中农大设计与制图基础课件第09讲 直线、平面及平面体的相对位置

直线、平面的相对位置

直线与平面、平面与平面，直线、平面与平面体的相对位置关系主要有以下几种情况：1)平行关系：直线与平面平行两平面平行

2)相交关系：直线与平面相交两平面相交 平面与平面立体相交

3)垂直关系：直线与平面垂直两平面垂直

一、直线与平面平行定理:若平面外一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。§4－4平行关系

由于ef∥ad，e′f′∥a′d′，即EF∥AD，且AD是ABC平面上的一直线，所以，直线EF平行于ABC平面。例过已知点k，作一条水平线平行于△ABC平面步骤：1）在ABC平面内作

一水平线AD；2）过点K作

KM∥AD；3）直线KM

即为所求。d′dm′m*当直线与垂直于投影面的平面平行时，它们在该投影面上的投影也平行例试判断:

已知直线AB是否平行于四楞柱的侧表面SCF。作图步骤：1）作c

m

∥a

b

；2）根据CM在平面SCF内，作出cm；3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与AB平行的直线，所以直线AB不平行于四楞锥侧表面SCF。XHV二、平面与平面平行

两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行因为：AB∥DE，BC∥EF，所以：平面ABC和平面DEF相平行例3过K点作一平面，使其与平面ABC平行解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面作图步骤：2)作KD∥AC(k

d

∥a

c

,kd∥ac);a

cac

bb

k

kl

ld

dX1）作KL∥BC(k

l

∥b

c

,kl∥bc);3)平面KDL即为所求。一、直线与平面相交

§4－5相交关系1.1利用积聚性求交点

当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。

直线与平面不平行必然相交，交点是两者的共有点;平面不平面也会相交，交线为两平面的共有线;平面立体的情况可转化为前两种情况⑴平面为特殊位置例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析

平面ABC是一正垂面，其V投影积聚成一条直线，该直线与m

n

的交点即为K点的V投影。1)求交点（从属于直线）2)判别可见性由V投影可知，K

M

段在ABC面上方，故H投影上km为可见。*另可通过重影点判别可见性作图km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直线为特殊位置空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。1)求交点2)判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故线段k

2

为不可见。1

(2

)k

●1●●作图用面上取点法X2●直线EF为正垂线时例求直线MN与面P的交点解:平面P为铅垂面，PH有积聚性，故mn与PH的交点k即为交点K的H投影。k

由于交点K必在直线MN上，故可用在直线上取点的方法，由k求出k

。规定:在求用迹线表示的平面的交点和交线时，不必分辨可见性。k1.2平面直线都处于一般位置

直线与平面都处于一般位置时，可以利用辅助平面的方法求交点在平面内找到一条可以作出投影且过K点的直线DE当直线平面均为一般位置时，它们的H、V面投影可见性彼此独立例2求直线MN与四棱柱表面ABCD和ABEF的交点。解

ABCD为水平面，其V投影有积聚性；ABEF为铅垂面，其H投影有积聚性作图步骤：1）求m

n

与a

b

c

d

的交点k

根据k

在mn上,求得点k，则点K(k,k)就是MN与ABCD的交点2）求mn与abef的交点l

根据l在m

n

上,求得点l

，则点L(l,l)就是MN与ABEF的交点3）因直线MN穿通四棱柱，所以线段KL之间部分的投影均为不可见二、两平面相交2.1一般位置平面与特殊位置平面相交

在两平面之一有积聚性的情况下，可以在没有积聚性的那个平面上取两条直线，分别求这两条直线与有积聚性的那个平面的交点，则这两个交点的连线就是两平面的交线。例求一般位置平面ABC与铅垂面DEF的交线解由图可见，只要求出△ABC上的两条直线AB、AC和△DEF的交点M、N，就可以求得两平面的交线。作图步骤分辨可见性1）利用积聚性求AB与△DEF的交点M(m,m

)；2）利用积聚性求AC与△DEF的交点N(n,n

)；3）连接MN(mn,m

n

)就可得到两平面的交线重影点I在AB上，II在DF上。由图可见，点1在点2的前面，故b

m

为可见，m

l

不可见。由于过重影点的两线段的投影之可见性必不相同，因此可以确定其它各边的可见性。例求一般位置平面ABC与正垂面P的交线解

P平面为正垂面，可以利用PV的积聚性，直接求出交线的V投影m

n

，再由m

n

求得mn。由于P平面是用迹线表示的平面，故不需要判断其可见性2.2辅助平面法求两一般位置平面交线

线面交点法：即在一平面内取两直线，再利用一般位置线面求交，得交线上两点解

在EFG面内取两直线EF、EG分别与四边开ABCD求交可见性判别：

利用面ABCD边上的Ⅱ和EF上的Ⅰ的H面重影判断H面上的可见性利用面ABCD边上的Ⅲ和EF上的Ⅳ的V面重影判断V面上的可见性判断哪个投影面上的可见性，即在该投影面上取重影点三面共点法：在两一般位置平面轮廓不直接相交的情下可以作两个特殊位置第三平面来求两个三面共有点三、平面与平面体相交

平面与立体相交可以认为是立体被截切。所以此平面被称为截平面截平面与立体表面的交线称为截交线截交线的性质：1）截交线是平面的立体表面的共有线;2）截交线是由直线围成的平面封闭多边形。作图方法：先求出平面立体相关棱线与截平面的交点，然后依次连接成截交线例求垂面P与三棱柱表面的交线解求P平面与三棱柱表面的交线，只需要利用积聚性求出三条棱边AA1、AB、AC和P平面的交点D、E、F，然后将交点顺次连接即可。作图步骤：1）利用积聚性求直线AA1与P平面的交点D(d,d

,d

)；3）用同样的方法求出F(f,f

,f

)；4）顺序连接点D、E、F的同面投影，就可求得P平面与三棱柱表面的交线；2）利用积聚性求直线AB与P平面的交点E，其过程为先求e

，根据e

求出e

，再跟据e

求出e；例已知三棱锥SABC被铅垂面Q切去一角解

平面Q为铅垂面，只需利用积聚性求得Q平面与三棱锥三条棱边SA、AB、AC的交点D、E、F，然后将其顺序连接即可。作图步骤：1）求D、E、F得H投影d、e、f；2）由d、e、f求出d

、e

、f

；3）由e、f求出e

、f

；4）由d

求出d

；5）顺序连接D、E、F的同面投影即可。§4－6垂直关系一、线面垂直

若直线与平面垂直，则直线垂直于平面上的所有直线。反之，若直线垂直平面上的任意两相交直线，则直线垂直该平面

线面垂直，则此直线水平投影一定垂直于该平面上水平线的水平投影；直线的正面投影一定垂直于该平面上正平线的正面投影。 反之，若直线的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影，直线的水平投影垂直于平面上水平线的水平投影，则线面一定垂直推论： 若一直线垂直于一平面则该直线的各个投影必垂直于该平面的同面迹线，因为同面迹线平行于面内所有此投影面的平行线二、两平面垂直

若一平面通过另一平面的垂线，则两平面垂直。反之，若两平