四川省成都市2025-2026学年高二下学期定时练习数学含答案

工作秘密严禁外传

擅自泄露严肃追责

2024级高二下学期定时练习

数学

本卷满分150分，练习时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在本卷上答题无效。

5.定时练习结束后，只将答题卡交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.抛物线x²=—8y的准线方程为

A.x=-2B.y=-2C.x=2D.y=2

2.在等比数列{an}中，a₃=-2,a₆=4,则ag=

A.—8B.—6C.6D.8

3.设n∈N°,(1+x)”的展开式中x²的系数为15,则n=

A.4B.5C.6D.7

4.如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁与B₁C的交点为P,则A₁P=

A

CD

5.已知随机变量X～N(2,o²),且P(1<X<3)=0.6,则P(X<1)=

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

数学试题第1页(共4页)

6.三所友好学校的师生分别在周一、周二和周三来校访问.现有3名教师和3名学生作为志

愿者负责接待，每天安排教师和学生各1人，每人安排一天，其中教师甲不能安排在周一，

则不同的安排方法共有

A.12种B.18种C.24种D.30种

7.设椭的右顶点为A,上顶点为B,若直线AB与圆

相切，则该椭圆的离心率为

ABCD

8.已知函数f(x)=e+a—3x+b,若f(x)≥0对x∈R恒成立，则的最小值为

C

A.e³B.3eD

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知函数f(x)=x—sinx,则

A.f(x)是奇函数B.f(x+2π)=f(x)+f(2π)

C.f(x)恰有3个零点D.Vx>1,f(x)>f(2—x)

10.长时间使用电子产品会一定程度影响视力.据调查，某校学生有40%的人近视，而该校有

20%的学生每天使用电子产品的时间超过1h,这些人的近视率为50%.则该校

A.既近视又每天使用电子产品的时间超过1h的学生有15%

B.近视但每天使用电子产品的时间不超过1h的学生有30%

C.近视的学生中每天使用电子产品的时间不超过1h的有75%

D.不近视的学生中每天使用电子产品的时间超过1h的有20%

11.已知数列{an}满且a₁=1,则

A.6是数列{an}中的项B是递增数列

C.{an+1-an}是等差数列D.能被15整除

数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数f(x)=x³—3x(0≤x≤2)的最小值为

13.在等差数列{an}中，公差d≠0,前n项和为Sπ.若S₁₅=5(a₄+a₆+ak),则k=

14.设X表示n次独立重复试验中随机事件A发生的次数.已知E(X)=2.4,D(X)=1.92,

则n=.;变量eA=k·P(X=k)表示X=k对E(X)的贡献值，当e:最大时，k=._·

四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

如图，两个正方形ABCD,ABEF所在平面互相垂直，M,N分别是AC和BF的中点.

(1)证明：MN//平面BCE;

(2)求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值.

16.(本小题满分15分)

已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a₁=b₁=1.设{bn}的前n项和为S,且S₂=a₂,

S₃=a₄.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)若数列的前n项和T,<λ对任意n∈N“都成立，求整数λ的最小值.

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17.(本小题满分15分)

已知双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点为F(4,0),一条渐近线为l:y=√3x.

(1)求C的方程；

(2)设C的左顶点为A,点P在l上，且|PA|=|PF|.

①求△APF的外接圆的标准方程；

②设直线AP与C交于另一点B,求∠ABF的大小.

18.(本小题满分17分)

盒中现有5个乒乓球，其中2个是新球，另外3个是旧球.每次训练时从盒中随机取出2

个球使用，训练结束后将球全部放回盒中，新球使用后即为旧球.

(1)第一次训练前5个乒乓球随机排成一列，求2个新球不相邻的概率；

(2)设第一次训练时取出新球的个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望；

(3)求第二次训练结束后，盒中至少还有1个新球的概率.

19.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=xlnx-ax²+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,已知l在y轴

上的截距为a.

(1)求b的值；

(2)若x+f(x)<1恒成立，求a的取值范围；

(3)若函数f(x)存在最大值，求a的取值范围.

数学试题第4页(共4页)

2024级高二下学期定时练习

数学试题参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.D;2.A;3.C;4.B;5.B;6.C;7.A;8.D

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.

9.ABD;10.BC;11.ACD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.—2;13.14;14.12;3.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.

15.解：(1)连结AE,因为ABEF为正方形，且N是BF的中点，

所以N也是AE的中点.……2分

又M是AC的中点，所以MN//CE.……4分

又因为MNC平面BCE,CEC平面BCE,

所以MN//平面BCE.……6分

(2)以B为原点，分别以BA,BE,BC所在直线为x轴，yx

轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,0,2),

F(2,2,0),M(1,0,1),N(1,1,0).……7分

故AČ=(—2,0,2),BF=(2,2,0),MN=(0,1,—1).

设平面AMN的法向量m=(x,y,x),由,得

取z=1,得平面AMN的一个法向量m=(1,1,1).……9分

设平面BMN的法向量n=(x,y,z),由得

取y=1,得平面BCC₁D₁的一个法向量n=(-1,1,1).……11分

故……12分

所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值为……13分

16.解：(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q.

由b₁=a₁=1及S₂=az,得1+q=1+d,即q=d.……1分

由b₁=a₁=1及S₃=a4,得1+q+q²=1+3d,即3d=q+q².……2分

数学参考答案第1页(共4页)

将d=q代入，得2q=q².因为q≠0,所以q=2,故d=2.……4分

所以数列{an}的通项公式为an=2n—1.……5分

数列{bπ}的通项公式为bπ=2”-¹,其中n∈N°.……6分

(2)因,所以……7分

……8分

两式错位相减，……9分

……11分

故……12分

所以Tn<6(n∈N°).……13分

又,故λ≥6……14分

所以整数λ的最小值为6.……15分

17.解：(1)由已知，得a²+b²=42,.……2分

解得a=2,b=2√3.故C的方程……4分

(2)①由已知，A(-2,0).由P|A|=|PF|知，点P在线段AF的中垂线x=1上.

又点P在l:y=√3x上，联立解得P(1,√3).……6分

易知△APF的外接圆圆心M也在线段AF的中垂线x=1上.

设N(1,0),连接PN并延长PN交△APF的外接圆M于Q,连接QF.

在Rt△PFQ中，PF⊥QF,且FN⊥PQ.由射影定理有

|PF|²=|PN|·|PQ|=|PN|·2|PM|.即12=√3·2|PM|.

解得|PM|=2√3,故M(1,—√3).……8分

所以△APF的外接圆的标准方程为(x-1)²+(y+√3)²=12.……10分

②直线AP的斜率,故其方程为x=√3y-2.……11分

,得3(√3y-2)²-y²=12,解得舍去).……12分

故,所以

……13分

故直线PB的斜率……14分

因为,所以∠ABF=90°.……15分

数学参考答案第2页(共4页)

18.解：(1)设样本空间为Ω,事件D=“2个新球不相邻”.

因为n(Ω)=A5=120,……1分

且n(D)=A³A²=72,……3分

……5分

(2)由题意，X=0,1,2.

……6分

……7分

X012……8分

P0.30.60.1

所以X的分布列为(见右表)……9分

故随机变量X的期望E(X)=0×0.3+1×0.6+2×0.1=0.8.……11分

(3)法一：设事件A,B:分别表示“第一、二次训练时取到i个新球，i=0,1,2”,事件

C表示“第二次训练结束后，盒中至少还有1个新球”,则C=A₀B₀+A₁B₀+A₀B₁.

……12分

P(A₀B₀)=P(A₀)·P(A₀B₀|A。)=0.3²=0.09;……13分

……14分

……15分

因为A。Bo,A₁Bo,A₀B₁互斥，所以P(C)=0.09+0.36+0.18=0.63.……17分

法二：设事件A,B:分别表示“第一、二次训练时取到i个新球，i=0,1,2”,事件C表示

“第二次训练结束后，盒中全是旧球”,则C=A₀B₂+A₁B₁+A₂.……12分

因为P(A。)=P(X=0)=0.3,P(A₀B₂|A。)=P(X=2)=0.1.

所以P(A₀B₂)=P(A。)·P(A₀B₂|A₀)=0.3×0.1=0.03.……13分

因为

所以P(A₁B₁)=P(A₁)·P(A₁B₁|A₁)=P(X=1)×0.4=0.6×0.4=0.24.

……14分

又P(A₂)=P(X=2)=0.1.

由全概率公式得，P(C)=0.03+0.24+0.1=0.37.……15分

因为“第二次训练结束后，盒中至少还有1个新球”为C的对立事件C,所以P(C)=1-P(C)

=1—0.37=0.63,即为所求.……17分

数学参考答案第3页(共4页)

19.解：(1)求导，得f'(x)=1+lnx-2ax,故f'(1)=1-2a.……1分

因为f(1)=b—a,所以切线l的方程为y-b+a=(1-2a)(x-1).……2分

令x=0,得l在y轴上的截距y=a+b-1.……3分

由已知，a+b—1=a,解得b=1.……4分

(2)因为x>0,所以x+f(x)<1等价于……5分

设函数,则……6分

当0<x<1时，g'(x)>0;当x>1时，g'(x)<0.……7分

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。……8分

故g(x)的最大值为g(1)=1.……9分

所以a的取值范围是(1,+∞).……10分

(3)①当a≤0时，因为f'(x)在(0,+∞)上单调递