极坐标与直角坐标的互化

极坐标与直角坐标的互化第一页，共36页。【自主预习】极坐标与直角坐标的互化公式如图所示,把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y),(ρ,θ).第二页，共36页。ρcosθρsinθx2+y2第三页，共36页。【即时小测】1.极坐标系中,点(1,π)的直角坐标为(

)A.(1,0)

B.(-1,0)C.(0,1) D.(0,-1)第四页，共36页。【解析】选B.由公式

得

所以点(1,π)对应的点的直角坐标为(-1,0).第五页，共36页。2.在直角坐标系中,点(2016,-2016)的极坐标为________(ρ>0,0≤θ<2π).第六页，共36页。【解析】在直角坐标系中,点(2016,-2016)到原点(极点)的距离为2016,极角θ=+2kπ,k∈Z,因为0≤θ<2π,所以θ=.所以点(2016,-2016)的极坐标为.答案:第七页，共36页。【知识探究】探究点极坐标和直角坐标的互化1.点与极坐标是一一对应的吗?第八页，共36页。提示:在直角坐标系和极坐标系中,点M与直角坐标(x,y)是一一对应的,点M与极坐标(ρ,θ)不是一一对应的,即点M的极坐标不唯一.第九页，共36页。2.将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么?第十页，共36页。提示:将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式分别计算极径和极角,求极角时先计算[0,2π)内的角θ0,再表示为θ0+2kπ,k∈Z.第十一页，共36页。类型一点的极坐标与直角坐标的转化【典例】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,ρ≥0,θ∈R完成下列各题:(1)将极坐标M化为直角坐标.(2)将直角坐标N(-2016,2016)化为极坐标.第十二页，共36页。【解析】(1)将点M的极坐标代入公式

所以点的直角坐标为(-3,-3).第十三页，共36页。(2)由点的直角坐标N(-2016,2016)与公式

且θ的终边经过点N(-2016,2016),所以θ=,所以点N的极坐标为,k∈Z.第十四页，共36页。【方法技巧】极坐标与直角坐标互化的策略(1)点的直角坐标化为极坐标的注意事项.化点的直角坐标为极坐标时,一般取ρ≥0,θ∈[0,2π),即θ取最小正角,由tanθ=(x≠0)求θ时,必须根据角θ的终边经过点(x,y)所在的象限来确定θ的值.第十五页，共36页。(2)掌握特殊角的三角函数值,还需要掌握一些常用的三角变换公式,如半角公式第十六页，共36页。【变式训练】1.(2016·绵阳高二检测)将点M的极坐标化成直角坐标是(

)A.(-1,-1) B.(1,1)C.(1,) D.(,1)第十七页，共36页。【解析】选C.由公式所以(1,)即为所求.第十八页，共36页。2.若已知极坐标平面内的点P,求点P关于极点对称的点的极坐标及直角坐标.第十九页，共36页。【解析】点P关于极点的对称点P′到极点的距离仍为2,即ρ=2.又P与P′的极角间相差π+2kπ,k∈Z,故θ=-+π+2kπ,k∈Z,故P′的极坐标可以为,第二十页，共36页。由x=2cos=-1,y=2sin=-,故点P′的直角坐标为(-1,-).第二十一页，共36页。类型二极坐标与直角坐标转化的应用【典例】已知A,B两点的极坐标为求线段AB中点的直角坐标.第二十二页，共36页。【解析】因为A点的极坐标为所以所以A(3,),同理可得B(-4,).设线段AB的中点为M(m,n),由线段的中点坐标公式可得第二十三页，共36页。所以线段AB中点的直角坐标为第二十四页，共36页。【解析】方法一:因为A,B两点的极坐标为

故A,B两点在一条直线上,且到极点的距离分别为6,8,故AB中点到极点的距离为1,且在线段OB上,故AB中点的极坐标为

第二十五页，共36页。方法二:因为线段AB中点的直角坐标为故因为AB中点在第三象限,故故中点的极坐标为第二十六页，共36页。2.试求直线AB的方程.第二十七页，共36页。【解析】因为A点的极坐标为所以所以A(3,),又因为直线AB的倾斜角为故斜率故直线AB的方程为即第二十八页，共36页。【方法技巧】应用点的极坐标与直角坐标互化的策略在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时,若不方便利用极坐标直接解决,可先将极坐标化为直角坐标,利用直角坐标系中的公式、性质解决,再转化成极坐标系中的问题即可.第二十九页，共36页。【变式训练】1.若点M的极坐标为则点M关于y轴对称点的极坐标为________.第三十页，共36页。【解析】点M的极坐标为所以点M的直角坐标为所以点M关于y轴对称点的直角坐标为由

又点(-3,-3)位于第三象限.第三十一页，共36页。故则所求点的极坐标为答案:第三十二页，共36页。2.在极坐标系中,已知求|AB|.第三十三页，共36页。【解析】由点A的极坐标为

可得点A的直角坐标为

同理点B的直角坐标为(2,-2),则|AB|=第三十四页，共36页。【归纳总结】1.直角坐标与极坐标的关系三角函数是点的直角坐