《线性代数（第7版）》课件全套 第1-5章 行列式-二次型

1线性代数2第一章

行列式3

本章主要介绍行列式的定义、性质、计算方法以及利用行列式求解线性方程组的克莱姆法则.我们首先从二阶、三阶行列式入手,以直观的形式帮助大家理解行列式的定义、计算规则及其代表的几何意义;然后探究行列式的诸多性质,并在此基础上学习行列式按行(列)展开的方法;最后介绍如何运用行列式来求解线性方程组,也就是著名的克莱姆法则.4§1.1

二阶、三阶行列式一、二阶行列式5方程组有唯一解6引入记号定义称为二阶行列式.主对角线对角线法则二阶行列式的计算7记对于二元线性方程组称为系数行列式则方程组有唯一解---克莱姆法则8例1

在几何上，二阶行列式可以用于求解由平面上两个向量所张成的平行四边形的面积.比如行列式这个行列式的值等于由三个点(0,0),(5,3),(-1,2)所张成的平行四边形的面积，如图所示：O(0,0)DA(5,3)B(-1,2)9解例210补例解11二、三阶行列式三元线性方程组12引入记号定义称为三阶行列式.13对角线法则说明：

(1)三阶行列式包括3!项，每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负.(2)对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．14如果三元线性方程组的系数行列式

利用三阶行列式求解三元线性方程组—克莱姆法则记则该方程组的解为15例3

解按对角线法则，有16例4解即为所求充分必要条件.17例5解方程左端18补例解线性方程组解19故方程组的解为小结：20

二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算21一、排列与逆序

由n个不同数码1,2,…,n

组成的有序数组i1i2…in,称为一个n级排列.定义1.1

在一个n级排列i1i2…in中,如果有较大的数it排在较小的数is前面(is<it),则称it与is构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数,称为它的逆序数,记为

N(i1i2…in).n级排列共有n!个.

如果排列i1i2…in的逆序数N(i1i2…in)是奇数,则称为奇排列,是偶数或0则称为偶排列.§1.2

n阶行列式22例1

排列326145中，326145N(326145)=6，例如偶排列n元自然序排列，偶排列当n=4k

或

4k+1时，n

(n-1)…2

1是偶排列；当n=4k+2

或

4k+3时，n

(n-1)…21是奇排列.23

在一个排列i1…is…it…in中，如果仅将它的两个数码is与it对调，其它数码不变，得到另一个排列,这样的变换，称为一个对换.定理1.1

任一排列经过一次对换后改变奇偶性.证

(1)

首先讨论对换相邻两个数字的特殊情形，设排列为

比较上面两个排列中的逆序,A,B

中数字的次序没有改变,i和j分别与A,B

中数字的次序也没有改变,仅仅改变了i与j24(2)

下面讨论一般情形，设排列为

的次序,因此,新排列仅比原排列增加了一个逆序(当i<j时),或减少了一个逆序(当

i>j时),所以它们的奇偶性相反.即新排列可以由原排列经过2s+1次相邻对换得到.由(1)的结论可知,它改变了奇数次奇偶性,所以它与原排列的奇偶性相反.25定理1.2

n个数字(n>1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半.

26排列逆序逆序数奇偶性123无0偶排列132321奇排列213211奇排列23121,312偶排列31231,322偶排列32121,31,323奇排列3级排列共有3

!=6种.其排列情况见下表：27二、

n

阶行列式的定义(1)三阶行列式共有3!

=6项．(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列312是偶排列,列标排列132是奇排列,2829定义1.2用n2个元素aij(i,j=1,2,…,n)组成的记号定义为determinantn阶行列式是n!项的代数和,不同列的n个元素的乘积.每项都是位于不同行、30所表示的代数和中有4

!=24项.例如，四阶行列式例如,a11a22a33a44项取号,a11a24a33a44不是D的项.a14a23a31a42项取号,+-31

D中各项中不为零的项只有a11a22…ann，其他项均为零，由于N(12…n)=0，因此这一项取正号，得例2

计算下三角行列式解32同理可得上三角行列式特殊情况：对角行列式33特殊情况：34例3.用行列式的定义计算行列式解35补例

设含的项有两项，即解36定理1.3的一般项可以记为n

阶行列式D=n阶行列式定义中各项的符号还可由下面的结论来确定.证3738或者，n阶行列式的另一等价定义为：n阶行列式的等价定义有：39解.由行列式的定义,每一项中的元素取自不同行、不同列,故有j=3,且当i

=1时k=5,或当i

=5时k=1.当i=1,j=3,k=5时,N(14325)+N(52314)=9,该项前应冠以负号,所以-a15a42a33a21a54

为|aij|的一项.当i=5,j=3,k=1时,N(54321)+N(52314)=16,该项前应冠以正号,所以a55a42a33a21a14

为|aij|的一项.例4.

若是五阶行列式的一项,则i,j,k

应为何值?此时该项的符号是什么?40§1.3

行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等，即行列式称为行列式D

的转置行列式.记41证

记D的一般项为记它的元素在D中既不同行又不同列，因而在DT中也既不同列又不同行.所以这n个元素的乘积在DT中应为说明

行列式中行与列的地位是对等的,因此行列式的性质凡是对行成立的，对列也同样成立.42性质2交换行列式的两行(列),行列式的值变号.证设交换D的第i行和第s行，得到行列式43记D的一般项中n个元素的乘积为它的元素在D中既不同行又不同列,因而在D1中也既不同行又不同列,所以也是D1的一般项的n个元素的乘积.由于D1是交换D

的第i行与第s

行,而各元素所在的列并没有改变,所以它在D

中的符号为44在D1中的符号则为

推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.证互换相同的两行，有45由性质1可知，该推论对列的情形也成立.同样，行列式的某些性质都只对行的情形加以证明就足够了.性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数

k，等于用数

k

乘此行列式,即46证推论1

行列式的某一行(列)中所有元素若有公因子,则公因子可以提到行列式外面.推论2如果行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值等于零.因为行列式D1的一般项为

47性质4若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，则此行列式可以拆成两个行列式的和，

即若48证

因为D的一般项是

推论如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数(m

为大于2的整数)的和,则此行列式可以写成m个行列式的和.49补例

证明由性质4，

证上式左边

50由性质2的推论，第二、第三个行列式的值为0；

再由性质4，把第一、第四个行列式分别拆成两个行列式之和并化简后，

上式注意：一次只能拆一行或一列.51性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.证设列column行row52利用行列式的性质计算行列式，可以使计算简化.由性质4以及性质3的推论2可得53例1

计算行列式解

因为第一列与第二列对应元素成比例,所以根据性质3的推论2,得D

=0.例2

证明奇数阶反对称行列式的值为0，其中，反对称行列式为下列形式的行列式：,其特点是54解

设利用行列式的性质1及性质3的推论1,有55因此当n为奇数时有56

解

例3

设

求57

计算行列式时,常利用行列式的性质,把它化为三角形行列式来计算.例如,化为上三角形行列式的步骤是:设第一列第一行的元素不为0,若第一列第一行的元素为0,先将第一行与其他行交换,使第一列第一行的元素不为0;然后把第一行分别乘以适当的数加到其他各行,使第一列除第一行元素外其他行元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式;依此类推,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值.58解

例4计算行列式59例5计算行列式解

60例6计算n阶行列式解将第2,3,…,n

列都加到第1列得“全加法”6162所求行列式是n+1阶行列式，从第二行开始，逐行加它的上一列，例7解63上三角64从第2行开始，每行减去第一行，

例8解6566§1.4行列式按行(列)展开一、行列式按某一行(列)展开以三阶行列式为例67例如定义1.36869行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.70

n

阶行列式

D

=

|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即或按第i行展开按第j列展开证定理1.4

(1)首先讨论D的第一行中的元素除a11不等于零外，其余元素都为零的特殊情形，即71

72

(2)其次讨论D的第i行的元素除aij不等于零外，其余元素都为零的情形，即73(3)最后讨论一般的情形：74由1.3节性质4的推论及上述(2)的结论，可得75

同理可证将D按列占开的情形.例如

设76因为第i行第j行按第j行展开定理1.5行列式某一行(列)的元素乘另一行(列)对应元素的代数余子式之和等于零,即证77同样，行列式对列展开,也有则有78例1分别按第一行与第二列展开行列式解按第一行展开按第二列展开79计算行列式的基本方法：利用性质5将某行(列)化出较多的零，再利用展开定理按该行(列)展开.例8081例2计算行列式解82例3解83例4解从第一行开始，逐行减去下一行，8485再从第一行开始，逐行减去下一行86递推法例5计算行列式解按第一行展开，递推得87证用数学归纳法，例6证明范德蒙(Vandermonde)行列式8889n–

1阶范德蒙行列式9091例7

计算行列式解利用范德蒙行列式的结论92*二、行列式按某k

行(列)展开93

例8用拉普拉斯定理求行列式解按照第一行和第二行展开9495§1.5

克莱姆法则定理1.7(克莱姆法则)如果线性方程组的系数行列式不等于零，即那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以表示为96证其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即97(1.13)9899例1解所以方程组的解为101补例

用克莱姆法则解方程组解102所以方程组有唯一解,103104105例2

《九章算术》是中国古代最重要的数学典籍之一,约成书于公元1世纪,全书共收录246个与生产和生活密切相关的数学问题,称得上是中国古代数学的“百科全书”,也对世界数学发展产生了深远影响.《九章算术》卷八名为“方程”,是“方程”一词的最早出处,书中首次系统地提出了线性方程组的解法,解法中也出现了三阶行列式的雏形.《九章算术》卷八的第三个问题:“今有上禾二秉,中禾三秉,下禾四秉,实皆不满斗;上取中,中取下,下取上各一秉而实满斗.问上、中、下禾实一秉各几何?”根据题意列出方程组,并求其解.解问题中的“禾”指禾谷,即粮食作物;“秉”是古代计量单位,1秉即1捆(或1束);“实”指1秉禾谷脱粒后的粮食数量；106单位“斗”是古代容量单位,1斗约合现代2000毫升.设一秉上禾可得粮食x斗,一秉中禾可得粮食y斗,一秉下禾可得粮食z斗,则可得线性方程组利用克莱姆法则，计算107于是可知,一秉上禾可得粮食9/25斗,一秉中禾可得粮食7/25斗,一秉下禾可得粮食4/25斗.所以108例3解“全加法”110为齐次线性方程组.称方程组(1.14)显然是(2)的一个解,称为零解.

定理1.8

如果齐次线性方程组(2)的系数行列式，则齐次线性方程组(1.14)只有零解.证

如果齐次线性方程组(1.14)的系数行列式，则由克莱姆法则，方程组(1.14)只有唯一解:111这个定理也可以叙述为：如果齐次线性方程组(1.14)有非零解，则它的系数行列式D=0.以后证明：如果齐次线性方程组(1.14)的系数行列式D=0,则(1.14)必有非零解.

112例4解所以方程组仅有零解.113例5解114END115习题选解P34，13116(4)计算行列式“全加法”P36，23117计算行列式P37，24118“全加法”计算行列式P41，46119若齐次线性方程组解有非零解，求

k的值.第二章矩阵120121

本章主要介绍矩阵的概念、运算、方阵的行列式、分块矩阵、可逆矩阵、矩阵的初等变换和矩阵的秩.这些内容既是矩阵理论的核心,也是后续求解线性方程组、分析向量组线性相关性的关键工具.例1

设有线性方程组矩阵是数学中的一项重要内容，也是经济研究和经济工作中处理线性经济模型的重要工具.首先看几个实例.§2.1

矩阵的概念122其系数和常数项构成一个矩形阵列例24种产品4个季度产值某企业生产4种产品,各种产品的季度产值如下表所示123例3n种材料m种产品消耗定额

124定义2.1125为了标明矩阵的行数m和列数n,可用Am

n表示,一般情形下,用大写黑体字母A,B,C等表示矩阵.或记作126例如是一个矩阵,是一个矩阵.是一个矩阵,是一个矩阵.127同型矩阵与矩阵相等的概念如果两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.例如为同型矩阵.定义2.2两个矩阵为同型矩阵，并且对应位置上的元素均相等，即则称矩阵相等,记作128例

设解129元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作

或

O.注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.例如所有元素均为非负数的矩阵，称为非负矩阵.

130一、矩阵的加法、矩阵的数乘定义2.3注：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.§2.2

矩阵的运算131例1

有某种物资(单位:吨)从3个产地运往4个销地,两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B，则从各产地运往各销地两次的物资调运量(单位:吨)共为132矩阵的数量乘法：定义2.4数k与矩阵A的乘积记作kA，规定133例2设3个产地和4个销地的里程矩阵表(单位：千米)为每吨货物的运费为1.5元/公里，则每吨货物的运费为134矩阵加法的运算规律：显然有定义矩阵的减法：135说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行减法运算.例如136数乘矩阵的运算规律：加法和数乘合称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）137例3解138例4

已知且A

+

2X

=

B，求X.解139例5某地区有4个工厂Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,生产甲、乙、丙3种产品,矩阵A

表示一年中各工厂生产各种产品的数量,矩阵B

表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元),矩阵C

表示各工厂的总收入及总利润.ⅠⅡⅢⅣ甲乙丙甲乙丙ⅠⅡⅢⅣ单位单位价格利润总收入总利润140二、矩阵的乘法其中,aik(i=1,2,3,4;k=1,2,3)是第i个工厂生产第k

种产品的数量,bk1及bk2(k=1,2,3)分别是第k

种产品的单位价格及单位利润,ci1及ci2(i=1,2,3,4)分别是第i个工厂生产3种产品的总收入及总利润.矩阵A,B,C

的元素之间有下列关系:总收入总利润141例6如果变量x,y,z与变量之间的关系为142则称之为从变量x,y,z到变量的线性变换.如果变量到变量的线性变换为则从x,y,z到的线性变换为143定义2.5144矩阵的乘法145注意只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如，有意义，无意义.而146例如例如147例7解148例8解149例9150解(其中k为数);注意：交换律不成立.首先，AB有意义，BA不一定有意义；例如，矩阵乘法满足结合律！分配律矩阵乘法的运算规律：151例如，152比如例9结论：矩阵乘法交换律不成立，一般若称A、B可交换，(前提是A、B为同阶方阵).但仍不一定有153例10解154例11解155156157从例9还可看出，矩阵乘法不满足消去律：或左消去律不成立；同理没有右消去律：158例13线性方程组的矩阵形式记系数矩阵则上述方程组可写为159例14解由题意，160三、矩阵的转置例161定义2.6

把矩阵A的行列互换得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作或转置矩阵的运算性质：(4)可推广到多个矩阵:162证.性质(1)(2)(3)显然成立，证明性质(4).163四、矩阵运算的例题164例15t2年，该企业又扩大生产规模，将甲公司的生产规模扩大一倍，乙公司生产规模不变，销售价格不变.165解(1)AP表示t1年该企业下属甲、乙公司的总收入矩阵.(1)说明下列矩阵所表示的经济意义.

AP,BP,B-A,A+B,(A+B)P(2)计算(A+B)P.BP表示t2年该企业下属甲、乙公司的总收入矩阵.A+B表示该企业t1年和t2年两年的总销售量矩阵.B-A表示该企业t2年比t1年增加的销售量矩阵.(A+B)P表示该企业t1年和t2年两年的总收入矩阵.设该企业t1年的销售两矩阵为，t2年销售量矩阵为

，产品的价格矩阵为.166(2)根据题意，由计算可得，该企业t1年和t2年两年的总收入为167例16因为要标注“乡村振兴助农”统一标识,两类产品的包装需在同一家工厂定制.根据工厂的报价,哪家工厂最便宜?某助农电商平台为推广特色农产品,计划为当地农户种植的10种杂粮(小米、红豆等)和16种干货(木耳、香菇等)定制统一的环保包装礼盒.好的包装能让农产品从散装土特产升级为品牌化商品,提升市场竞争力,从而帮助偏远地区农户将特色农产品推向全国,让农户的劳动成果获得合理的回报.平台筛选了甲、乙、丙、丁四家注重环保的包装工厂,四家的报价见表2-4.168解则包装总费用矩阵为SP.设包装价格矩阵为P,所需包装的数量矩阵为S,则从费用上考虑，甲工厂最便宜.包装总费用矩阵也可由求出.§2.3

n阶方阵，方阵的行列式如果矩阵A=(aij)的行数与列数都等于n，则称A为n阶矩阵(或称n阶方阵).主对角线一、

n

阶矩阵(方阵)169170均是二阶方阵.是三阶方阵.二、方阵的幂定义设A为n阶方阵，则A的方幂定义为再规定

性质.其中k，l为任意非负整数.注意

由于没有交换律，一般因此，一般171172补例解所以173A是一个

n阶方阵，定义矩阵多项式为是一个多项式，例如，174三、方阵的行列式定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|

A

|或detA.175注意矩阵与行列式有本质区别：行列式是一个算式,一个数字行列式表示一个数值,而矩阵是一个数表,它的行数和列数可以不同.

对于方阵A,虽有行列式|A|,但A和|A|是不同的概念,不能混为一谈.176运算性质.推广：特别：注意！(n

为A的阶数)177例1解178补例解两边取行列式，补例设A为3阶矩阵，且|A|=16，则注：179§2.4

几种特殊的矩阵一、对角矩阵即形如的方阵,称为对角矩阵，可记作diagonalmatrix180181二、数量矩阵与单位矩阵即形如的方阵，称为数量矩阵，当对角矩阵的主对角上的元都相同时，182例183三、三角形矩阵即形如的方阵，称为上三角形矩阵，类似地，下三角形矩阵.184四、对称矩阵与反对称矩阵定义对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明

设A为n阶方阵，如果满足，即那末A称为对称矩阵.185反对称矩阵的对角元全为零.说明那末A称为反对称矩阵.

设A为n阶方阵，如果满足，即定义186若A、B为同阶对称阵(反对称阵)，则仍为对称矩阵(反对称矩阵).A、B为同阶对称阵，AB未必对称；但是当A、B可交换时，AB对称.例如，187例1证因为A,B都是n阶对称方阵，所以188补例证因为BTB是n阶方阵，且同理可证，BBT是m阶对称矩阵.所以BTB是对称矩阵；189

设A是n阶反对称矩阵,B是n阶对称矩阵,则AB+BA是反对称矩阵.练习(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=B(-A)+(-A)B=-(AB+BA).证190练习C解反对称；§2.5

分块矩阵对于规模较大，零较多或局部比较特殊的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵分割成小矩阵.使原矩阵显得结构简单而清晰，在运算时，把这些小矩阵当作元素一样来处理.

具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.191一、分块矩阵的概念例如192同一个矩阵可以根据需要写成不同的分块矩阵：在进行分块矩阵运算时，把子块作为元素处理.二、分块矩阵的运算规则(1)分块矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用相同的分块法,有193由于矩阵的加法与数乘比较简单，一般不需用分块计算.

194分块矩阵转置时，先按块转置，再将各子块内部转置.

195196例1

设矩阵解197则198因此199容易验证，这与直接用不分块矩阵运算得到的结果相等.计算可得例

设解则200又于是201利用分块矩阵，可以用不同的形式来表示矩阵的运算.则202例如则203形如的分块矩阵,称为分块上三角矩阵,类似有分块下三角矩阵.分块下三角矩阵几种特殊的分块矩阵204(2)分块三角矩阵有如下性质：(1)设A、B两个同类型的分块三角矩阵，则均为同类型的分块三角矩阵.205特别,称为分块对角矩阵.206分块对角矩阵除了具有分块三角阵的性质以外,还有：特别，207补例

设解208209§2.6

逆矩阵则矩阵B称为A的逆矩阵.在数的运算中，当数时，有其中为a的倒数；单位阵

I

类似于1在数的乘法运算中的地位.那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得对任何方阵A，

有AI=

IA

=

A,一、逆矩阵的概念210则称A为可逆矩阵,而B称为A的逆矩阵,记为定义2.7例如

设设

A

是n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得得证.211例如所以212结论

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵必唯一.证设B和C都是A的逆矩阵，则结合律问题:(1)什么条件下A才可逆？213二、矩阵可逆的条件上式两边取行列式,若则称矩阵A是非奇异的(或满秩的)；

否则称A为奇异的(或降秩的).下面说明这个条件也是充分的.结论定义2.8214伴随矩阵：定义2.9称为A的伴随矩阵.代数余子式,矩阵215例1解216性质证明回忆行列式按行展开公式：类似地，按列展开公式可得217定理2.1

矩阵A可逆的充分必要条件是A非奇异；证充分性：必要性：已证；所以A可逆，且有且当A可逆时，有218故A可逆的充分必要条件是且例如，对角元换位，非对角元变号.219逆矩阵的求法—伴随矩阵法求方阵的逆矩阵.例2解所以A

可逆；220同理可求得对于3阶及以上的矩阵，用伴随矩阵法求逆矩阵较麻烦，以后将给出另一种求法--初等变换法.

221例3对角阵可逆的充分必要条件是且证222若则223推论证由定义知，定理2.1

矩阵A是可逆的充分必要条件是A非奇异；当A非奇异时，有即A可逆，224例4设n阶矩阵A满足解225所以A可逆，且即证三、逆矩阵的性质注意A,B可逆，A+B不一定可逆，即使可逆,一般226推论：可逆阵A若对称(反对称),则也对称(反对称).对称；反对称.证证227对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立.例5证228229例6证230所以两边取行列式可得可以证明，去掉A可逆这个条件，仍然成立.练习解231例7解232233类似有特别地，另外，234一般地，对与分块对角矩阵，有235例如236例如

所以237§2.7

矩阵的初等变换定义2.10对矩阵施以下面三种变换，称为矩阵的初等行(列)变换，统称为初等变换:238一、初等变换与初等矩阵三种初等行变换通常如下表示：行对换变换：行倍加变换：239行倍乘变换：表示交换矩阵的第i行与第j行.表示以非零数k乘以矩阵第i行的所有元素.表示把矩阵第j行的l倍加到矩阵第i行上.三种初等列变换通常如下表示：列对换变换：列倍加变换：列倍乘变换：表示交换矩阵的第i列与第j列.表示以非零数k乘以矩阵第i列的所有元素.表示把矩阵第j列的l倍加到矩阵第i列上.定义2.11

对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵有下列3种：(1)对I施以第(1)种初等变换得到的矩阵.i行i列j行j列240(2)对I施以第(2)种初等变换得到的矩阵.i

行i

列241(3)对I施以第(3)种初等变换得到的矩阵.242(2)对A施以某种初等列变换,相当于用同种的n阶初等矩阵右乘A.(1)对A施以某种初等行变换,相当于用同种的m阶初等矩阵左乘A.

证243我们证明交换A的第i行与第j行等于用Im(i,j)左乘A.将矩阵A与单位矩阵Im进行如下分块：244类似可证其它初等变换的结论.这说明Im(i,j)A恰好等于矩阵A的第i行与第j行互换后得到的矩阵.例如，245初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换246容易验证：初等矩阵的逆矩阵还是同类型的初等矩阵：二、矩阵的等价标准形等价关系的性质：如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称矩阵A和B为等价的，记作

定义247定理2.3任意一个矩阵

A

经过有限次初等变换，的矩阵，称之为A的等价标准形.

证总可以化为形如

248如果A=O,则A已经是形如D的矩阵(此时r=0).249如果B1

=O,则A已化为形如D的矩阵(此时r=1).如果B1不是零矩阵,那么按照上面的方法，继续下去，最后总可以化为D的形式.矩阵D称为矩阵A的等价标准形.推论250根据定理2.3，对A施以若干次初等变换可化为D，证对A施以初等变换相当于用相应的初等矩阵乘A，因为A可逆，且初等矩阵可逆，其乘积也可逆，所以D可逆，故

例1

求矩阵A的等价标准形：解251例2

求下列矩阵A的等价标准形：解252由2.6节的例2知矩阵A的是可逆的.对矩阵A施以初等行变换,相当于左乘一个初等矩阵；对矩阵A施以初等列变换,相当于右乘一个初等矩阵.任意一个矩阵

A总可以经过有限次初等变换，化为等价标准形推论253254若A为n阶可逆矩阵，则初等矩阵是可逆的，且其逆阵仍为初等矩阵，于是即矩阵A可以表示成一些初等矩阵的乘积.定理2.4

n

阶方阵

A可逆的充分必要条件是

A可以表示成一些初等矩阵的乘积.证(必要性)由定理2.3的推论知，若A可逆，则A经过若干次初等变换可化为单位矩阵I,也就是说，存在初等矩阵因为初等矩阵可逆，所以充分性是显然的.其中均为初等矩阵，或其中也是初等矩阵，设A可逆，则可逆矩阵A可经过若干次初等行变换化为单位矩阵.表明：表明：如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵I，那么同样地用这些初等行变换就把单位矩阵I化为255三、用初等变换求逆矩阵利用初等变换求逆阵的方法：如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵I，那么同样地用这些初等行变换就把单位矩阵I化为行变换256

解例如257258例3解259260只利用初等列变换求逆阵的方法：上面用一系列初等行变换求逆矩阵的方法只能对矩阵(A,I)施以初等行变换，不得出现初等列变换.列变换261还可以用初等变换求逆矩阵的方法来判断矩阵A是否可逆.对分块矩阵(A,I)进行初等行变换的过程中，若出现子块A处有某一行元素全为零，则子块A不能化为I,从而A不可逆.即初等行变换求解矩阵方程262例4解法1设矩阵A和X满足：

其中

求矩阵X.

263264265解法2直接利用初等行变换求X.266列变换行变换从而获得X.解法1：解法2：此法一般不用267解例如求解下列矩阵方程：

转置，

268§2.8

矩阵的秩定义2.12例如，269零矩阵的秩规定为0.定义2.13270例如，271但的所有三阶子式均等于零.而矩阵B有三阶子式不为零.矩阵B称为行满秩矩阵.矩阵秩的性质：可逆矩阵也称为满秩矩阵.272定理2.5

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.273证

仅考察经过一次初等行变换的情形.274矩阵A经过一次初等行变换得到B,则B经过一次初等行变换可得A，因此又有显然上述结论对初等列变换也成立.因此对矩阵A每施以一次初等变换所得矩阵的秩与A的秩相等,因而对A施以有限次初等变换后所得矩阵的秩仍然等于矩阵A的秩.矩阵秩的性质：275事实上，因为P，Q均可逆，用P左乘A，或用Q右乘A

，相当于对A施以一系列初等行变换和初等列变换，并不改变A的秩.结论

两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等.必要性是因为初等变换不改变矩阵的秩；下证充分性.则A和B都与等价，

由矩阵等价的对称性和传递性知A与B等价.证若矩阵的每行第一个非零元的下方及左下方全为零，则称之为阶梯形矩阵.276下面矩阵是阶梯形矩阵吗？不是不是是277任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换化为阶梯形矩阵；

初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的行数.矩阵秩的计算方法：用初等行变换把矩阵化为阶梯形，则该阶梯形矩阵中的非零行数就是所求矩阵的秩.

278例如解279例1解280例2解281例3解法1282解法2283证例4284END285习题选解286P95，14求所有与A可交换的矩阵.解则287证明P96，27288P97，35(2)故A可逆的充分必要条件是且例如，对角元换位，非对角元变号.289P98，42解所以290证P98，45注意：291P99，52解292解P99，55求下列矩阵的逆矩阵.

所以293P100，57解294295第三章线性方程组296本章讨论关于线性方程组的两个问题：

一、探讨n个未知数m个方程的线性方程组的消元解法.

二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解，何时无解.若有解，则有多少组解；若有无穷多解，如何表示.

运用n维向量的理论可全面地解决第二个问题.297引例用消元法解线性方程组解§3.1

线性方程组的消元解法298299300用“回代”的方法求出解：，其中c

取任意常数.301小结：1．上述解方程组的方法称为消元法；

2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数k乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（

与

相互替换）（以

替换

）（以

替换

）3023．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的，故这三种变换是同解变换.303因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算.若记称为方程组(1)的增广矩阵.对线性方程组的消元过程完全可以转换为对增广矩阵的初等行变换过程.304用矩阵的初等行变换解方程组(1)：305306对应的方程组为由下到上逐个解得，其中c取任意常数.307例1解线性方程组解消元308解得唯一解回代从以上例子可以看出，用消元法解线性方程组时，在消元过程结束后，我们得到一个阶梯形矩阵.回代过程则进一步化阶梯形矩阵为简化的阶梯形矩阵.309一般地，如果一个阶梯形矩阵满足条件：每一非零行的第一个非零元素为1，且它所在列的其它元素全为0，则称该矩阵为简化的阶梯形矩阵.下面矩阵是简化的阶梯形矩阵吗？不是是是310311对于一般的线性方程组系数矩阵增广矩阵(3.1)线性方程组(3.1)的矩阵形式为常数项未知量312对方程组的增广矩阵施以初等行变换，相当于把原方程组变换成一个新的方程组，不难证明新方程组是原方程组的同解方程组.消元法也适用于一般的线性方程组：用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵，可实现消元过程.再利用初等行变换将阶梯形矩阵化为简化的阶梯形矩阵，可完成回代过程.

对增广矩阵施以行对换变换，相当于交换两个方程的次序；对增广矩阵施以行倍乘变换，相当于用非零数k乘以某一个方程的两边，这两种变换显然不会改变方程组的解.同解313不难证明，原方程组的解是新方程组的解；反之，新方程组的解也是原方程组的解.于是，新老方程组是同解方程组.对增广矩阵施以行倍加变换，比如将第i行的k倍加到第j行上，相当于将第i个方程乘以k加到第j个方程上，第j个方程会从

变为314方程组有解的充分必要条件是(如果有必要，可重新安排方程中未知量的次序)一般地，利用矩阵的初等行变换按照从左往右，从上往下的顺序将增广矩阵化为阶梯形矩阵，完成消元的过程.315定理3.1.线性方程组解的判定定理：在有解的情况下，316在方程组有解时，再利用初等行变换按照从右往左，从下往上的顺序将阶梯形矩阵化为简化的阶梯形矩阵，完成回代的过程来得到方程组的解.317我们称xr+1,xr+2,…,xn这n-r个未知量为自由未知量，每取定自由未知量的一组值，即可得原方程组的一个解.原方程组与下列方程组同解.318这是原方程组无穷多解的一般形式，一般称为方程组的全部解(或通解).319解例2解线性方程组320321322解例3解线性方程组323324解例4325326327当线性方程组的常数项均为零时，即下面形式的线性方程组称为齐次线性方程组显然零向量必为它的解，称为零解.定理3.2推论(3.9)其矩阵形式为齐次线性方程组(3.9)有非零解的充分必要条件是：328例5

解齐次线性方程组

解这是一个齐次线性方程组，且方程个数等于未知量个数.329由此可得原方程组的同解方程组是

330从而原方程组的全部解是

注.

从本例可以看出，对于一个齐次线性方程组，只需要对其系数矩阵做初等行变换即可.331§3.2

向量与向量组的线性组合一、向量及其线性组合定义3.1称为n维行向量,称为n维列向量，其中或332向量可视为特殊的矩阵,因此,向量相等的概念与矩阵相等相同：两个n维向量相等当且仅当它们各对应分量都相等.333所有分量均为零的向量称为零向量，记为

0.向量的加减法、数乘等概念与矩阵也完全相同.定义3.2和，记为334由向量的加法及负向量的定义，可以定义向量的减法.则定义3.3向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算.数量乘积，335所有n维实向量的集合记为Rn，我们称Rn为实n维向量空间，它是指在Rn中定义了加法及数乘这两种运算，并且这两种运算满足以下八条运算律：

其中a,b,g

都是n维向量,0是n维零向量,k,l

为实数.(加法交换律)；(加法结合律)；(数乘分配律)；(数乘分配律)；(数乘结合律)；定义3.4336除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：例1解移项规则337二、向量组的线性组合根据向量的加法与数乘的定义,一般的线性方程组(3.1)它称为方程组(3.1)的向量形式,其中都是m维列向量.于是,线性方程组(3.1)是否有解,就相当于是否使线性关系式成立，即常数列向量可以写成常数列向量与系数列向量如下的线性关系存在一组数:338定义3.5例如,b=(2,-1,1),a1=(1,0,0),a2=(0,1,0),a3=(0,0,1),显然b=2a1-a2+a3

,或者说b可由a1,a2,a3线性表示.即b是

a1,a2,a3的线性组合,

339定理3.3证.线性方程组有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.即

340

341例3.例4.称为n维基本单位向量组.例2.342例5解343类似地，344补例解345346但表示法不唯一.

其中c为任意常数.347三、向量组等价定理3.4设有两个向量组如果向量组(A)中每个向量均可由向量组(B)线性表示，则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示.如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示，而向量组(B)又可由向量组(C)线性表示，则向量组(A)也可由向量组(C)线性表示.证.设有向量组348如果将式②代入式①可得：①②整理后得：即向量组(A)可由向量组(C)线性表示.349定义3.6设有两个向量组如果向量组(A)和向量组(B)可以互相线性表示，则称向量组(A)与向量组(B)等价,可记作根据定义3.6和定理3.4，可得到向量组等价的下述性质：

(1)

反身性

任一向量组和它自身等价.

(2)

对称性

如果向量组(A)和(B)等价，则(B)与(A)等价.(3)

传递性

如果向量组(A)和(B)等价，向量组(B)与(C)等价,则向量组(A)和(C)等价.350例6

设向量组

解故(B)可由(A)线性表示.试判断三个向量组是否相互等价.所以向量组(A)可由向量组(B)线性表示.故(A)与(B)等价.故(C)可由(A)线性表示.所以向量组(A)与(C)不等价.由此可知向量组(B)与(C)不等价.351例7

已知向量组

解试问：当a取何值时，向量组(A)与(B)等价？当a取何值时，向量组(A)与(B)不等价？若逐个验证这六个线性方程组是否有解，过程是否繁琐.同时判断a取何值时，向量组(A)与(B)等价或不等价.352353因此，此时向量组(A)与(B)不等价.354§3.3

向量组的线性相关性一、线性相关与线性无关齐次线性方程组可以写成零向量与系数列向量的如下线性关系式：它称为齐次线性方程组的向量形式,其中都是m维列向量.因为零向量是任意向量组的线性组合，所以齐次线性方程组一定有零解.问题是齐次线性方程组是否有非零解，即是否存在一组不全为零的数k1,k2,…,kn,使得关系式355356定义3.7例如357定理3.5证.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩小于未知数的个数n，由此定理得证.

等价于：358定理3.5’这一结论对于行向量组也成立.

等价于：359(线性无关)的充分必要条件是齐次线性方程组有(无)非零解,360推论1证.根据定理3.5,361推论2证.设当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组线性相关.对于齐次线性方程组由于m<n,其方程个数小于未知数个数，故有非零解.由此得证.362例1.

证明Rn中的基本单位向量组证.

因为单个向量线性相关当且仅当它为零向量：例2.证.

因为363解.例3

判断下列向量组是否线性相关.364解.例4

判断下列向量组是否线性相关.365例5证.方法一366证.方法二367定理3.6如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.证.368例6等价命题：如果一个向量组线性无关,则其任一部分组线性无关.部分相关整体相关整体无关部分无关线性相关的向量组添加若干向量仍线性相关;线性无关的向量组去掉若干向量仍线性无关.任何一个含有零向量的向量组线性相关.因为零向量线性相关，故由定理3.6可知，该向量组也线性相关.369二、关于线性组合与线性相关的定理定理3.7证(必要性)使则370定理3.8证371再证表法唯一.设有两种表示法，即表法唯一.定理3.9设有两个向量组证由定理条件可知向量组(B)可由向量组(A)线性表示，如果s<t,则向量组(B)线性相关.372③①②因为s<t，故齐次线性方程组373有非零解.因此可取k1,k2,…,kt为⑤的一组非零解.这个非零解可使方程组④成立，因而可使方程组③成立，即有一组不全为零的数k1,k2,…,kt，使得式②成立.所以，向量组(B)线性相关.⑤④374等价说法由上述推论知，推论设向量组(A)与向量组(B)等价，如果向量组(A)与(B)都是线性无关的，则s=t.证且彼此等价，若向量组(B)可由向量组(A)线性表示，且向量组(B)线性无关，则

t≤s.375§3.4向量组的秩一、向量组的极大无关组该向量组就至少包含一个向量的部分组线性无关；再考察包含两个向量的部分组，如果有两个向量的部分组线性无关，则往下继续考察三个向量的部分组；依此类推，最后总能达到向量组中有r(r≤s)个向量的部分组线性无关，而没有多于r个向量的部分组线性无关，则含有r个线性无关的向量的部分组是其中最大的线性无关的部分组,称之为极大线性无关组.376极大无关组.定义3.8一个线性无关的向量组,它的极大无关组就是它本身.任何一个向量组,只要它含有非零向量,就一定有极大无关组.仅含零向量的向量组不存在极大无关组.☎☎377例如，设有向量组向量组的极大无关组可能不止一个，但是极大无关组所含向量的个数是相同的.☎378证.(必要性)定理3.10379(充分性)任何一个向量组与其极大无关组可互相线性表示，即向量组与其极大无关组等价.☎380二、向量组的秩向量组的任一极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记为

定义3.9规定：全由零向量组成的向量组的秩为零.

例如，向量组381自身,因此反之,若我们把矩阵A的行向量组的秩称为矩阵的行秩;把矩阵A的列向量组的秩称为矩阵的列秩.解决方法：将向量组的秩的计算，转化为矩阵的秩的计算.基本问题：

给定一个向量组，求它的一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示.382定理3.11证.（必要性）383是A的r+1个线性无关的列向量组成的矩阵.384（充分性）385386矩阵A的行秩与列秩相等.因为矩阵的行秩、列秩均等于矩阵的秩r(A).推论我们还可以证明：如果对矩阵A仅施以初等行变换化为矩阵387类似地，如果对矩阵A仅施以初等列变换化为矩阵

，则矩阵的行向量组与A的行向量组间有相同的线性关系.总结：矩阵的初等行（列）变换不改变其列（行）向量组的线性关系.388为适应新能源汽车的快速发展,切实解决群众“充电难”问题,某县发改委统筹推进4个乡镇(A、B、C、D)的充电桩资源配置工作.每个乡镇的需求可分为3个核心维度:直流快充桩台数、交流慢充桩台数和充电桩配套停车位个数.4个乡镇的具体需求对应4个三维向量:A对应(2,4,2),即乡镇A需要新增2台直流快充桩、4台交流慢充桩、2个配套停车位;B对应(1,1,0),C对应(2,3,1),D对应(3,5,2).将四个需求向量分别设为例1.求该向量组的一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示.389解.方法一390解.方法二对矩阵A施以初等行变换，化为阶梯形矩阵，并在矩阵右侧标注所作的变换.391注.

由例1可以看出，如果需要求出一个向量组的极大无关组或秩，并将其余向量用该极大无关组线性表示，只需由此向量组构造矩阵A.其中方法一要求各向量作为A的列向量组，并将A化为简化的阶梯形矩阵；而方法二要求各向量作为A的行向量，在对A施以初等行变换时，需要记录计算过程.一般地，我们利用方法一计算这类问题.392解补例设向量组求一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示.393394例2.证.395定理3.12

等价的向量组必有相同的秩.注意：上述定理的逆命题不成立，即秩相等的两个向量组未必等价.设有两个向量组如果向量组(A)与(B)等价，则证.396例3证.设即AB的每个列向量是A的列向量组的线性组合,由定理3.11及例2可得：397类似地，设即AB的每个行向量是B的行向量组的线性组合由定理3.11及例2可得：398推论若P,Q为可逆矩阵,则有证.或用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明.399§3.5线性方程组解的结构在有解的情况下，3.1节中给出结论：其中A为m

n矩阵，为增广矩阵.

当线性方程组有无穷多解时，我们来讨论与这一问题有关的方程组的解的结构，希望用有限个解表示出所有无穷多解.400一、齐次线性方程组解的结构由解的判别定理知，(*)只有零解当且仅当(*)有非零解(即无穷多解)当且仅当401齐次线性方程组解的性质：证.证.402定义3.10如果满足：注.若(*)只有零解，则基础解系不存在.即基础解系为(*)的全体解向量组的一个极大无关组.由上述性质可知，如果一个齐次线性方程组由非零解，则它就有无穷多解，这无穷多个解构成了一个n维向量组.如果我们能求出这个向量组的一个极大无关组，就能用它的线性组合来表示方程组的全部解.403定理3.13证.404405406407解.例1求下面齐次线性方程组的一个基础解系：

注.

定理3.13的证明过程给我们指出了求齐次线性方程组的基础解系的方法.对系数矩阵施以初等行变换408自由未知量取为

基础解系：409例2用基础解系表示如下方程组的全部解.

解对系数矩阵施以初等行变换410基础解系：411例3证.将矩阵B按列分块，设

则412二、非齐次线性方程组解的结构413非齐次线性方程组解的性质：证.证.414定理3.14证.由性质(1)可知，(**)的一个解，所以只需证明，(**)的任意一个解415由定理3.14可知，如果(**)有解，则只需要求出它的一个特解η，并求出其导出组的基础解系那么其全部解可以表示为

当(**)有解时，如果其导出组仅有零解，则该非齐次线性方程组只有一个解；如果其导出组由无穷多解，则该非齐次线性方程组也有无穷多解.416解例4用基础解系表示如下线性方程组的全部解：对增广矩阵施以初等行变换417导出组的基础解系：418特解：所以所给方程组的全部解为其中为任意常数.419由此例可以看出,求非齐次线性方程组Ax=b

的全部解(或通解),并要求用其导出组的基础解系表示时,应首先对方程组的增广矩阵施以初等行变换,化为阶梯形矩阵,并判断方程组是否有解.当方程组有无穷多解时,先求出方程组的一个特解η,然后求得对应的导出组的一个基础解系其中r=r(A)<n,则原方程组的全部解为420解补例方程组(1)

为何值时，无解？有唯一解？有无穷多解？(2)

无穷多解时，求出全部解(用向量表示).

无解;421有无穷多解,全部解为k为任意常数.422§3.6投入产出数学模型

投入产出分析是20世纪30年代由美国经济学家列昂惕夫首先提出的,它是研究一个经济系统各部门之间“投入”与“产出”关系的线性模型,一般称为投入产出模型.投入产出模型可应用于微观经济系统,也可应用于宏观经济系统的综合平衡分析.目前,这种分析方法已在全世界多个国家和地区得到了普遍的推广和应用.自20世纪60年代起,我国就开始把投入产出分析方法应用于各地区及全国的经济平衡分析.423一、投入产出平衡表设一个经济系统可以分为n

个生产部门,各部门分别用1,2,…,n

表示.第i

部门只生产一种产品i,并且没有联合生产,即产品i

仅由第i

部门生产.一方面,每个生产部门将自己的产品分配给各部门作为生产资料或满足社会的非生产性消费需要,并提供积累;另一方面,每个生产部门在其生产过程中也要消耗各部门的产品.这样各部门之间形成了一种复杂的相互交错的关系,这一关系可以用投入产出(平衡)表来表示.424投入产出表可以按实物形式编制,也可按价值形式编制,下面仅讨论价值型投入产出表.因此,后面提到的诸如“产品量”“单位产品”“总产品”“最终产品”等,分别指“产品的价值”“单位产品的价值”“总产值”“最终产品的价值”等.记xi(i=1,2,…,n)表示第i部门的总产品;yi

(i=1,2,…,n)表示第i

部门的最终产品;xij(i,j=1,2,…,n)表示第i

部门分配给第j

部门的产品量,或者说第j

部门消耗的第i部门的产品量;zj

(j=1,2,…,n)表示第j部门新创造的价值;vj(j=1,2,…,n)表示第j部门的劳动报酬;mj(j=1,2,…,n)表示第j

部门创造的纯收入(包括利润、税收等).425426

投入产出表分四个部分,称为四个象限.

左上角为第Ⅰ象限,在这一部分,每个部门都以生产者和消费者的双重身份出现.从每一横行来看,该部门作为生产部门,将自己的产品分配给各部门;从每一纵列来看,该部门又作为消耗部门在生产过程中消耗各部门的产品.行与列的交叉点是部门间流量,这个量也以双重身份出现,它是行部门分配给列部门的产品量,也是列部门消耗的行部门的产品量.这一部分反映了该经济系统生产部门之间的技术性联系,它是投入产出表最基本的部分.427右上角为第Ⅱ象限,