高一预习人教A版（2019）高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试（含详解）

第=page33页，共=sectionpages1010页第=page22页，共=sectionpages1010页第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，当时，由，得，故A错误；对于B，当时，有，故B错误；对于C，因为，所以，即，故C正确；对于D，若，，则，不满足，故D错误.2．已知且，则的最小值是（

）A．3 B．9 C．5 D．25【答案】D【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25．3．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】；.因为“”是“”的必要不充分条件.所以“”是“”的必要不充分条件.4．已知集合，，则=（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】.由，解得，即.故.5．已知，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】由，得，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是4.故选：A6．已知，，都是正数，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．8 D．9【答案】C【解析】由题意得，，等号成立时，则的最小值为.故选：C7．已知，关于的不等式的解集为，则（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解析】因为关于的不等式的解集为，所以关于的方程的根为和，所以，解得，所以.故选：B8．火车站有某公司待运的甲种货物306吨，乙种货物230吨．现计划用、两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列方案满足要求的是（

）A．货箱27节，货箱23节 B．货箱26节，货箱24节C．货箱31节，货箱19节 D．货箱30节，货箱20节【答案】D【解析】设安排种型号的货箱节，种型号的货箱节，则，，，则，解得，，解得，所以，则或或，共3种方案，满足题意的只有D选项．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的为（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AD【解析】若，则，即，A选项正确；当，，满足，但，B选项错误；当，，满足，但，C选项错误；若，有，则，即，D选项正确.10．已知正实数满足，且，则下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A，因为正实数满足，且，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，但等号不能取得，故C正确；对于D，令，则，故D错误.故选：ABC11．定义运算（其中），则下列结论正确的是（

）A．B．对任意C．对任意，，都有D．对任意，都有【答案】ACD【解析】先化简定义的运算，所以，故选项A正确；当时，，所以选项B错误；因为，即对任意，，都有，故选项C正确；因为，又因为，所以，即，即对任意，都有，故选项D正确.故选：ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知实数，满足，则的最大值为________．【答案】【解析】由，等式两边平方得：展开得.由于对任意实数，有，将其代入上式：，则.当且仅当时取等号，代入,解得或，此时，满足取等条件,因此的最大值为1.13．某校欲在100米长的围墙边用栅栏围成一个18平方米的矩形区域，作为天鹅的地面栖息地，矩形区域的一条边为围墙（如图）.则至少需要______米栅栏.【答案】12【解析】设矩形区域与围墙垂直的一边长为米，与围墙平行的一边长为米，则.由题可知.所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为，即最少需要12米栅栏.故答案为12.14．已知，，且，则的值为____________．【答案】【解析】由已知条件，，，可得：当时，取到最大值，；当时，取到最小值为，.因此，而题设给出，故必有，当且仅当或时成立.当时，，，，；当时，，，，.因此，的值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）解下列不等式：(1)；(2)【解析】（1）由，得，解得，故原不等式的解集为.（2）由得，等价于，解得，故原不等式的解集为.16．（15分）已知正实数满足(1)求的最大值；(2)求的最小值．【解析】（1）因为正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.（2）因为正实数满足，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.17．（15分）（1）若关于的不等式的解集是，求的值．（2）解关于的不等式【解析】（1）因为不等式的解集是，所以是方程的两个实数根，且，将代入方程中得，则原不等式为为，即，所以不等式的解集为，从而得出，所以，．（2）方程的根为，，当即时，不等式为，解集为；当即时，不等式解集为；当即时，不等式解集为；综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．18．（17分）已知正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时即时取等号．学习上述解法并解决下列问题：(1)若正实数满足，求的最小值：(2)若实数满足，求证：；(3)求代数式的最大值，并求出使得最大的的值．【解析】（1）正实数满足，，，当且仅当且时取等号，解得，的最小值为.（2），，，当且仅当时等号成立，，.（3），，解得，，根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立，解得，，，，最大值为，此时的值为.19．（17分）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”；(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.【解析】（1）由，根据题意的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和.（2）点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证