广东署山市2025-2026学年高一数学下学期期中联考试题含解析

广东佛山市2025-2026学年高一数学下学期期中联考试卷

一、单选题

1．已知角的终边经过点P3,2，则sin（）

213213313313

A．B．C．D．

13131313

2．已知向量a3,2，b6,x，若a//b，则实数x（）

A．9B．4C．4D．9

24i

3．已知复数z，复数z的虚部为（）

1i

A．3iB．3iC．3D．3

4．已知平面向量a1,0，b2,2，则向量a在b上的投影向量为（）

112

A．bB．bC．bD．2b

242

6

5．已知为锐角，且sin，则tan2的值为（）

3

22

A．22B．22C．D．

44

11

6．如图所示，ABC中G为重心，PQ过G点，APmAB，AQnAC，则（）

mn

A．1B．2C．2D．3

7．设ABC的面积为S，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2a2c2ac，若ACAB23S，

则此三角形的形状为（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

πππ

8．已知,，且4costan3，则（）

422

5ππ2π4π

A．B．C．D．

18359

二、多选题

9．已知向量a1,2，b2,1，则（）

A．abab

525

B．与向量a平行的一个单位向量为,

55

C．若ab与axb所成角为锐角，则x1,

π

D．ab与a的夹角为

4

10．下列各式中，计算结果为3的是（）

sin15cos15sin40sin80

A．B．

cos15sin15cos20

C．cos85cos25sin85sin25D．tan25tan353tan25tan35

πππ

11．设函数f(x)sin(x)0,0，若f(x)在区间,上具有单调性，且

262

π2ππ

fff，则（）

236

π

A．f(x)的最小正周期为πB．f(x)图象关于直线x对称

12

ππ

C．f(x)图象关于点,0中心对称D．存在0,，使得f(x)f(x3)成立

62

三、填空题

12．若复数z34i1i，则z______．

4

13．已知单位向量a，b满足aba2b，则ab______．

3

14．如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，

C，则ABAC的最大值与最小值的和为________．

四、解答题

2

15．已知复数z1a2aiaR，复数z2在复平面内对应的向量为OA1,2．

(1)若z1z2为纯虚数，求a的值；

(2)若z1iz2在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．

1

16．如图，在ABC中，已知AB2，AC4，BAC60，E，F分别为AC，BC上的点，且AEAC，

2

1

BFBC．

3

(1)求AF；

(2)用向量方法证明：AF⊥BE；

(3)若线段BE上一动点P满足2PBPAPC0，试确定点P的位置．

ππ2

17．已知函数fxsin2xsin2x2cosx1，xR．

33

(1)求函数fx的最小正周期；

π2π

(2)若f，求sin2．

22436

ππ

18．已知函数fx2sinx0,，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点0,1．

22

(1)求函数fx的解析式；

π7ππ

(2)当x,，方程fxm0有解，求实数m的取值范围；

6123

7π

(3)若方程fxa0在区间0,上恰有三个实数根x,x,x，且xxx，求sinxxx的取值

6123123123

范围．

19．在ABC中，角A，B，C对应边为a，b，c，满足sinBA2sinAsinC

(1)求B的大小；

(2)（i）已知b4，若D在AC上，且BDAC，求BD的最大值；

π

（ii）延长BC至点M，使得2BCCM.若CAM求BAC的大小.

4

参考答案

1．A

2

【详解】由题意有rOP32213，

y2213

所以sin.

r1313

故选：A.

2．B

6x

【详解】由题设及a//b，则，可得x4.

32

3．D

24i24i1i26i4i226i

【详解】z13i.

1i1i1i1i22

所以复数z的虚部为3.

故选：D.

4．B

abb21

bb

【详解】a1,0，b2,2，b22，向量a在b上的投影向量为2.

bb224

5．B

6

【详解】因为为锐角，且sin，

3

6

223sin3

所以cos1sin1，则tan2，

33cos3

3

2tan22

所以tan222．

1tan212

6．D

221111

【详解】设ABa,ACb，根据题意AGADABACab，

332233

因为APmAB，AQnAC，P,G,Q三点共线，则存在，使得PQPG，

11b

即AQAPAGAP，即nbmaabmama，

3333

mm

311

所以，整理得3mnmn，所以3.

mn

n

3

7．B

1

【详解】因为b2a2c2aca2c22accosB，所以cosB，

2

π

因为0Bπ，故B，

3

1

因为ACAB23S，即ACABcosA23bcsinA，

2

即bccosA3bcsinA，化简得3sinAcosA，

3ππ

因为0Aπ，故3sinAcosA0，可得tanA，则A，故C，

362

因此，ABC为直角三角形，

故选：B.

8．A

ππππ5π2π

【详解】,2,π，,

4226123

cos2sin2cosπ

34cos2sin23sincos2sin

sinsin6

ππ

所以22k或2π+2k,kZ，

66

π5π2

即2k或k,kZ.

6183

ππ5π

由于,，故.

4218

9．ABD

【详解】ab3,1，ab1,3，故abab10，所以A正确；

aa

525

a5，与a平行的单位向量为，,为，所以B正确；

a55a

ab1,3，axb12x，2x，

若向量所成角为锐角，则abaxb0且两向量不共线，

即12x+32x0，解得x1，

当x1时，axb1,3=ab，不满足夹角为锐角，所以C错误；

ab1,3，a1,2，

aba52

所以cosab，

aba1052

π

因为0abπ，所以ab，所以D正确.

4

10．ABD

【详解】对于A，

3

2

sin15cos15sin15cos1512sin15cos151sin30

23，所以A正确，

cos15sin15cos15sin15sin15cos15cos215sin215cos303

2

sin40sin80sin6020sin60202sin60cos20

对于B，2sin603，所以B正确，

cos20cos20cos20

对于C，cos85cos25sin85sin25cos8525cos1101，所以C错误，

对于D，tan25tan353tan25tan35tan25351tan25tan353tan25tan35

31tan25tan353tan25tan353，所以D正确.

11．AB

ππππT2π

【详解】若f(x)在区间,上具有单调性，则，则T，

622623

2π

又T，则03，

π2ππ

因为fff，

236

π2πππ

所以一条对称轴为7π，一个对称中心横坐标为π，

x2326

21223

π

对称中心为,0，

3

T7πππ2π

则，所以Tπ，2，

41234T

7π1π1

所以对称轴为xkπ,kZ，对称中心为kπ,0,kZ，

12232

对于A，Tπ，故A正确；

π

对于B，当k1时，对称轴为x，故B正确；

12

ππ1π1

对于C，假设f(x)图象关于点,0中心对称，则kπ=，此时k，不符合题意，故C错误；

63263

π

对于D，0,，f(x)sin(2x)，则f(x)sin(2x2)，f(x3)sin(2x6)，

2

若f(x)f(x3)，则sin(2x2)sin(2x6)

kπ

则22kπ6,kZ，则,kZ，

2

π

故在0,，不存在使得f(x)f(x3)成立，故D错误，

2

故选：AB.

12．52

【详解】z34i1i33i4i47i，

2

则z72152．

13．26

3

4224

【详解】因为aba2b，所以a2abab2b，

33

41

所以1ab2，所以ab，

33

22126

所以aba2abb121.

33

故答案为：26.

3

11

14．/5.5

2

【详解】

因为AB·ACABACcosAB,AC，所以取AC最大同时AB在AC上投影最大，则ABAC取得最大值，

如图所示，当A,C分别是最大的正三角形底边的端点，

B点是C点上方且紧靠C的一点时，AC最大，且AB在向量AC上的投影也达到最大值,

115

所以此时ABAC取得最大值，最大值为32；

22

因为AB·ACABACcosAB,AC，取AC最大同时AB在AC上投影最小，则ABAC取得最小值，

当B,C分别是最大的正三角形的底边的端点，且A点是B,C之间的一点时，

AB,ACπ，此时ABAC2112达到最小值．

1511

综上所述AB·AC的最大值与最小值的和为2.

22

11

故答案为：.

2

15．(1)4

1

(2)2,

2

【详解】（1）因为复数z2在复平面内对应的向量为OA1,2，则z212i，

2222

又z1a2ai，则z1z2a2ai12ia4a2a2ai，

a24a0

由题有，解得，所以a的值为.

2a44

2a2a0

22

（2）因为z1iz2a2aii12i12aa2i，

12a011

由题有2，解得2a，所以a的取值范围为2,.

a2022

16．(1)43

3

(2)证明见解析

(3)P是线段BE的中点

【详解】（1）依题意，记ABa,ACb，

因为AB2,AC4,BAC60，所以a2,b4，ab24cos604，

1

因为BFBC，

3

112121

所以AFABBFABBCABACABABACab，

333333

2

2214241244116

则AFabaabb4416，

339999993

43

故AF.

3

111

（2）因为AEAC，所以BEBAAEABACab，

222

211221221

所以AFBEababab4160，

3323636

则AFBE，即AF⊥BE.

1

（3）因为AEAC，所以E是AC的中点，故PAPC2PE，

2

因为2PBPAPC0，所以2PB2PE0，即PBPE，

所以P是线段BE的中点.

17．(1)π

7

(2)

9

ππ2

【详解】（1）由题意得fxsin2xsin2x2cosx1

33

ππππ

sin2xcoscos2xsinsin2xcoscos2xsincos2x

3333

π

sin2xcos2x2sin2x，

4

2π

所以函数fx的最小正周期为π.

2

π

（2）由（1）得，fx2sin2x，

4

ππππ2π1

则f2sin22sin，即sin，

22422446363

ππππ

所以sin2sin2cos2

6626

2

2π2π17

12sin2sin121.

6639

π

18．(1)fx2sin2x

6

(2)mÎ[-1,2]

3

(3)

sinx1x2x31,

2

Tπ

【详解】（1）设fx的最小正周期为T，由题意得，得周期Tπ，

22

2π

所以π，得2，

因为0，所以2，

π

所以fx2sin2x，

2

1

因为fx的图象过点0,1，所以2sin1，得sin，

2

ππ

因为，所以，

26

π

故fx2sin2x．

6

ππ

（2）fx2sin2x2cos2x，

32

π

即fxm02cos2xm有解，

3

π7ππ7π

由x,，得2x,，

61236

1

所以1cos2x，所以12cos2x2，

2

所以1m2，即mÎ[-1,2]．

7πππ5π1π

（3）x0,，设t2x,，则xt，

666226

7π

由“方程fxa0在区间0,上恰有三个实数根x,x,x”，

6123

a

得“方程sint在区间上恰有三个实数根t,t,t”，

2123

则ysint的图象如下：

πππ5π13π5π

即t1,,t2,,t3,，

622662

ππ

tt7π

12

由图得，66π，x3π,，

t1t2πx1x26

223

4π3π

即x1x2x3,，

32

3

综上．

sinx1x2x31,

2

π

19．(1)B

4