2026年江苏盐城市高二下学期期末数学试卷及答案

年盐城市高二年级下学期期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据1，2，2，4，4，4，5的众数为（）A.1 B.2 C.4 D.52.已知随机变量，则（）A. B. C.1 D.23.在中，，，为的中点，则（）A. B. C. D.4.2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的不同排法种数为（）A.72 B.144 C.240 D.4805.已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果经验回归方程为，则表格中数据的值为（）01344.34.86.7A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.46.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若直线的倾斜角为，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.7.已知随机事件，相互独立，，，则（）A. B. C. D.8.如图，计划建造一个半径为且圆心角不超过的扇形花园，再建造一个圆形花坛，使其与扇形的两条半径边以及圆弧边都相切，最后再建造一个圆形喷泉，使其与两条半径边相切，并且与花坛外切．要使喷泉的效果最好（即圆形喷泉半径最大），则建造扇形花园圆心角的正弦值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的（）A.焦距为6 B.实轴长为C.离心率为 D.渐近线方程为10.已知函数的导函数为，则下列说法正确的是（）A.B.函数的极大值为1C.D.若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为11.三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，记二面角的大小为，则（）A.B.不存在，使三棱锥的体积为C.存在钝角，使得D.当，三棱锥的外接球表面积为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量，若，则________．13.若函数有三个零点，则实数的取值范围为______．14.若的展开式中的系数为，则__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点满足．（1）证明：直线平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．16.已知数列满足，且.（1）求证：为等比数列；（2）求数列的前项和为.17.甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛的结果相互独立且没有平局．若每局比赛甲获胜的概率为（）．记为结束时比赛的局数．（1）当时，比赛采用三局两胜制．（i）求甲最终获胜的概率；（ii）求的分布列．（2）比赛有两种赛制供选择．赛制一：比赛采取三局两胜制；赛制二：比赛采取五局三胜制．判断哪种赛制对甲最终获胜有利？请说明理由．18.已知椭圆：（）经过，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设斜率为1的直线交椭圆于，两点．（i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积；（ii）求的最小值．19.已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）证明：有且仅有两条直线与曲线，均相切；（3）若，恒有，求实数的取值范围．参考答案一、选择题1——5.CCBDB6——8.AAD二、选择题9.ACD10.AB11.ABD三、填空题12.13.14.四、解答题15.（1）∵平面，平面，∴，∵底面为矩形，∴，又平面，所以平面.（2）∵平面，平面，∴，∵底面为矩形，∴，以A为原点，，，向量方向分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，∴，取，则，，即，平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为,所以.16.（1）因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知，，.17.（1）（i）甲最终获胜的概率为（ii）由题意得的取值为2和3，当时，甲结束比赛或乙结束比赛，则，则，所以的分布列为：23（2）当时，五局三胜制对甲更有利；当时，两种赛制甲获胜概率相等；当时，三局两胜制对甲更有利，理由如下:三局两胜制:设甲在此赛制下获胜的概率为，甲获胜包含两种情况:或，其中胜的概率为，胜的概率为，即，五局三胜制:设甲在此赛制下获胜的概率为，甲获胜包含三种情况:，和，其中胜的概率为，胜的概率为，胜的概率为，则，，，，，因为，且，因此，当时，，则即，此时赛制五局三胜制对甲更有利，当时，，则即，此时赛制三局两胜制对甲更有利，当时，，即，此时两种赛制甲获胜概率相等.18.（1）因为椭圆：（）经过，所以，因为椭圆离心率为，所以，因为，所以解得，所以椭圆：.（2）（i）由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立，可得，化简可得，解得或，所以，，故点到直线的距离为，所以.（ii）设直线：，设，，所以联立，可得，可得，由韦达定理可得，则，，所以，因为，，所以，即，所以，当时，取得最小值，即此时.19.（1）因的定义域为，则，由可得，由可得，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）证明：设与曲线，均相切的直线的切点依次为，因，则曲线在处的切线方程为，即①；因，则曲线在处的切线方程为，即②依题意，①与②为同一条直线，则，消去，可得，设，则，由可得，由可得，即函数在上单调递减，在上单调递增，则，且，故方程在区间和上各有1个实根，也即有且仅有两条直线与曲线，均相切，得证；（3）依题意，，恒有，设，则，设，则，且，①当时，，因，则函数在上单调递增，故，即在上恒成立，符合题意；②当时，，令，则记