中科大CAD技术应用课件03几何构型与几何变换

第三章几何构型与几何变换一、概述1.几何构型的基本概念

内部模型：存放在计算机系统内进行各种处理的几何模型。

外部模型：实际中存在的或是设计人员构思的几何模型。两者关系：以内部模型模拟外部模型。两者之间完全相符是理想状态，但实际上做不到，很多情况下也无必要完全相同。

几何构型：研究如何将空间形体以计算机能够理解的形式定义，应用适当的数据结构对形状定义进行描述。以文件的形式存放在计算机中，要求尽可能真实、全面、准确地描述空间形体，并可通过不同的处理或运算产生各种所需的信息，为设计、制造阶段所运用。

点、线、面、体是构造空间形体的基本元素。目前CAD系统中最常用的几何模型有线架(框)模型、表面模型，实体模型。2.三维形体的几何模型。(1)线架(框)模型用点、线、线框表示实际的三维形体。其数据结构主要描述每一构架棱边，通常包括顶点的坐标与编号；各棱边起点、终点的编号。特点：为最简单的几何模型，所占内存少，易于处理，应用十分广泛。缺点：虽然描述了实际形体表面不连续处的准确信息，但几乎不包含实际形体表面的信息及内部特征信息，对实际形体的描述不完全，对它的理解有时也会产生歧义。(a)(c)(b)例如下面三个模型是不同的。但它们的线架模型却相同。线架模型不能作为工程分析时用的几何模型，也不能用于数控加工，通常用于图形处理。(2)表面模型表面模型是比线架模型更为复杂的几何模型，可以在线架模型的基础上定义表面生成，也可以通过定义多个截面用导线生成如下面图例所示。表面模型的数据结构在线架模型的基础上增加了面的有关信息，其中表面特征码用于表示面的类型，如可以用特征码“0”表示平面，特征码“1”表示球面等，同时每条棱边还用向量表示，表面的有形部分定义在有向棱边的左边，见下面图例。特点：消除了线架模型上许多模糊的地方，更为精确地定义了实际形体的形状，如较为精确地描述了表面形状及结构的范围，可以作为数控加工中的几何模型。缺点：由于不包含实际形体内部特征信息，很多工程分析无法进行，如有限元分析等。(3)实体模型目前CAD系统中最高水平的几何模型，其数据结构在表面模型的基础上又增加了实体的内部特征信息，如材料类型、体积、重心、质量、惯性矩、惯性积等。特点：最为全面地描述了实际形体，可以通过剖切了解其内部结构，可以进行各种工程分析和数控加工分析。缺点：占用内存大，其数据结构及相应算法十分复杂，通常处理速度要慢得多。(4)实体模型构造法建立一个实体模型主要有两种方法：边界法：确定实体模型边界，采用拓扑变形方法产生实体模型。体素法：下面介绍。体素法：就是在系统中预置若干种简单几何形状的实体基本元素，如立方体、球体、圆柱体等，称之为体素，再利用这些体素进行联接、去除、拼合等手段组合成复杂的实体模型。也可以用一个简单的数学公式表示：V=G，OP

V：待构造的实体模型G：基本体素集合G=Gij

OP：布尔运算符的集合，

OP={∪(并)∩(交)－(差)C(补)}下面以一个实例说明这一过程。ac=a

bE=c∪dbd:复制c并旋转90°3.几何变换的基本概念(1)几何变换的基本问题：研究不同的几何变换所遵循的法则、变换的形式、性质。(2)基本图形变换：缩放、旋转、平移。(3)几何变换的实质是点的坐标变换，通常采用线性代数中矩阵计算来求解。4.二维几何变换图形是空间点的集合，图形的几何变换实质就是点集中点的坐标变换，为此在研究图形的几何变换之前，先讨论平面图形几何变换中的点的坐标变换。(1)点的坐标变换二维空间中的点P可用向量(x，y)表示。设A，B，T均为矩阵且满足：AT=B当A为一个点或一组点的坐标矩阵，T为变换矩阵时，则上面运算完成了一次几何变换，B为变换的结果也是坐标矩阵。下面分析某点P与一个2×2阶变换矩阵相乘会产生什么结果。点P(x，y)通过上面变换而产生了一个新点P'(x'，y')，且x'=ax+by,y'=dx+ey下面分几种情况分析变换的意义：

当a=e=1b=d=0时显然当为单位矩阵时，P点位置不变。

当e=1，d=b=0时此时p'的x坐标分量按比例变化，而y坐标分量不变，变化情况如下图。p"pp'0yx···

当d=b=0时又可以分以下几种情况讨论：有当a=e＞1时，

p点坐标以原点为中心放大当0＜a=e＜1时，

p点坐标以原点为中心缩小等比例变换

当a或e中一个为–1而另一个为1时，则产生镜面变换，变化情况如下图：p'p

y

0

y

0

p'p

x

当a和e均为–1时，则产生中心反射变换。如下图所示：p'p

y

x

0

当时，将产生旋转变换。此时，P点绕原点旋转

角且当

＞0时，逆时针方向旋转，当

＜0时顺时针方向旋转，示意图如下：yx

pp'0以上分析中已介绍了缩放，旋转变换，但尚未解决平移变换的问题，科学家已证明在变换矩阵为2×2时是无法解决平移变换的。为了解决这一问题有必要引入齐次坐标及齐次变换的概念。(2)齐次坐标变换2×2阶变换矩阵无法解决点的平移问题是因为在变换矩阵中无法引入平移参数i、j，使P(x,y)点在平移后变为P'(x+iy+j)。为此须改造变换矩阵变为3×2阶矩阵，即i：x方向的平移参数j：y方向的平移参数即完美地解决P点的平移问题。相应地P点坐标矩阵也要改为(x,y,1)。由：象这种以三维向量表示二维向量或以n+1维向量表示n维向量的方法称为齐次坐标表示法，以齐次坐标为基础的几何变换称为齐次坐标变换。按以上思路我们还可改变变换矩阵T为3×3的满秩的矩阵(所谓满秩的矩阵，即该矩阵的行列式之值不为0)则可以增加更多的变换功解。此时T为：①③②④可以把T分割成4个分块子矩阵，其中每一个子矩阵可以完成不同的变换。①为2×2阶子矩阵，使图形产生比例、旋转、反射变换。②为2×1阶子矩阵，使图形产生透视变换。③为1×2阶子矩阵，使图形产生平移变换。④为1×1阶子矩阵，使图形产生全比例变换。S一般取值为1。(3)二维图形的几何变换任一图形均可视为一组特征点的集合。因此二维图形的几何变换，就是该点集的坐标变换。下面只介绍几种常见的变换矩阵。①图形以原点为中心的缩放k＞1

放大0＜k＜1

缩小②图形以原点为中心的旋转变换0

逆时针方向旋转0顺时针方向旋转

③图形的拉伸压缩图形的拉伸压缩为图形缩放的一个特例。即使图形沿某一方向缩放，而另一方向尺寸不变，这是一种畸变，在工程中应用较少，但在一些特定场合可以解决问题。沿x方向变形：k＞1

拉伸0＜k＜1

压缩沿y方向变形：k＞1

拉伸0＜k＜1

压缩下面以模型人为例说明拉伸、压缩变形的应用。④图形的对称变换下面介绍的图形对称变换是相对于x轴、y轴和原点的相对于x轴：相对于y轴：相对于原点：⑤图形的平移变换：相对于原点的位移量(4)组合变换前面提及任一复杂的图形变换都可分解为由三种基本变换组合而成，我们可以通过逐次实施基本变换达到目的。设要对某点P(x,y)进行三次基本变换完成一次组合变换，且各次变换的矩阵为T1、T2、T3。则可以P1=P·T1P2=P1·T2P*

=P2·T3也可以：T=T1·T2·T3P*

=P·T要注意的是矩阵乘法无交换律即：T1·T2≠

T2·T1因此变换的次序不能改变。下面再以一个实际例子介绍组合变换。已知△ABC的顶点的坐标为A(3,0)B(0,2)C(2,6)将此三角形绕D点(-2,1)逆时针方向旋转30°并坐标缩小为原来的1/2，求新的△A'B'C'顶点的坐标。A(3,0)(0,2)BC(2,6)D(-2,1)xy·o解：分析：D点不是原点首先必须平移坐标系到D点，再绕D点旋转30°并以D点为中心缩小1/2，再平移坐标系到原先的原点，为此要执行一次平移、一次旋转、一次缩放、一次平移共4个基本变换，过程如下：①平移：②旋转：③缩放④返回原坐标系(平移)：所以：A'为(0.415,1.817)B'为(-1.384,1.933)C'为(-1.518,4.165)5.三维坐标变换1）三维坐标变换的矩阵表达式P:(xyz1)也可以类似地把T分割成4个分块子矩阵，各子矩阵的变换功能类似于二维情况。下面介绍三维图形的三种基本变换矩阵①平移变换：②缩放变换a、e、q分别表示x、y、z轴方向的缩放系数。当a=e=q时为等比例变换，应用最多。当a、e、q相等，绝对值为1时，有可能产生对称变换。(以坐标平面为对称面)当a=e=q=-1时将产生中心反射。③围绕坐标轴旋转

角的变换。

绕X轴旋转

x角。

绕Y轴旋转

y角。

绕Z轴旋转

z角。2)绕空间任意轴的旋转变换这也是一个组合变换，其基本思路是首先实施一系列基本变换，使空间任意轴成为新坐标系中的Z轴，再使图形在新坐标系下绕Z轴旋转

角，然后通过逆变换再返回原坐标系。设点P(xyz)绕空间任意轴o1o2旋转

角，求旋转后P'的坐标。o1(x1y1z1)o2(x2y2z2)oyxzx'y'z'o1abcxyo2①将原坐标系o－xyz平移到o1点。P1=P·T1②新坐标系o1－x'y'z'先后绕o1x'o