2025-2026学年上海市静安区风华中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市静安区风华中学高一（上）期中数学试卷考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、填空题（共10题，每题4分，共40分）1．已知集合，，，，用列举法表示．2．设，，则．3．函数的定义域为．4．已知指数函数的图像经过，则．5．化简：．6．的解集为．7．设，，则不等式，同时成立的充分必要条件是．8．满足，，，，的集合有个．9．定义满足“如果，，那么，，且时，”的集合为闭集，说明“是闭集”是假命题的一个反例可以是．10．如果方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，那么实数的取值范围是．二、选择题（共3题，每题4分，共12分）11．已知实数、，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（）A． B． C． D．12．“”是“不等式对一切实数恒成立”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件13．关于函数且，有下列结论：①函数的定义域为；②函数的图像有且仅有两个定点；③当时，函数在区间上是严格增函数；④当时，函数的最小值为．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（共5题，共48分）14．设全集，已知集合，．（1）用区间写出这两个集合；（2）求和．15．用三角不等式求解下列问题：（1）求函数的最小值，并写出等号成立的条件；（2）已知函数，证明：，并写出等号成立的条件．16．已知集合，，若，求实数的取值范围．17．已知幂函数．（1）求的解析式；（2）①若图像不经过坐标原点，写出函数在哪个区间上是严格增函数，哪个区间上是严格减函数；②若图像经过坐标原点，解不等式．18．对于实数，定义符号表示不大于的最大整数，例如：，，．（1）根据定义作出函数和在，的大致图像；（2）当时，求表达式的最小值及取到最小值时的取值范围；（3）求下列方程的解集：①；②．

参考答案一、填空题（共10题，每题4分，共40分）1．已知集合，，，，用列举法表示，．解：因为集合，，，，所以，．故答案为：，．2．设，，则3．解：，可得，所以．故答案为：3．3．函数的定义域为，，．解：函数，令，解得且，则函数的定义域为，，．故答案为：，，．4．已知指数函数的图像经过，则．解：设且，因为的图像经过，则，解得，所以．故答案为：．5．化简：．解：根据根式的意义可得，原式．故答案为：．6．的解集为，，．解：对于，即，解得；对于，即，解得或；所以不等式的解集为，，．故答案为：，，．7．设，，则不等式，同时成立的充分必要条件是．解：充分性：时，显然成立，必要性：当，且，则，所以，故答案为：．8．满足，，，，的集合有15个．解：因为，，，，，所以集合一定含元素，可能含，，，，且，所以的个数即集合，，，的非空子集的个数，所以满足条件的集合的个数为：．故答案为：15．9．定义满足“如果，，那么，，且时，”的集合为闭集，说明“是闭集”是假命题的一个反例可以是，（答案不唯一，符合题意即可）．解：为整数集，例如，，则，，但，可知“是闭集”是假命题．故答案为：，（答案不唯一，符合题意即可）．10．如果方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，那么实数的取值范围是．解：设的两根分别为，，首先△，得，因为三个根可以作为一个三角形的三条边的长，所以，，由韦达定理得，，所以把两边平方，得，即，解得，所以实数的取值范围为．故答案为：．二、选择题（共3题，每题4分，共12分）11．已知实数、，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（）A． B． C． D．解：对于选项，取，则，故错误；对于选项，，当且仅当，即时取等号，而，因此等号不能取到，故错误；对于选项，取，，则，故错误；对于选项，，则，故正确．故选：．12．“”是“不等式对一切实数恒成立”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件解：若不等式对一切实数恒成立，当时，可得，符合题意；当时，可得，解得；综上，实数的取值范围为，所以“”是“不等式对一切实数恒成立”的充分非必要条件．故选：．13．关于函数且，有下列结论：①函数的定义域为；②函数的图像有且仅有两个定点；③当时，函数在区间上是严格增函数；④当时，函数的最小值为．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：因为，对于①：显然，故①错误；对于②：因为，则，当且仅当，即时，等号成立．由于只有时的值才能与参数无关，但，所以是不可能的，所以函数的图象上不存在与参数无关的定点，故②错误；对于③：当，，则，因为在内单调递减，且在定义域内单调递减，所以函数在区间上是严格增函数，故③正确；对于④：因为，当且仅当时，等号成立，若，则在定义域内单调递增，可得，当且仅当时，等号成立，所以函数的最小值为，故④正确．故选：．三、解答题（共5题，共48分）14．设全集，已知集合，．（1）用区间写出这两个集合；（2）求和．解：（1）由可得或，所以，，；由可得，解得或，所以，，．（2）由（1）可知：，，，，，，则，所以，．15．用三角不等式求解下列问题：（1）求函数的最小值，并写出等号成立的条件；（2）已知函数，证明：，并写出等号成立的条件．解：（1）函数的定义域为，，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为，此时．（2）函数的定义域为，，当且仅当，即时取等号，而当时，，当且仅当时取等号，所以，当且时取等号．16．已知集合，，若，求实数的取值范围．解：因为，则，而，当时，△，解得；当时，设方程的两个根分别为，，则，要满足题意，只需，解得，所以实数的取值范围是．17．已知幂函数．（1）求的解析式；（2）①若图像不经过坐标原点，写出函数在哪个区间上是严格增函数，哪个区间上是严格减函数；②若图像经过坐标原点，解不等式．解：（1）因为为幂函数，所以，解得或2，故或．（2）或，①若图像不经过坐标原点，则，所以的严格单调递减区间为，，无严格递增区间；②若图像经过坐标原点，则，由可得，解得，所以原不等式的解集为．18．对于实数，定义符号表示不大于的最大整数，例如：，，．（1）根据定义作出函数和在，的大致图像；（2）当时，求表达式的最小值及取到最小值时的取值范围；（3）求下列方程的解集：①；②．解：（1）由于，，那么，因此在，的大致图像如图所示：且，因此在，的大致图像如图所示：（2）由于，且，可得，又由于，当且仅当，即，时，等号成立，因此的最小值为8，此时的取值范围为，．（3）对于①：，可得，若，那么，可得，解得；若，那么，不合题意；