经济数学-微积分（下篇共上下2篇）

第四章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C不定积分经济数学——微积分Calculuse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第一节不定积分的概念与性质一、原函数的概念二、不定积分的概念三、不定积分的性质四、直接积分法定义4.1设f(x)是定义在区间I

上的函数,若存在函数F(x),

在区间

I

上的一个原函数

.则称F(x)为f(x)例如,的原函数有在内一般地,对任意常数C,都是的原函数.例如,在经济分析中,总成本函数是边际成本的原函数；总收益函数是边际收益的原函数.一、原函数的概念对任意的

,都有问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?一、原函数的概念【结论】原函数都在函数族(C为任意常数)内.证

1)又知故它属于函数族即一、原函数的概念

定理4.1

存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数(下章证明)一、原函数的概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第一节不定积分的概念与性质一、原函数的概念二、不定积分的概念三、不定积分的性质四、直接积分法定义4.2的带有任意常数项在区间I上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;由定义知,若则(C为任意常数)C

称为积分常数,不可丢!记作定义在区间

I上,函数的原函数,(或1.不定积分的定义称为函数二、不定积分的概念【例1】求下列不定积分：二、不定积分的概念(2)二、不定积分的概念

(1)(为任意常数).(为任意常数).解

所以是的一个原函数,从而因为,

因为,所以是的一个原函数,从而

(3)(4)二、不定积分的概念(为任意常数).(为任意常数).因为,所以是的一个原函数,从而因为,所以是的一个原函数,从而【例2】二、不定积分的概念设某产品的边际成本函数可由下面的函数给出其中是产量,又已知固定成本为2,求成本函数.因为,(为积分常数).已知固定成本为2,即因此,所求的成本函数为解所以是的一个原函数,从而即当产量时,成本为2,代入上式得e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第一节不定积分的概念与性质一、原函数的概念二、不定积分的概念三、不定积分的性质四、直接积分法推论:若则从不定积分定义可知:或或利用逆向思维性质3,

4说明不定积分与导数或微分互为逆运算.三、不定积分的性质e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第一节不定积分的概念与性质一、原函数的概念二、不定积分的概念三、不定积分的性质四、直接积分法(k

为常数)四、直接积分法或或特别地,基本积分表：四、直接积分法直接积分法：对被积函数进行适当的代数或三角的恒等变形,求一些简单函利用不定积分的运算性质和基本积分公式,通过数不定积分的方法.四、直接积分法求一般多项式函数的不定积分.由性质3和基本公式(2)可得解【例3】求不定积分【例4】四、直接积分法原式解【例5】四、直接积分法求下列不定积分(1);(2);(3)解四、直接积分法【例6】四、直接积分法求下列不定积分(1);(2)解四、直接积分法【例7】四、直接积分法设生产x

个单位产品时的边际成本函数固定成本为50，求总成本函数.总成本函数固定成本为50,即得故总成本函数为解e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.积分性质e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculus第四章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C不定积分经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculuse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第二节不定积分的计算一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法三、分部积分法一、第一类换元积分法如果u是x的函数以上方法我们称为第一类换元法,也称为凑微分法.设是的一个原函数,则且可微,那么,由复合函数微分法有根据不定积分的定义,得定理4.2则有换元公式设有原函数常用的几种配元形式:一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法(令u=2x+3)求不定积分解熟练后不再出现中间变量u.注意换回原变量【例1】一、第一类换元积分法原式=求【例2】一、第一类换元积分法解求原式=【例3】一、第一类换元积分法求解一、第一类换元积分法原式=求【例4】求解求原式=想到公式一般地,可补充到基本积分表中.【例5】一、第一类换元积分法解求一般地,当a>0时,有【例6】可补充到基本积分表中.一、第一类换元积分法解求【例7】一、第一类换元积分法在计算不定积分时，利用不同方法，结果在形式上可能会不同，而这些原函数之间最多相差常数。方法一原式=原式=方法二方法三原式=解类似求【例8】注：可补充到基本积分表中.一、第一类换元积分法解求【例9】一般地,

可补充到基本积分表中.一、第一类换元积分法解e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第二节不定积分的计算一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法三、分部积分法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求,第二类换元法第一类换元法二、第二类换元积分法定理4.3是单调可导函数,且具有原函数令则则有换元公式二、第二类换元积分法证1.根式代换令令当被积函数含有x的一次根式时,可以通过根式代换化为有理函数的积分.例如:令当根号内的x为一次时,考虑根式代换.二、第二类换元积分法令则原式求【例10】二、第二类换元积分法解则原式令于是求【例11】二、第二类换元积分法解则原式令求【例12】二、第二类换元积分法解2.三角代换当被积函数含有x的二次根式时,可以考虑三角代换.

含有因式时,令含有因式时,令含有因式时,令假设二、第二类换元积分法令则原式求【例13】如图所示,于是二、第二类换元积分法解令则∴原式求【例14】如图所示,于是二、第二类换元积分法解常用基本积分公式的补充:

二、第二类换元积分法e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第二节不定积分的计算一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法三、分部积分法设函数选取或1)v容易求得;容易计算.定理4.4有连续导数，则有分部积分公式及(或的原则：三、分部积分法（分部积分公式）求①②

令则∴①【例15】三、分部积分法解

先用凑微分法，把积分改写成的形式。②【例15】求①②三、分部积分法解原式=求【例16】解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数选取的一般方法：(即先将后者放入微分).及三、分部积分法解原式【例17】求三、分部积分法解故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.【例18】求三、分部积分法解令则原式【例19】求说明:从上面的例子我们看到，求一个不定积分往往要同时用到多种方法(换元积分法和分部积分法等).一般我们应根据被积函数的特点，选择适当的方法.三、分部积分法解解法一【例20】设的一个原函数是求是的一个原函数，所以从而原式三、分部积分法解法二【例20】设的一个原函数是求是的一个原函数，所以从而原式三、分部积分法证明【例21】若记证明当时，满足关系式：当时，利用分部积分公式：移项，等式两边同除以得证。三、分部积分法解【例22】求是正整数。当时，当时，利用分部积分公式得整理得通过上面的递推关系式,可以从计算出三、分部积分法e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结第二类换元法常见类型:令令令令令令e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结常用基本积分公式的补充e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分;2.使用经验:“反对幂指三”

,前u

后3.题目类型:分部化简;循环解出;4.计算格式:e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculus第五章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C定积分及其应用经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculuse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、定积分的定义三、定积分的几何意义一、引例目录/Contents第一节定积分的概念与性质四、定积分的性质一、引例1．曲边梯形的面积图5.1设曲线在区间上非负、连续.由直线,,及曲线所围成的平面图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边.如图5.1所示.（1）分割解决步骤:一、引例如图5.2所示，在区间中任意插入个分点，即把区间分成个小区间()，().长度分别为它们的图5.2一、引例过每个分点（）作平行于轴的直线段，形分成个小曲边梯形.它们的面积分别记为().把曲边梯（2）近似（3）求和一、引例在每个小区间()上任取一点，以为底，为高的小矩形面积近似替代第个小曲边梯形的面积，（）.将这个小矩形面积加起来，形的面积的近似值，于是式，得到一个和它是曲边梯即（4）取极限一、引例只有当分割充分细时，记，度中的最大值趋于零，.上面和式就可以无限接近曲边梯形的面积为保证所有小区间的长度趋于零，区间长我们要求小，当时即有2．变速直线运动的路程一、引例设变速运动的速度函数(为时间）是定义在上的连续函数，求路程的表达式.在很短的一段时间内，速度变化很小，可以近似看作匀速运动.因此若将划分为若干个小的时间区间，在每个小区间内，以匀速运动近似变速运动，计算每个小区间的近似路程，再将这些路程求和，即为变速直线运动的近似路程.具体做法如下：（1）分割().

（2）近似（）.

一、引例在第个小区间上任取一点，将速度看作不变的于是路程可近似计算为在区间内任意插入个分点，即把区间分成个小区间()，它们的长度为（3）求和（4）取极限则记一、引例3．由边际成本求可变成本一、引例设边际成本函数(为产量)是定义在上的连续函数，求可变成本的表达式.当产量从逐步增大到，由于增长过程中，成本对于产量的增长率（即边际成本）并不相同，但是，若将分割成个小区间，这样在每个小区间内成本的增长速度是近似相等的.具体做法如下：（1）分割在区间内任意插入个分点，把区间分成个小区间()，().

（2）近似在第个小区间上任取一点，（）.

看作不变的，边际成本）一、引例即它们的长度为将成本的增长速度（即时，于是产量增长成本的增长额（3）求和（4）取极限则记一、引例以上三个例子虽然实际背景完全不同，问题的思想和方法是相同的，的和式的极限问题.最后能转化为形如有大量的问题归结为这类数学模型。把这一方法加以概括抽象，得到了定积分的定义.

一、引例但从数学的角度来看，其解决都是通过“分割、近似、求和、取极限”，在科学技术和经济领域中e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、定积分的定义三、定积分的几何意义一、定积分问题举例目录/Contents第一节定积分的概念与性质四、定积分的性质定义5.1二、定积分的定义将区间分成个小区间,,,，各小区间的长度依次为，，，.在各个小区间()上任取一点，（），设函数在区间上有定义，在区间内任意插入个分点，即作乘积二、定积分的定义求和，记，上点怎样的取法，都存在，记作，这时称函数在区间上可积，，其中称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量.如何分割，如果不论对区间也无论在小区间，当时只要极限在区间上的定积分，则称此极限值为函数即二、定积分的定义由定积分定义，上面引例中的两个具体问题可用定积分表示：1．直线,及轴所围成的曲边梯形(图5.1所示)的面积是函数()在区间上的定积分，即.2．即.曲线(),由连续变速运动的速度函数(为时间）是定义在上的连续函数，那么路程是函数在上的定积分，2.定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即注意:1.定积分是和式的极限，是一个数，与不定积分不同。3.极限过程是而不仅仅是二、定积分的定义5.关于函数可积性的两个结论：且只有有限个间断点4.二、定积分的定义e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、定积分的定义三、定积分的几何意义一、定积分问题举例目录/Contents第一节定积分的概念与性质四、定积分的性质曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和三、定积分的几何意义e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、定积分的定义三、定积分的几何意义一、定积分问题举例目录/Contents第一节定积分的概念与性质四、定积分的性质(设所列定积分都存在)3.积分区间的可加性四、定积分的性质定积分的性质:(k为常数)5.若在[a,b]上则若在[a,b]上则推论5.2四、定积分的性质推论5.1解由推论5.1知的大小.与四、定积分的性质比较定积分在区间[-2,0]上有【例1】6.

设则(估值定理)四、定积分的性质四、定积分的性质【例2】求在上的平均值.证明由积分中值定理可知平均值为：注意：最后的定积分值可以由定积分定义求得，也可以由牛顿-莱布尼茨公式求得.四、定积分的性质【例3】估计积分的大小.在上，,即为减函数，那么它在闭区间的端点上取得最大值和最小值：则由估值定理可知，即设，，.则证明7.积分中值定理则至少存在一点使证则由性质6

可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.四、定积分的性质说明:

可把它是有限个数的平均值概念的推广.

积分中值定理对图5.5四、定积分的性质e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结1.定积分的定义—特殊乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculus第五章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C定积分及其应用经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculuse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、牛顿–莱布尼茨公式一、积分上限函数与原函数存在定理目录/Contents第二节微积分基本定理一、积分上限函数与原函数存在定理定义

若在区间上连续，那么，，称为积分上限函数.定理5.2原函数存在定理一、积分上限函数与原函数存在定理则积分上限函数

若定理5.2一方面揭示了某区间上连续函数的原函数的存在性，另一方面揭示了定积分与原函数的内在联系，即是在上的原函数。一、积分上限函数与原函数存在定理定理5.3

，则设在上连续，在上可导，，且.一、积分上限函数与原函数存在定理【例1】求下列函数的导数(1)解由定理5.3，(2)一、积分上限函数与原函数存在定理解e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、牛顿–莱布尼茨公式一、积分上限函数与原函数存在定理目录/Contents第二节微积分基本定理二、牛顿–莱布尼茨公式(牛顿-莱布尼茨公式)证明根据定理5.2,因此得定理5.4函数,则记作而的两个原函数至多相差一个常数，即二、牛顿–莱布尼茨公式

求下列函数的定积分.【例2】(1)(2)解解二、牛顿–莱布尼茨公式(3)解e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结则有1.

微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼茨公式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结2.变限积分求导公式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculus第五章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C定积分及其应用经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculuse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、分部积分法一、换元积分法目录/Contents第三节定积分的计算一、换元积分法定理5.5函数满足:证因此积分都存在，且它们的原函数也存在.因此有是的原函数,则则设函数所证等式两边被积函数都连续，1)且在上具有连续导数，2)说明2)3)配元不换限一、换元积分法1)定理5.5

仍成立.当

<

,即区间换为必需注意换元必换限,换元公式也可反过来使用,即原函数中的变量不必代回.或配元【例1】解一、换元积分法求定积分解一、换元积分法【例2】求定积分令则由所以且于是，一、换元积分法定理5.6则有以下结论成立：设函数（1）若为偶函数，则

（2）若为奇函数，则

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、分部积分法一、换元积分法目录/Contents第三节定积分的计算二、分部积分法分部积分公式设与在上有连续的导函数，则移项可得在上求定积分，则有即【例3】求定积分.

二、分部积分法解【例4】求定积分.解

二、分部积分法【例5】求定积分.解

二、分部积分法e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结计算性质偶倍奇零换元积分法换元必换限配元不换限e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculus第五章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C定积分及其应用经济数学——微积分上海财经大学数学学院

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为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,发散.无穷限的广义积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明它表明该反常积分发散.一、无穷限的反常积分上述定义中若出现

就称设判断下列反常积分的敛散性：一、无穷限的反常积分【例1】计算反常积分

,.解对任意的

令则

.一、无穷限的反常积分【例2】给一个反常积分发散的例子.用定义判断反常积分发散.解原式计算下列反常积分【例3】.一、无穷限的反常积分解e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、无界函数的广义积分一、无穷限的广义积分目录/Contents第四节反常积分定义5.3二、无界函数的反常积分任取，并且定义极限值为该反常积分的值，不若极限存在，则称反常积分发散，此时只是一个符号，无数值意义了.设函数在无穷区间连续，称为函数在无穷区间的反常积分，记号点称为函数的瑕点.，且存在，如果收敛；则称反常积分.记作定义5.3二、无界函数的反常积分任取，并且定义极限值为该反常积分的值，不若极限存在，则称反常积分发散.设函数在无穷区间连续，称为函数在无穷区间的反常积分，记号点称为函数的奇点.，且存在，如果收敛；则称反常积分.记作定义5.3以上定义的反常积分统称为无界函数的反常积分.设函数在无穷区间连续，点称为函数的奇点.称为函数在无穷区间的反常积分，

记号如果反常积分与都收敛，否则，称反常积分发散.二、无界函数的反常积分且则称反常积分收敛；公式的计算表达式:则也有类似牛顿–莱布尼兹若

b

为奇点,若a

为奇点,若a,b

都为奇点,则为书写方便，二、无界函数的反常积分注意记，

则

则则若瑕点计算下列反常积分：二、无界函数的反常积分【例4】解.反常积分，所以此为于是因为，

原式【例5】解二、无界函数的反常积分说明反常积分的敛散性.

是唯一奇点.

原式

当

原式

综上所述，当

时原反常积分收敛；当

时原反常积分发散.当e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结

1.

反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限

2.

重要的反常积分e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculus第五章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C定积分及其应用经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculuse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、平行截面面积已知的立体的体积计算一、平面图形的面积计算目录/Contents第五节定积分的几何应用三、旋转体的体积计算Oabxy一、平面图形的面积下面我们来讨论如何用定积分求平面图形的面积.图5.6情形1由连续曲线()及直线，与轴围成的平面图形（见图5.6）的面积为.图5.7一、平面图形的面积情形2由连续曲线和()及直线，围成的平面图形（见图5.7）的面积为.如果大小不能确定,可改写为.情形3图5.8一、平面图形的面积由连续曲线()及直线，与轴围成的平面图形（见图5.8）的面积为.实际使用时,必须按的大小把分成若干个小区间再计算积分.图5.9一、平面图形的面积情形4由连续曲线和及直线，围成的平面图形（见图5.9）的面积为.【例1】解图5.10一、平面图形的面积求曲线及直线围成的平面图形的面积.作草图（见图5.10），得曲线与直线的交点坐标为和.解方程组解法1解法2一、平面图形的面积选择为积分变量,则所求平面图形的面积为选择为积分变量,则所求平面图形的面积为【例2】解一、平面图形的面积作草图（见图5.11），得曲线解方程组求由曲线,在上围成的平面图形的面积.及与在内的交点坐标为，图5.11一、平面图形的面积则面积为 由对称性得面积为【例3】解一、平面图形的面积作草图5.12，求由曲线与围成的平面图形的面积.的交点坐标为曲线与图5.12故仅求上半部分即可.可以看到图形关于轴对称,和.一、平面图形的面积则所求平面图形的面积为2一、平面图形的面积则所求平面图形的面积为选择为积分变量,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、平行截面面积已知的立体的体积一、平面图形的面积目录/Contents第五节定积分的几何应用三、旋转体的体积图5.13二、平行截面面积已知的立体的体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,图5.14平面经过半径为R

的圆柱体的底圆中心,并与底面交成

角,解垂直于x

轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.二、平行截面面积已知的立体的体积【例4】则圆的方程为如图所示取坐标系,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、平行截面面积已知的立体的体积一、平面图形的面积目录/Contents第五节定积分的几何应用三、旋转体的体积三、旋转体的体积图5.15情形1由连续曲线及直线，与轴围成的平面图形轴旋转一周所得旋转体（见图5.16）的体积为绕图5.16三、旋转体的体积情形2由连续曲线及直线，与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积（见图5.18）为O xy

d

c

O xy

d

c图5.17图5.18三、旋转体的体积【例5】解计算由椭圆

所围图形绕轴旋转而成的椭球体的体积.将椭圆方程改写成关于的函数则椭球体体积为三、旋转体的体积求

分别绕

轴以及

轴旋转一周所得旋转体的体积.

轴旋转一周所得旋转体的体积为绕绕

轴旋转一周所得旋转体的体积为【例6抛物线，在

0

上构成的两个图形，见图(5.19)】解图5.19三、旋转体的体积【例7】解则切线方程为设所求切线与曲线的切点为轴围成的平面图形为

见图(5.20).转一周所得旋转体的体积.

将

点带入方程得，

则切点为

切线方程为即图5.20过坐标原点做曲线

的切线，记该切线与曲线及

分别绕轴以及

轴旋求

其可以看作切线与

轴以及直线

所围图形绕

轴旋转一周所得,减去曲线

与

轴以及直线

所围图形的立体的体积

轴旋转一周所得的立体的体积.绕

绕轴旋转一周而成旋转体的体积.

三、旋转体的体积三、旋转体的体积绕轴旋转一周而成旋转体的体积.

将

看成积分变量来求其可以看作曲线

与

轴以及直线

所围图形绕

轴旋转一周

轴旋转一周所得的立体的体积.,减去切线与

轴以及直线所围图形绕所得的立体的体积e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结1.平面图形的面积2.已知平行截面面积函数A(x)的立体体积3.旋转体的体积e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculus第六章二元函数微积分初步经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculus目录/Contents第一节空间解析几何第二节二元函数的基本概念第三节二元函数的偏导数及其应用第四节二元函数的全微分第五节二元函数的极值、最值及其应用第六节二重积分的概念与性质第七节二重积分的计算e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线及其在坐标面的投影目录/Contents第一节空间解析几何一、空间直角坐标系图6.1一、空间直角坐标系