2.1.2两条直线平行和垂直的判定+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.2两条直线平行和垂直的判定1.

能根据斜率判定两条直线平行或垂直（数学运算、逻辑推理）.2.

能应用两条直线平行或垂直解决有关问题（数学运算、逻辑推理）.课标要求探究新知

学探究新知

学【知识梳理】对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔

⁠

⁠.

提醒：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都

存在；②l1与l2不重合.（2）k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合（斜率存在）；

（3）l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在.k1＝k2

【例1】判断下列直线l1与l2是否平行：（1）l1经过点E（－1，2），F（－1，5），l2经过点P（0，－2），Q（0，5）；解：由题意知，l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.

（3）l1经过点E（0，1），F（－2，－1），l2经过点G（3，4），H（2，3）.

训练1

（1）（2025·云浮月考）若过点A（m＋1，0），B（－5，m）

的直线与过点C（－4，3），D（0，5）的直线平行，则m＝

⁠；

－2（2）（链接教材P56例3）已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，

1），Q（－1，2），求证：四边形ABPQ为梯形.

问题2

（1）平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的

方向向量分别为a＝（1，k1），b＝（1，k2），当两条直线互相垂直时，

其斜率有什么关系？提示：由l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1.（2）当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为多少度？

其斜率存在吗？提示：如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l2的倾

斜角为90°，其斜率不存在.l1⊥l2⇔k1k2=–1.【知识梳理】如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于

⁠

；反之，如果两条直线的斜率之积等于

，那么它们互相垂直，

即l1⊥l2⇔

⁠.

提醒：（1）l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在；

（2）当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直

线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.－

1

－1

k1k2＝－1

【例2】根据下列给定的条件，分别判断直线l1与l2是否垂直：（1）l1经过点A（1，3），B（－1，－1），l2经过点C（2，1），D（4，0）；

（2）l1经过点E（－1，3），F（－1，－5），l2经过点G（2，4），H（－1，4）；解：由题意知，l1的斜率不存在，l2的斜率为0，故两条直线互相垂直.

（4）l1经过点P（2，

－1），Q（3，4），l2经过点R（5，2），S（0，1）.

训练2

（1）（2025·洛阳月考）直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的

两根，则l1与l2的位置关系是（

）A.

平行B.

重合C.

相交但不垂直D.

垂直解析：

设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l1，l2的斜率是方程x2

－3x－1＝0的两根，∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2.故选D.

√（2）已知△ABC的顶点为A（5，－1），B（1，1），C（2，m），若

△ABC为直角三角形，求m的值.

【例3】（2025·济南质检）已知A（－4，3），B（2，5），C（6，3），D（－3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形

ABCD的形状.

【规律方法】利用两直线平行或垂直来判定图形形状的步骤训练3

（2025·福州月考）已知▱ABCD中，A（1，2），B（5，0），C（3，4）.（1）求点D的坐标；

（2）试判断▱ABCD是否为菱形？

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.

（

×

）

（3）若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行.

（

√

）2.

过点A（2，5）和点B（－4，5）的直线与直线y＝3的位置关系是

（

）A.

相交B.

平行C.

重合D.

以上都不对解析：易知两直线斜率都为0且不重合，所以两直线平行.××√√3.

已知三角形三个顶点的坐标分别为A（4，2），B（1，－2），C（－2，4），则BC边上的高的斜率为（

）A.2B.

－2

√4.

根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行或垂直：（1）l1经过点A（2，1），B（－3，5），l2经过点C（3，－3），D（8，－7）；

1.

下列说法正确的是（

）A.

若l1∥l2，则k1＝k2B.

若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C.

若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2D.

只有斜率相等的两条直线才平行解析：

对于A，若直线l1∥l2，则直线的倾斜角相等，但斜率不一定存

在，所以A错误；对于B，当一条直线与x轴垂直时，斜率不存在，所以B

错误；对于C，由两直线平行得倾斜角一定相等，所以C正确；对于D，斜

率不存在的两直线也平行，所以D错误.123456789101112131415√2.

已知直线l1经过A（2，7），B（3，8）两点，且直线l2⊥l1，则直线l2

的倾斜角为（

）A.30°B.45°C.135°D.150°

√123456789101112131415

A.

平行或重合B.

平行C.

垂直D.

重合

√1234567891011121314154.

已知两点M（2，2）和N（5，－2），点P在x轴上，且∠MPN为直

角，则点P的坐标为（

）A.

（1，0）B.

（6，0）C.

（1，0）或（6，0）D.

不存在

√1234567891011121314155.

已知点A（m，3），B（2m，m＋4），C（m＋1，2），D（1，

0），且直线AB与直线CD平行，则m的值为（

）A.

－1B.0C.0或1D.

－1或0

√1234567891011121314156.

〔多选〕设平面内四点P（－4，2），Q（6，－4），R（12，6），S

（2，12），下面四个结论正确的是（

）A.

PQ∥SRB.

PQ⊥PSC.

PS∥QSD.

PR⊥QS√√√

1234567891011121314157.

〔多选〕已知点A（0，2），B（－1，0），下列结论正确的是（

）A.

若直线l的方向向量为（1，1），则l∥ABC.

若C（1，－1），则△ABC为直角三角形D.

若C（1，－1），D（3，3），则四边形ABCD是平行四边形√√123456789101112131415

1234567891011121314158.

若点A（－1，2），B（3，－4）关于直线l对称，则直线l的斜率

为

⁠.

1234567891011121314159.

（2025·许昌月考）已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k

＋m＝0的两实数根，若l1∥l2，则m＝

；若l1⊥l2，则m＝

⁠.

2－212345678910111213141510.

当m为何值时，过两点A（1，1），B（2m2＋1，m－2）的直线：（1）倾斜角为135°；

（2）与过两点（3，2），（0，－7）的直线垂直；

（3）与过两点（2，－3），（－4，9）的直线平行.

123456789101112131415

11.

已知点A（－2，2），B（6，4），H（5，2），H是△ABC的垂心，

则点C的坐标为（

）A.

（6，2）B.

（－2，2）C.

（－4，－2）D.

（6，－2）√123456789101112131415

12345678910111213141512.

〔多选〕如图所示，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，

1），B（3，0）为顶点构造平行四边形，下列各点中能作为平行四边形顶

点坐标的是（

）A.

（－3，1）B.

（4，1）C.

（－2，1）D.

（2，－1）√√√解析：如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.

根据平行四边形的性质，可知选项B、C、D中的点分别是点C1，C2，C3的坐标.12345678910111213141513.

已知两点A（2，0），B（3，4），直线l过点B，交y轴于点C（0，

y），O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，那么y的值是