江西上饶市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

高二数学座位号

考试时长：120分钟总分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.设全集为R,集合A={x|0<x<4},B={x|x≥2},则A∩(CB)=(▲)

A.{x|0<x<4}B.{x|0<x<2}c.{x|2≤x<4}D.{x|0<x≤2}

2.统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示.

α=P(x²≥k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

在检验A与B是否有关的过程中，根据已知数据计算得x²=5.213,则(▲)

A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为A与B有关

B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为A与B有关

C.有95%的把握认为A与B有关

D.有95%的把握认为A与B无关

3.已知函数f(x)满足,f(x)在x=1处的导数为(▲)

A.-1B.2C.1D.-2

4.f(x)是定义在R上且周期为3的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-3x,则f(1)=(▲)

A.-1B.-3C.1D.2

5.等差数列{a}中，前2m项和为104,其中奇数项之和为40,且am-a=21,则数列{an}公

差为(▲)

A.-3B.3C.4D.-4

6.已知函数若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(▲)

A.(一∞,0)B.[-3,0]C.[-3,3]D.(一00,—3]

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7.若数中的最大项是第k项，则k=(▲)

A.5B.6C.7D.8

8.已知函数f(x)=2x²+a,g(x)=x²e×,若对任意的x₂∈[-1,1],存在唯一的x₁∈[-1,2],

使得f(x₁)=g(x₂),则实数a的取值范围是(▲)

A.(e-8,-2)B.[e-8,0]c.[e-8,-2]D.(e-8,0)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.以下四个命题中，是真命题的有(▲)

A.若a<b<0,则a²<ab<b²

B.命题“三x≤1,x²-2*<0”的否定是“Vx>1,x²-2×≥0”

C.Vx∈R,x²-2x+3>0

D.“x>2”是“2<x<6”的必要不充分条件

10.等比数列{a。}的公比q≠1,a₁>0,3a₃=4a₂-a₁,记前n项和为S。,则(▲)

B.

C.(S₂-S。)²=S,(S₃π-S₂n)D.

11.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若,f(0)=1,则下列

结论正确的是(▲)

A.B.

C.方有两个解D.f(x)在区间上的最小值为1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.曲线在x=1处的切线方程为▲_·

13.已知实数x,y满足3x²+3y²-2xy=4,则x+y的最大值为▲_·

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14.在平面直角坐标系中，有一系列点A(a,b),A₂(a₂,b2),…,A,(a,b,),neN°,且所有的

点均在函数y=√x(x>0)的图象上，已知以点A,为圆心的⊙4,均与y轴相切，且⊙4,与

OAₙ,外切，a₀>a叫，若a₁=1,则{a}的通项公式为▲_·

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题13分)已知数列{a}满足a=3,a=2a,-1.

(1)证明{a,-1}是等比数列，并求{a,}的通项公式：

(2)设数列{b}满足b,=(2nπ-1)(a,-1),求{b,}的前n项和T.

16.(本小题15分)

(1)若f(x)在(2,+)上存在单调递增区间，求a的取值范围；

(2)当1≤a≤2时，f(x)在[1,4]上的最小值为,求f(x)在该区间上的最大值.

17.(本小题15分)上饶葛仙村度假区是依托葛仙山文化打造的国风特色文旅景区，融合了道教

文化、民俗体验与山水风光，是上饶文旅的重要名片之一。为精准掌握客流变化趋势，景区

统计了连续5个自然月的日均游客接待量，其中x表示月份编号(1代表第1个月),V表示

该月份日平均游客人数(单位：万人),统计数据如下表所示：

月份编号x12345

日平均参与人数y0.81.41.92.53.4

(1)计算样本相关系数，并推断它们的相关程度(相关系数大于0.75可判断相关程度强);

(2)由(1)所得结论，建立关于x的回归方程，并预测第6个月的日平均游客人数.

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附：①样本相关系数

②回归直线y=bx+a的斜率的最小二乘估计为

18.(本小题17分)已知函数f(x)=alnx-x²+(a+2)x(a∈R).

(1)当a=2时，求f(x)的极值；

函数h(x)=f(x)-g(x),

(i)若存在实数m,使得方程h(x)=m有两个不同的实数根，求a的取值范围；

(ii)若(i)中的方程h(x)=m有两个不同的实数根x₁,x₂,证明：

19.(本小题17分)有一款正方形四格闯关小游戏，四个关卡点位恰好构成正方形ABCD,玩家

从起点点位A开始闯关，只能在四个顶点点位之间沿边线随机移动。有的概率沿水平方向

左右移动到相邻点位，有的概率沿竖直方向上下移动到相邻点位，每一步移动相互独立。

设玩家移动2n(n∈N)步之后，恰好停在起点A的概率为pn·

(1)求p₁,P₂;

(2)求{pa)的通项公式；

(3)记该玩家前2n次移动中，到达过点B的次数为X,求E(X).

参考公式：若随机变量X,服从两点分布且P(X,=1)=p,,l≤i≤n,i∈N,,则

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高二数学参考答案

选择题

题号1234567891011

答案BCDABBCACDACDBCD

填空题

x+y-3=0

12.13.2V14.

1.答案：B.由题意可得：C&B={x|x<2},

结合交集的定义可得：A∩(CRB)={x|0<x<2}.

2.答案：C.因为x²=5.213,所以3.841<x²<6.635,

所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为A与B有关或有95%的把握认为A与B有关.

3.答案：D.f'(x)=2xf'(1)+2,f'(1)=2f'(1)+2→f'(1)=-2.

4.答案：A.由题知f(x)=f(-x),f(x+3)=f(x)对一切x∈R成立，

于是f(1)=f(-1)=f(2)=5-6=-1.

5.答案：B.由题意得，奇数项的和a+a₃+…+a₂m-1=40,偶数项的和a₂+a₄+…+a₂m=64,

∴40+md=64,得md=24,am-a₁=(m-1)d=md-d=24-d=21,解得：d=3.

6.答案：B.由y=|f(x)|的图象知，

①当x>0时，只有a≤0时才能满足|f(x)|≥ax.

②当x≤0时，y=|f(x)=|-x²+3x|=x²-3x.故由|f(x)≥ax,得x²-3x≥ax.

当x=0时，不等式为0≥0成立；

当x<0时，不等式等价为x-3≤a.∵x-3<-3,∴a≥-3,

综上可知，a∈[-3,0].

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7.答案：C.贝

于是4(n+1)(n+6)-5n(n+5)=-n²+3n+24令-n²+3n+24>0,则n<7

时递增，同理n≥7时递减，故n=7是最大项，即k=7.

8.答案：A.由g(x)=x²e×可得g'(x)=2xeˣ+x²e×=x(x+2)e×,

当-1<x<0时，g'(x)<0;当0<x<1时，g'(x)>0;

所以g(x)=x²e在(-1,0)单调递减，在(0,1单调递增，

所以g(x)min=g(0)=0,,g(1)=e,

所以g(x)=x²e在[-1,1]上的值域为[0,e],记A=[0,e],

f(x)=2x²+a,的对称轴为x=0,f(0)=a,f(2)=a+8,

所以函数f(x)的值域为[a,a+8],

又f(-1)=a+2,且f(x)=2x²+a,在(1,2)上单调递增，

要使方程f(x)=y有唯一解，则9的取值集合为{a}(a+2,a+8),

所以f(x)∈{a}[a+2,a+8],记B={a}U(a+2,a+8),

若对任意的x₂∈[-1,1],存在唯一的x₁∈[-1,2],使得f(x₁)=g(x₂),

则ACB,所以,解得e-8≤a<-2,

所以实数a的取值范围是(e-8,-2).

二、多选题

9.答案：CD.

对于A,若a<b<0,则a²-ab=a(a-b)>0,ab-b²=b(a-b)>0,即a²>ab>b²,故A错误；

对于B,命题“3x≤1,x²-2×<0”的否定是“Vx≤1,x²-2×≥0”.故B错误；

对于C,因为x²-2x+3=(x-1)²+2>0,

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所以Vx∈R,x²-2x+3>0为真命题，故C正确；

对于D,因为{x|2<x<63是{x|x>2}的真子集，

所以“x>2”是“2<x<6”的必要不充分条件，故D正确.

10.答案：ACD.

等比数列a=a₁q”-¹,代入3a₃=4a₂-a₁解得：或q=1(舍去),选项A正确；

由等比数列前n项和公式得：因为所即

,选项B错误；

由等比数列知当Sn≠0时，则Sn,S₂n-Sn,S3n-S₂成等比数列，等比中项满足：

(S₂n-Sπ)²=Sn(S₃n-S₂m),选项C正确；

,选项D正确.

11.答案：BCD.

故,选项A错误；

设g(x)=x-sinx,g'(x)=1-cosx≥0恒成立，故函数单调递增，g(0)=0,

当x<0时，x<sinx,当x>0时，x>sinx,

故当x<0时，F'(x)<0,当x>0时，F'(x)>0,

函数F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

故F(0)<F(-1),即,即,选项B正确；

,则

设r(x)=1-cOsx-x+sinx,

则当x≥π时，r(x)=(1-x)+(sinx-cosx)<(1-π)+2<0;

当x≤0时，sinx≥x,且1-cosx≥0,故r(x)≥0;

答案第3页，共9页

当0<x<π时，

当.时，r'(x)>0,r(x)单调递增，当时，r'(x)<0,r(x)单调递减，

又r(0)=0,r(π)=2-π<0,,使得r(x)=0,

即当x∈(0,x₀)时，r(x)>0,当x∈(x₀,π)时，r(x)<0;

综上：

当x∈(-∞,x₀)时，r(x)≥0,即h(x)≥0,h(x)单调递增；

当x∈(x₀,+∞)时，r(x)<0,即h(x)<0,h(x)单调递减，

h(0)=0,当x<0时，h(x)<h(0)=0,当x>0时，x>sinx,h(x)>0,

且当x趋于正无穷时，h(x)趋于0,又

方有两个解，即方程.有两个解，选项C正确；

由可得f(x)=eˣ·F(x),f'(x)=e[F(x)+F'(x)],

令(x)=F(x)+F'(x),

由以上分析可知，当时，r(x)>0,即z'(x)>0,u(x)单调递增，

u(x)>u(0)=F(0)+F'(0)=1,f'(x)>0,故f(x)在区间上单调递增，即有最小值为f(0)=1

选项D正确.

12.答案：x+y-3=0.

函数.,求导得,则k=f'(1)=-1,切点(1,2),

由点斜式得切线方程为y-2=-1(x-1),整理得x+y-3=0.

13.答案：2.

答案第4页，共9页

4=3x²+3y²-2xy≥3(x²+y²)-(x²+y²)=2(x²+y²)≥(x+D)²,

即x+y≤2,(当且仅当x=y=1,取等号)

14.答案：

由点A,(a,b)在函数y=√x(x>0)的图象上，

得bₙ=√a,

而⊙A与y轴相切，则⊙A,的半径r=an,

同理可得，b=√a+,O4+1的半径+=a+,

由于OA与OA₄+外切，所以4A+|=rn+P+,

则√(a,-a,²+(√2,-k2;)=4,+4m,

即a²-2a„am++a²+(√an-√a)²=a²+2aa+1+a+,

则(√a,-√am)²=4a,a,

因为a,>a₄+1>0,所以√a-√%+1=2√a√a+,则

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

则

15.(1)证明：由am+1=2a-1得aπ-1=2(aₙ-1),又因为q-1=2,

所以,所以{a-1}是首项为2,公比为2的等比数列：---------------------------(4分)

所以a-1=2”,解得a=2”+1.---------------------------------------(6分)

(2)解：b=(2n-1)(a,-1)=(2n-1)2”,n∈N,-----------------------------------(7分)

又Tₙ=1×2+3×2²+…+(2n-1)2”,

答案第5页，共9页

则2Tₙ=1×2²+3×2³+…+(2n-1)2*4+------------------------(·9分)

两式相减得-Tₙ=2+2×2²+…+2·2”-(2n-1)2"+!,------------------------(11分)

化简得：Tn=(2n-3)2"+¹+6.---------------------------------(13分)

16.解：(1)已知，,∴f'(x)=-x²+2x+3a,----------------(2分)

f(x)在(2,+0)上存在单调递增区间，即导函数在(2,+∞)上存在函数值大于零的部分，

∴f'(2)=-4+4+3a>0→a>0----------------------------------------(6分)

(2)已知1≤a≤2,f(x)在[1,4]上的最小值为,而f'(x)=-x²+2x+3a在[1,4]上单调递减且

f'(1)=1+3a>0,f'(4)=-8+3a<0,------------------------------------(8分)

则有且只有一个x₀∈[1,4],使得f'(x₀)=0,

此时函数f(x)在[1,x₀]上单调递增，在[xo,4]单调递减，-----------------------(10分)

又∵

--------------------------------------------------(12分)

此时，由f'(x₀)=-xo²+2x+3=0→xo=3或₀=-1(舍去),

∴f(x)max=f(3)=9.------------------------------------------------------(15分)

17.解：(1)因为x=3,y=2,------------------------------------------(2分)

------------------------(5分)

所以y与x的线性相关程度强；-----------------------------------------------(7分)

(可利用“p>0.75”或“"接近1”判断相关程度强)

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(2)设=bx+a,则---------------(9分)

â=y-bx=2-0.63×3=0.1--------------------------------------------(11分)

所以=0.63x+0.11,----------------------------------------------------(12分)

故x=6时，Î=0.63×6+0.11=3.89,

即第6个月的日平均参与人数约为3.89万人.-------------------------------------(15分)

18.解：(1)由题意知f(x)=2lnx-x²+4x,求导

当0<x<1+√2时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x>1+√2时，f'(x)<0,f(x)单调递减.

故f(x)的极大值为f(1+√2)=21n(1+√2)+2√2+1,无极小值.---------------6分)

(2)(i)

贝---------------------(7分)

若a≤0,则h(x)>0,h(x)单调递增，方程h(x)=m不存在两个不同的实数根，不符合题意.

--------------------------------------------------------------------------------(8分)

若a>0,则当时，h(x)>0,h(x)单调递增：当时，h(x)<0,h(x)单调递减；

此时存在实数m,使得方程h(x)=m有两个不同的实数根----------------------------(10分)

所以a的取值范围为(0,+0)----------------------------------------------(11分)

(ii)由(i)可知a>0,不妨设由h(x)=m有两个不同的实数根，得

因此有

整理得.--------------------------------------------(12分)

答案第7页，共9页

所以m(t)在(1,+∞)上单调递减，所以m(t)<m(1)=0.----------------------------------(16分)

则--------------------------------------------