD的最小值是3．

21.按一定规律排列的数据依次为2，7，14，23，34，47，…．若按此规律继续排列下去，则第n个

数可以表示为_________（结果用含n的代数式表示）．

【答案】

n22n1

【解析】

【分析】解题思路为将数据对应其序号n，通过对比已知数据归纳规律，再验证规律是否符合所有已知项，

从而得到第n个数的表达式．

【详解】解：设第n个数对应序号为n，n为正整数，

将已知数据按序号整理：

当n1时，2(11)22，

当n2时，7(21)22，

当n3时，14(31)22，

当n4时，23(41)22，

当n5时，34(51)22，

当n6时，47(61)22，

因此可得第n个数的表达式为(n1)22，即为n22n1．

22.已知ABC是腰长为4的等腰直角三角形，ACB90，D是AC的中点，连接BD，将BCD绕

点B旋转，得到BEF，点E，F的对应点分别是点C，D，连接CF．当CF∥AB时，则CF的长为

_________．

【答案】2322或2322

【解析】

【分析】第一种情况是点F在点C的右侧时，根据旋转的性质可知：DCB≌FEB，根据勾股定理可以

求得BD的值，然后再根据平行线的性质和勾股定理，可以求得CG和GF的值，从而可以求得CF的值；

还有一种情况是点F在点C的左侧时，同理可以求得CF的值．

【详解】解：作BGCF于点G，如图所示，

∵ACB90，ACBC4，点D是AC的中点，

1

∴CDAC2，ABC45，

2

∴BDBC2CD2422225，

由旋转的性质可知：DCB≌FEB，

∴BDBF25，

∵CF∥AB，

∴ABCBCG45，

22

∴CGBGBC422，

22

22

∴GFBF2BG2252223，

∴CFCGGF2223；

当点F运动到点F时，此时CF∥AB，

同理可得，GF23，CG22，

∴CF2322；

综上所述，CF的长为2322或2322．

三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指

定区域内

23.尺规作图：如图，在AOB的内部有一点P．

（1）【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN，并使等腰三角形的底边MN

经过点P，点M，点N分别在射线OA，射线OB上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图

痕迹）

（2）【拓展探究】如图2，若AOB58，连接OP，OP3．以O为圆心，OP为半径画圆，交射线OA，

射线OB于C，D两点，则劣弧CD的长度为_________．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含π的

代数式表示的结果）

【答案】（1）解∶如图，△OMN即为所求，

29

（2）

30

【解析】

【分析】（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线OA、射线OB分别交于点C、点D，连接CP，

作射线CP，以C为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线CP、线段CD分别交于点E、点F，以P为圆心，

CE为半径画弧，弧与射线CP相交于G，以G为圆心，EF为半径画弧，两弧相交于H，作直线PH，与

射线OA，射线OB分别相交于点M、点N，则△OMN即为所求；

（2）直接根据弧长公式求解即可．

【小问1详解】

解：画图略，

理由：由作图知：OCOD，ECFGFH，

∴OCDODC，CD∥MN，

∴OCDOMN，ODCONM，

∴OMNONM，

∴OMON，

∴△OMN即为所求；

【小问2详解】

解：由作图知：OCODOP3，

58329

∴劣弧的长度为．

CD18030

24.为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小

发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间（单

位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据图表中信息回答下列问题：

参与创新实践活动的

类别

时间x（单位：小时）

A0x0.5

B0.5x1

C1x1.5

D1.5x2

Ex2

（1）本次随机调查的学生共有_________人，补全条形统计图．

（2）若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以

上的学生人数．

（3）已知E类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用

列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．

【答案】（1）40；（2）120人

2

（3）

3

【解析】

【分析】（1）将B类的人数除以其百分比，即可求出本次调查的学生人数．将本次调查的学生人数减去已

知的A，B，D，E类的人数，求出C类的人数，即可补全条形统计图；

（2）将该校八年级学生320人乘以本次调查中平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以上的学生

比例即可解答；

（3）通过画树状图或者列表，找出所有等可能的情况数，和满足要求的情况数，再利用概率公式计算即可．

【小问1详解】

解：本次调查的学生共有1025%40（人），

C类的学生有4051012310（人）．

【小问2详解】

123

解：320120（人），

40

答：估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以上的学生有120人．

【小问3详解】

解：画树状图为：

由此可得，从中抽取两名同学共有6种等可能情况，其中所抽取的两名学生恰好是一男一女的情况有4种

情况，

42

∴所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率为．

63

25.我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进A，B两种型号的快递智能分

拣机械手（以下A型快递智能分拣机械手简称A型机械手，B型快递智能分拣机械手简称B型机械手），

已知A型机械手的单价比B型机械手的单价高2万元，用120万元购进A型机械手的数量和用80万元购

进B型机械手的数量相等．

（1）求A，B两种型号机械手的单价分别是多少万元？

（2）快递公司计划购买A，B两种型号的机械手共30台，且A型的数量不少于B型数量的2倍．如何购

买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？

（3）该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变．某

天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好

后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快递的数量y（件）

与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．

①乙机械手的工作速度为_________件/分钟，a_________．

②直接写出BC所在直线的函数表达式：_________．

③当乙机械手工作_________分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同．

【答案】（1）A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元；

（2）购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元；

（3）①20；60；②yBC15x450；③22.5

【解析】

【分析】（1）设A型机械手的单价为n万元，B型机械手的单价为n2万元，根据题意列出分式方程，

据此求解即可；

（2）设购买A型机械手m台，则购买B型机械手30m台，所需费用为w万元，根据题意列出不等式

组，求得20m30，再列出w关于m的一次函数，再利用一次函数的性质求解即可；

（3）①根据函数图象求解即可；②利用待定系数法求解即可；③相同数量是450件，据此计算即可求解．

【小问1详解】

解：设A型机械手的单价为n万元，B型机械手的单价为n2万元，

12080

由题意得，

nn2

解得：n6，

经检验：n6是原分式方程的解，

B型机械手的单价：n2624（万元），

答：A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元；

【小问2详解】

解：设购买A型机械手m台，则购买B型机械手30m台，所需费用为w万元，

m230m

由题意得，

30m0

解得：20m30，

由题意得：w6m430m2m120，

∵20，

∴w随m的增大而增大，且m取正整数，

∴当m20时，w的最小值为2m120220120160（万元），

此时B型机械手：30m302010（台），

答：购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元；

【小问3详解】

解：①乙机械手的工作速度为30001803020件/分钟，

甲机械手的工作速度为4503015件/分钟，

∴a18022504501560；

②设BC所在直线的函数表达式为yBCkxb，

将60,450，180,2250代入yBCkxb，

60kb450

得，

180kb2250

k15

解得，

b450

∴BC所在直线的函数表达式为yBC15x450；

③∵乙机械手的工作速度为20件/分钟，

由图象知，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同的数据是450件，

∴4502022.5，

∴当乙机械手工作22.5分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同．

26.如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P，连接BD，过点C作BD的垂线，垂足为E，交

直径AB于点F，交过点B的直线于点M，连接AC并延长，交MB于点N，且CNCM．

（1）求证：BM是O的切线；

（2）若PD27，OF4，求线段CE的长．

【答案】（1）连接BC，

∵AB是O的直径，

∴ACBBCN90，

在△BNC中，CNBNBC90，

∵CMBD，垂足为E，

∴CEDBEM90，

在BME中，EMBMBE90，

∵CNCM，

∴CNBEMB，

∴NBCMBE，

∵CDAB，垂足为P，

∴CPDP，

∴BCBD，

∴BCD是等腰三角形，

∴CBPDBP，

∵NBCCBPDBPMBE180，

∴2NBC2CBP180，

∴NBCCBP90，

∴ABN90，

∵OB为O的半径，

∴BM是O的切线；

（2）CE37．

【解析】

【分析】（1）连接BC，证明BCD是等腰三角形，推出ABN90，即可证明BM是O的切线；

（2）证明△ACP≌△FCPASA，得到PAPF，设O的半径为r，证明△ACP∽△DBP，利用相

16

似三角形的性质列式计算求得r，再证明△ACP∽△DCE，据此计算即可求解．

3

【小问1详解】

证明：略

【小问2详解】

解：∵AB是O的直径，CDAB，垂足为P，

∴PCPD，APCFPC90，

∵PD27，

∴PC27，DC47，

∵BCBC，

∴AD，

∴APCCED90，

∴ACP90A90DDCE，

∵PCPC，

∴△ACP≌△FCPASA，

∴PAPF，

设O的半径为r，

∵OF4，

∴FAOAOFr4，

1r4r43r4

∴PAPFFA，PBABPA2r，

2222

∵ACDB，ACPDBP，

∴△ACP∽△DBP，

CPAP

∴，

BPDP

r4

27

∴2，

3r427

2

16

解得r，r8（舍去），

132

16

∴r，

3

r414

∴PA，

23

2

2

221487

在RtACP中，ACAPCP27，

33

∵ACPDCE，ACDB，

∴△ACP∽△DCE，

ACCP

∴，

CDCE

87

∴27，

3

47CE

解得CE37．

27.综合与探究，已知抛物线yax2bx4与x轴交于点A1,0，B4,0，与y轴交于点C，点O为

坐标原点，作直线BC．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）在抛物线上有两个动点P，Q，点P在第一象限，横坐标为m，过点P作x轴的垂线，垂足为N，

3

交BC于点M，点Q的横坐标为m．若△MCN的面积记作S，△PMQ的面积记作S，当SSS

21212

有最大值时，求点P的坐标．（自行完成作图并解答）

（3）把抛物线yax2bx4沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y过点C，点E是新抛物线y对

称轴与x轴的交点，点F是新抛物线y对称轴上的动点，连接FC，FO．若FO平分CFE，请直接写

出符合条件的点F坐标．（自行完成作图并作答）

【答案】（1）yx23x4

（2）P2,6

58395839

（3）,或,

2222

【解析】

【分析】（1）根据待定系数法求解即可；

2

（2）根据待定系数法求出直线BC的解析式为yx4，结合已知可得Pm,m3m40m4，

321123

Nm,0，Mm,m4，Qm,m6m，则MNm4，PMm4m，xPxQ，

242

5

则可求出SSSm25m，根据二次函数的性质得出当m2时，S有最大值，此时

124

m23m46，即可求解；

（3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移

2

541

4个单位长度得出新抛物线y，根据平移规律得出yx，则新抛物线的对称轴为直线

24

55

x，E,0，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出CFOCOFEFO，根据等边对

22

2

552

等角得出CFCO，设F,n，根据两点距离公式得出04n4，解方程即可．

22

【小问1详解】

解：∵抛物线yax2bx4经过点A1,0，B4,0，

ab40

∴，

16a4b40

a1

解得，

b3

∴yx23x4；

【小问2详解】

解：当x0时，y4，

∴C0,4，

设直线BC的解析式为yk1xb1，

4k1b10

则，

b14

k11

解得，

b14

∴直线BC的解析式为yx4，

3

∵点P在第一象限，横坐标为m，过点P作x轴的垂线，垂足为N，交BC于点M，点Q的横坐标为m，

2

2

∴Pm,m3m40m4，Nm,0，Mm,m4，Q的纵坐标为

2

332113211

m3m4m6m，则Qm,m6m，

22424

或

2233

∴MNm4，PMm3m4m4m4m，xPxQmm，

22

∴SS1S2

11

MNxNPMxPxQ

22

113

m4mm24m

222

5

m25m

4

52

m25，

4

5

∵0，

4

∴当m2时，S有最大值，

此时m23m4223246，

∴P2,6；

【小问3详解】

2

2325

解：∵抛物线yx3x4x沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y过点C，

24

∴相当于点C与点B是平移前后的对应点，

即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线y，

22

325541

∴yx44x，

2424

55

∴新抛物线的对称轴为直线x，E,0，

22

∵FO平分CFE，

∴EFOCFO，

∵EF∥y轴，

∴EFOCOF，

∴CFOCOF，

∴CFCO，

5

设F,n，

2

∵C0,4，O0,0，

2

52

∴04n4，

2

839

解得n，

2

58395839

∴F的坐标为,或,．

2222

或

28.综合与实践

【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究．在矩形ABCD中，

点E，F分别是边AD，BC上的动点．

（1）【观察感知】如图1，当点E，F运动到AEBF时，