自动控制原理-第8章

第8章计算机控制系统近年来，由于脉冲和数字信号技术，特别是微处理器、高速信号处理器的蓬勃发展，数字控制器已越来越多地取代了模拟控制器，使得离散控制系统得到了广泛的应用。线性离散控制系统与连续控制系统相比存在有本质上的区别，同时在分析研究方面又有很多相似性。线性离散控制系统不能采用用于描述连续系统的数学模型，如微分方程、拉普拉斯变换、传递函数等概念与方法。因此引入了差分方程、Z变换、脉冲传递函数等概念，利用前面分析连续系统的方法和对离散控制系统进行了分析。本章将介绍采样过程及采样定理、保持器、Z变换、差分方程、脉冲传递函数、离散控制系统的时域分析和频域分析等。返回上一页8.1离散控制系统概述在前面各章介绍的控制系统中，所有的信号或变量都是关于时间的连续函数，这种信号或变量统称为连续时间信号或模拟变量，这类控制系统称为连续时间控制系统。如果控制系统中除了连续的模拟信号外还有一处或几处信号是数码或脉冲序列形成，这类系统又称为离散控制系统。通常，若离散系统中的信号或变量以脉冲序列的形式出现，则称此类离散系统为采样控制系统或脉冲控制系统；如果以数码或数字序列形式出现，则称此类离散系统为数字控制系统或计算机控制系统。图8-1为离散控制系统的基本结构框图。下一页返回8.1离散控制系统概述其中A/D转换器等效为一个采样开关，D/A转换器等效为一个采样开关和一个保持器，数字控制器的功能由计算机实现。众所周知，计算机所能接受的信号是时间上离散、量值上被数字化的信号，系统的控制量r(t)和反馈量b(t)都是连续的模拟信号，为了将其差值输入计算机，必须将这个模拟量通过A/D转换器转换为离散的数字信号。A/D的输出送入计算机后，其输出仍是一个在时间上离散、量值上数字化的信号，这个信号不能直接用于控制被控对象，必须由D/A将其转换为连续的模拟信号来驱动具有连续工作状态的控制对象，以使被控变量y(t)满足性能指标的要求。上一页返回8.2采样过程及采样定理将连续信号变换为脉冲序列的过程称为采样，采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关来表示，如图8-2所示，开关闭合周期为T，每次闭合时间为τ，通常Tτ，这时可以将采样过程看成是一个幅度调制过程。当采样开关视为理想采样开关时，采样输出信号为脉冲序列e{nT}(n=0,1,2,…)，可表示如下

=由于 是周期函数，可以展开成傅里叶级数的形式

=下一页返回8.2采样过程及采样定理式中，ωs=2π/T为采样角频率；ck为傅里叶系数。

ck= =所以

=其对应的傅里叶变换为

<=> = 根据频域卷积定理可得采样信号的频谱为

=采样前后信号的频谱如图8-3所示。上一页下一页返回8.2采样过程及采样定理由图可知，图8-3（a）表示采样周期为T=0，即原始信号，此时信号以连续信号形式存在，E(w)为一有限带宽的孤立频谱。图8-3（b）表示T较小，采样频率ws较高，满足ws>2wm，此时频谱不出现混叠现象。图8-3（c）表示ws=2wm时的情况，离散频谱恰好相交但不混叠。图8-3（d）表示T较大，ws<2wm，频谱出现混叠，混叠后的频谱形状已经和原信号的频谱E(w)不同了。因此若要重构原信号的所有信息，必须要求采样信号的频谱彼此不混叠，即要求采样频率ws满足如下条件

ws≥2wm这就是采样定理的内容，它指明了从采样信号中不失真地复现原始信号所必需的理论上的最高采样周期T，工程中常根据具体问题确定采样频率。一般情况总是尽量使ws比信号频谱的最高频率2wm大很多。上一页返回8.3信号的复现与保持器采样器的作用是从连续信号中采样得到离散信号，但在控制过程中也需要将离散信号转换为连续信号，这一过程称为信号的复现。用于信号复现的装置称为保持器。保持器所要解决的问题是各相邻采样点之间的插值问题，通常使用的是零阶保持器，常用的方法是采用多项式外推方法。零阶保持器是一种具有常值外推功能的保持器，它将kT采样时刻的数值作为常值保持到下一个相邻的采样时刻到来之前，保持时间为一个采样周期，零阶保持器的输出为阶梯信号，如图8-4所示。下一页返回8.3信号的复现与保持器零阶保持器的单位冲激响应gh(t)是一个幅值为1，持续时间为T的矩形脉冲，可以表示如下

gh(t)=1(t)-1(t-T)对gh(t)取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数

= =其频率特性为

= =T其中，幅频特性为上一页下一页返回8.3信号的复现与保持器当w→0时有

= =T相频特性为式中，

θ=零阶保持器的频率特性如图8-6所示。上一页下一页返回8.3信号的复现与保持器由图8-6可知，零阶保持器是一个低通滤波器，但不是一个理想低通滤波器，高频信号通过零阶保持器不能被完全滤除，并且同时产生相位滞后。零阶保持器的最大优点就是结构简单、容易实现。在工程实践中零阶保持器可用输出寄存器实现，在正常情况下，还应附加模拟滤波器，以有效滤除高频分量。上一页返回8.4线性离散系统数学模型8.4.1脉冲传递函数脉冲传递函数的定义：脉冲传递函数又称为Z传递函数。线性离散系统的脉冲传递函数是在零初始条件下，输出脉冲序列y(k)的Z变换和输入脉冲序列u(k)的Z变换之比，即

G(z)=脉冲传递函数仅取决于系统本身的特性，与系统的输入无关。需要说明的是，通常物理系统的输出量是时间的连续函数。但由于Z变换定义的原函数是离散化了的脉冲序列，它只能给出采样时刻的特性，所以这里求系统和环节脉冲传递函数，实际上是取该环节或系统输出的脉冲序列作输出量，这就是在输出端加虚拟同步采样开关，它与输入采样开关同步工作，并且具有相同的采样周期，以此求得系统的脉冲传递函数，从而求得y*(t)。下一页返回8.4线性离散系统数学模型可以证明如图8-7所示系统所对应的脉冲传递函数就是连续部分的单位冲激响应g(t)的离散信号g*(t)的Z变换，即

G(z)=Z[g*(t)]=Z[g(t)]=Z[G*(s)]=Z[G(s)]求G(z)也就是对传递函数G(s)求Z变换。图8-7线性定常离散系统例8.1设图8-7所示开环系统中

G(s)=试求相应的脉冲传递函数G(z)。解：先将G(s)作部分分式分解G(s)=则 G(z)=Z[G(s)]= = - =上一页下一页返回8.4线性离散系统数学模型8.4.2开环系统脉冲传递函数1.串联环节的脉冲传递函数如果开环离散系统由两个或两个以上的环节串联时，串联环节间有无同步采样开关时，脉冲传递函数是不相同的。（1）串联环节间无采样开关（图8-8）。由图8-8可见

D(s)=R*(s)G1(s) Y(s)=D(s)G2(s) Y(s)=R*(s)G1(s)G2(s)对Y(s)取离散化，并由采样拉氏变换的性质得

Y*(s)=R*(s)[G1G2(s)]*取Z变换，得

Y(z)=R(z)G1G2(z)上一页下一页返回8.4线性离散系统数学模型即

G(z)=G1G2(z) （8-1）式（8-1）表明，当两个串联环节之间没有采样开关隔开时的脉冲传递函数，等于这两个环节传递函数乘积后的Z变换，该结论可以推广到n个环节串联时的情况，即

G(z)=Z[G1(s)G2(s)…Gn(s)] =G1G2…Gn(z)（2）串联环节之间有采样开关（图8-9）。由脉冲传递函数的定义得

D(z)=R(z)G1(z) Y(z)=D(z)G2(z)上一页下一页返回8.4线性离散系统数学模型所以 Y(z)=R(z)G1(z)G2(z) G(z)=G1(z)G2(z) （8-2）式（8-2）表明，当两个串联环节之间有采样开关隔开时，对应的脉冲传递函数等于这两个环节传递函数之积，该结论可以推广到同步采样开关隔开的n个环节串联时的情况，即

G(z)=Z[G1(s)]Z[G2(s)]…Z[Gn(s)]=G1(z)G2(z)…Gn(z)通常，串联环节间有无同步采样开关隔离，得到的脉冲传递函数是不一样的，即

G1G2(z)≠G1(z)G2(z)不同之处在于零点不同，而极点是相同的。例8.2设开环离散系统分别如图8-8、图8-9所示，其中G1(s)=1/s，G2(s)= 。分别求其开环系统的脉冲传递函数。上一页下一页返回8.4线性离散系统数学模型解：①对图8-8所示的开环离散系统有

G(z)=G1G2(z)=Z[G1(s)G2(s)]= = =②对图8-9所示的开环离散系统有

G(z)=G1(z)G2(z)=Z[G1(s)]Z[G2(s)]= =显然G1G2(z)≠G1(z)G2(z)上一页下一页返回8.4线性离散系统数学模型2.串联零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数开环离散系统中经常有零阶保持器与环节串联的情况，其结构如图8-10所示。零阶保持器与环节之间无采样开关相隔，Gh(s)为零阶保持器的脉冲传递函数，Gp(s)为连续部分的传递函数。由于Gh(s)不是s的有理分式，可以将结构进行等效，如图8-11所示。

G(z)=Z[Gh(s)Gp(s)]= =令G1(z)=Z[Gp(s)/s] G(z)=G1(z)–z-1G1(z)=(1-z-1)G1(z)所以，具有零阶保持器的开环系统得脉冲传递函数为

G(z)=(1-z-1)G1(z)上一页下一页返回8.4线性离散系统数学模型例8.3设系统如图8-10所示，与零阶保持器Gh(s)串联的环节为Gp(s)= 。其中k，a为常量。求系统总的脉冲传递函数。解：G(z)=(1-z-1)Z =(1-z-1)Z =(1-z-1)Z =由此例可以看出，Gp(s)是二阶的，具有零阶保持器的脉冲传递函数也是二阶的。零阶保持器不会增加开环脉冲传递函数分母多项式的阶数。上一页下一页返回8.4线性离散系统数学模型3.闭环系统的脉冲传递函数闭环系统可能有一个或几个采样开关，并且采样开关可以放置在不同的位置上，因此闭环离散系统的结构形式是多种多样的。图8-12是一种比较常见的结构。由图8-12可得如下关系式

Y(s)=E*(s)G1(s)G2(s) B(s)=Y(s)H(s) E(s)=R(s)-B(s)由以上各式可求得

E(s)=R(s)-G1(s)G2(s)H(s)E*(s) （8-3）对式（8-3）取Z变换得

E(z)=Z[R(s)-G1(s)G2(s)H(s)E*(s)] =R(z)-G1G2(z)H(z)E(z)上一页下一页返回8.4线性离散系统数学模型所以

E(z)=

Y(z)=由此可得出闭环离散系统对于输入量的误差脉冲传递函数为

= =闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数为

= =上一页下一页返回8.4线性离散系统数学模型对应的闭环离散系统的特征方程为

1+G1G2(z)H(z)=0通过以上方法，可以推导出采样开关处于不同位置时其他闭环系统的脉冲传递函数。但是，如果偏差信号不是以离散信号的形式输入到前向通道的第一个环节，则一般写不出闭环脉冲传递函数，只能写出输出的Z变换的表达式。此时令分母多项式为零就可以得到特征方程。例8.4设闭环离散系统结构如图8-13所示，试求输出采样信号的Z变换函数。解：由图8-13可见

Y(s)=E(s)G(s) E(s)=R(s)-B(s) B(s)=H(s)Y*(s)上一页下一页返回8.4线性离散系统数学模型所以

Y(s)=[R(s)-H(s)Y*(s)]G(s)=R(s)G(s)-H(s)Y*(s)G(s)（8-4）对式（8-4）取离散化得

Y*(s)=[R(s)G(s)]*-[H(s)Y*(s)G(s)]*求Z变换得

Y(z)=RG(z)-HG(z)Y(z)整理得

Y(z)=由此可知，例8.4解不出 ，因此无法得到系统的脉冲传递函数，而只能得出输出采样信号的Z变换Y(z)，从而求得y*(t)，这在离散系统中是很常见的。表8-1所列为常见线性离散系统的框图及被控制信号的Z变换Y(z)。上一页返回8.5线性离散系统的稳定性与连续系统相同，稳定性是分析、设计离散系统的首要问题。在连续系统的稳定性讨论中，曾经介绍了劳斯判据、奈奎斯特判据等，由于z变换和拉普拉斯变换在数学上的联系，使我们有可能从s平面和z平面的关系中找出利用已经有的稳定性判据分析离散系统稳定性的方法。下一页返回8.5线性离散系统的稳定性8.5.1s平面到z平面的变换关系由z变换的定义可知 z=esTs域中的任意点为 s=σ+jω映射到z域则为

z=e(σ+jw)T=eσTejωT

=rejΩ即|z|=r=eσTargz=Ω=ωT由此可得到s→z平面之间的如下映射关系：s平面 z平面虚轴σ=0 r=1单位圆左半平面σ<0 r<1单位圆内右半平面σ>0 r>1单位圆外实轴ω=0 Ω

=0正实轴原点σ=0,ω=0 r=1,Ω=0,z=1点上一页下一页返回8.5线性离散系统的稳定性由s域与z域的映射关系可知：s左半平面影射为z平面的单位圆内，对应稳定区域；s右半平面映射为z平面的单位圆外，为不稳定区域；s平面的虚轴映射为z平面的单位圆上，对应临界稳定状态。因此可以类似于连续系统，得出z域线性离散系统稳定的充要条件是：当且仅当系统脉冲传递函数的特征方程的全部特征根均落在单位圆内时，系统是稳定的。例8.5一线性离散系统闭环脉冲传递函数是

=试判断系统的稳定性。上一页下一页返回8.5线性离散系统的稳定性解：该线性离散系统的特征方程为

=0特征根为 z1,2­=0.5±j0.618 = =0.795<1由于两个特征根z1、z2都落在z平面的单位圆内，所以该系统是稳定的。上一页下一页返回8.5线性离散系统的稳定性8.5.2劳斯稳定判据由例8.5可知，对于一个二阶系统，求特征根是比较容易的，但对于高阶系统，求特征根就相当麻烦。在线性连续系统中，一种简单的代数判据就是劳斯判据，而在z平面内不能直接将劳斯判据应用于以复变量z表示的特征方程，必须引入一个新的坐标变换，将z平面的稳定区域映射到新平面的左半平面，这时就可以使用劳斯判据了。根据复变函数双线性变换公式，引入下列变换

z

= 或称为ω变换。设wω=x+jy则

（8-5）上一页下一页返回8.5线性离散系统的稳定性由式（8-5）明显看出当x<0时，<1；当x>0时，>1；当x=0时，=1。经过上述变换，原来以z为变量的特征方程就变成了以ω为变量的代数方程，于是判断离散系统稳定性，就转化为判断以ω为变量的代数方程的根是否位于ω平面的左半平面的问题，这时就可以直接用劳斯判据进行判断。例8.6设闭环离散系统的结构如图8-14所示，采样周期 ，试求使系统稳定时k的取值范围。解：系统的开环脉冲传递函数为G(z)= = （8-6）上一页下一页返回8.5线性离散系统的稳定性（1）将T=0.1s代入式（8-6）得

G(z)=系统闭环传递函数为

= = 特征方程为

D(z)= =0 （8-7）作双线性变换得

z

=代入式（8-7）化简后得上一页下一页返回8.5线性离散系统的稳定性列劳斯表如下ω20.632k2.736-0.632kω11.264ω02.736-0.632k由劳斯表可知，系统稳定时必须满足故系统稳定的取值范围是0<k<4.33。（2）T=0.2s时

G(z)=作双线性变换z=变换后可得特征方程为上一页下一页返回8.5线性离散系统的稳定性列劳斯表如下ω20.865k2.27-0.865kω11.73ω02.27-0.865k系统稳定的取值范围是0<k<2.6。应当指出的是，在如图8-14所示系统中，如果没有采样开关，只要k>0，系统总是稳定的。但如果加入采样开关变为离散系统后，当k超过一定值时，将使系统变得不稳定。另一个值得注意的问题是，采样周期T是离散系统的重要参数。采样周期变化时，系统的开环脉冲传递函数、闭环脉冲传递函数和特征方程都将发生变化，因此系统的稳定性也将受到影响。一般情况下，缩短采样周期T可以使线性离散系统稳定性得到改善，使其在特性上更加接近相应的连续系统，而增大采样周期会使系统信息丢失增加，可能使系统变得不稳定。上一页返回8.6线性离散系统的时域分析8.6.1线性离散系统极点在分析线性连续系统时，我们知道闭环传递函数的零极点在s平面上的位置与输出量的瞬态特性有密切关系。对于离散系统，闭环脉冲传递函数的极点在z平面单位圆内和圆外的位置同样与瞬态特性有密切关系，决定了系统时域响应中瞬态响应各分量的类型。设系统的闭环脉冲传递函数为 ，n>m式中，M(z)为分子多项式；D(z)为分母多项式，是系统的特征多项式；zi是闭环系统的零点；pi是闭环系统的极点。下一页返回8.6线性离散系统的时域分析当系统输入为单位阶跃信号，即r(t)=1(t)，R(z)= 时，系统的输出为

Y(z)=R(z)(z)=当特征根为互异单根时 （8-8）对式（8-8）进行z反变换可得上一页下一页返回8.6线性离散系统的时域分析其中系统的瞬态分量为： 。极点pi在z平面的位置决定了系统瞬态响应分量的类型。下面分几种情况加以讨论。1.实数极点当闭环极点位于实轴上时，由极点pi给出的瞬态响应分量为（1）pi>1，极点在单位圆外正实轴上，y(k)为单调发散序列。（2）pi=1，极点在单位圆+1边界上，y(k)为等幅脉冲序列。（3）0<pi<1，极点在单位圆内正实轴上，y(k)为单调衰减序列。上一页下一页返回8.6线性离散系统的时域分析（4）-1<pi<0，极点在单位圆内负实轴上，y(k)为正负交替变号的衰减振荡过程。（5）pi=-1，极点在单位圆上-1边界上，y(k)为幅值不变的正负交替振荡过程。（6）pi<-1，极点在单位圆外负实轴上，y(k)为正负交替的发散振荡过程。2.共轭复数极点如果闭环脉冲传递函数中有共轭复数极点 ，则对应的瞬态响应分量为其中Ci及也是共轭复数对。设= ，则上一页下一页返回8.6线性离散系统的时域分析 =（1）<1，极点在单位圆内，y(k)为发散振荡脉冲序列。（2）=1，极点在单位圆上，y(k)为等幅振荡脉冲序列。（3）>1，极点在单位圆外，y(k)为衰减振荡脉冲序列。瞬态分量按振荡规律变化，振荡角频率与有关，越大，振荡角频率越高。综上所述，离散系统瞬态响应的特性决定于极点在z平面上的分布，极点越靠近原点，暂态响应衰减得越快，极点的相角越趋于零，暂态响应振荡频率越低。为使系统具有较满意的瞬态性能，其闭环极点最好分布在单位圆的正向部分，且尽量靠近原点。上一页下一页返回8.6线性离散系统的时域分析8.6.2线性离散系统的动态性能指标与连续系统一样，线性离散系统的过渡过程也用常用典型信号作用下系统的响应来衡量，通常使用的常用典型信号有单位阶跃信号、单位斜坡信号。但离散系统的过渡过程是指各采样时刻的离散信号，通常如果已知离散系统的数学模型（差分方程、脉冲传递函数等），通过递推计算及z变换法，可以求出典型输入作用下系统输出信号的脉冲序列y*(t)，从而更方便地分析系统的动态性能。例8.7一线性离散系统的闭环脉冲传递函数为输入信号r(t)=1(t)，采样周期T=1s，试分析系统的动态性能。上一页下一页返回8.6线性离散系统的时域分析解：r(t)=1(t)，R(z)=求出单位阶跃序列响应的z变换

=利用长除法，将Y(z)展成无穷级数形式由Z变换定义知，输出序列y(k)为图8-15单位阶跃响应y*(t)y(0)=0，y(T)=0.368，y(2T)=1，y(3T)=1.4，y(4T)=1.4，y(5T)

=1.147，y(6T)=0.895，y(7T)=0.802，…上一页下一页返回8.6线性离散系统的时域分析脉冲序列y*(t)为y*(t)=0.368d(t-T)+1·d(t-2T)+1.4d(t-3T)+1.4d(t-4T)+1.147d(t-5T)+0.895d(t-6T)+0.802(t-7T)+…给出单位阶跃响应y*(t)如图8-15所示。由图8-15求得系统的近似动态性能指标为：上升时间ts=2s，峰值时间tp=4s，调节时间ts=12s，最大超调量。由于所有的性能指标都是采样时刻的采样值，因此结果都是近似的。上一页下一页返回8.6线性离散系统的时域分析8.6.3线性离散系统的稳态误差在连续系统中，采用典型输入信号作用下，用系统响应的稳态误差来表征系统的稳态性能。离散系统与连续系统类似。离散系统稳态误差和系统本身及输入信号都有关系。在系统特性中起主要作用的是系统的类型及开环增益。研究系统的稳态精度，必须首先检验系统的稳定性，只有稳定的系统才存在稳态误差，在这种情况下，研究系统的稳态性能才有意义。稳态误差既可用级数的方法求取，也可用终值定理求取，终值定理方法较为简单，所以经常使用。离散系统误差信号的脉冲序列e*(t)反映在采样时刻，系统的希望输出与实际输出之差，通常采用稳态下，系统误差信号的脉冲序列表示离散系统的稳态误差，一般记为上一页下一页返回8.6线性离散系统的时域分析下面以单位负反馈离散系统为例，介绍利用终值定理求系统的稳态误差的方法。设闭环系统如图8-16所示，其中G(s)为连续部分的传递函数，e(t)为系统连续误差信号，e*(t)为系统采样误差信号，闭环系统误差传递函数为如果Φe(z)的极点全部位于Z平面上的单位圆内，即系统稳定，则利用终值定理求离散系统的稳态误差终值ess*(∞)。由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，所以对于误差脉冲传递函数也没有计算通式，因此必须按实际系统求出Φe(z)，然后利用终值定理求稳态误差ess*(∞)。上一页下一页返回8.6线性离散系统的时域分析8.6.4稳态误差系数连续系统中以开环传递函数G(s)所含s=0的开环极点个数γ作为划分系统类型的标准，分别把g=0、1、2系统称为0型、Ⅰ型、Ⅱ型。在z平面上与s=0极点相对应的是z=1的开环极点，因此在线性离散系统中，把开环脉冲传递函数G(z)具有z=1的开环极点个数γ作为划分离散系统类型的标准，即G(z)中γ=0、1、2，对应系统为0型、Ⅰ型、Ⅱ型离散系统。对于一个离散系统，其稳态误差系数定义如下。（1）稳态位置误差系数（2）稳态速度误差系数（3）稳态加速度误差系数上一页下一页返回8.6线性离散系统的时域分析下面讨论不同类型的单位负反馈离散系统在典型输入信号作用下的稳态误差终值。（1）单位阶跃响应的稳态误差终值。当系统的输入信号为单位阶跃信号r(t)=1(t)， 时，系统稳态误差终值为若G(z)在z=1的极点个数为0，则kp为有限值；若G(z)在z=1时的极点个数大于或等于1，则kp=∞，可见对0型系统kp≠∞，对于Ⅰ、Ⅱ型及以上系统，kp=∞。（2）单位斜坡响应的稳态误差终值。当系统的输入信号为单位斜坡信号r(t)=t，R(z)= 时，系统稳态误差终值上一页下一页返回8.6线性离散系统的时域分析若G(z)在z=1的极点个数为0，则kv=0；若G(z)在z=1的极点个数为1，则kv为有限值；若G(z)在z=1的极点个数大于或等于2，则kv=∞。可见在斜坡信号作用下，当