2.3.1两条直线的交点坐标+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.1两条直线的交点坐标【知识梳理】

l1

l2

知识点一两条直线的交点坐标【例1】（链接教材P70例1）两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11

＝0的交点坐标为（

）A.

（3，2）B.

（2，3）C.

（－2，－3）D.

（－3，－2）

√训练1

（1）已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M

（1，1），则a＋b＝

⁠；

－1（2）已知三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一

点，则m的值为

⁠.

提示：l1与l2相交⇔方程组有唯一解；l1与l2平行⇔方程组无解；l1与l2重合⇔方程组有无数个解.知识点二两条直线位置关系的判断【知识梳理】方程解的个数与两条直线的位置关系直线位置关系方程组的解方程系数关系l1与l2相交

⁠

⁠l1与l2平行

⁠

⁠l1与l2重合无数个解

⁠有唯一解A1B2≠A2B1无解A1B2＝A2B1，且A1C2≠A2C1A1B2＝A2B1，且A1C2＝A2C1【例2】（链接教材P71例2）判断下列各对直线的位置关系.如果直线相

交，求出交点的坐标：（1）l1：2x－y＝7和l2：3x－4y＝18；

（2）l1：2x－3y＋6＝0和l2：4x－6y＋1＝0；

【规律方法】判断两条直线位置关系的方法（1）判断两条直线的位置关系，关键是看两条直线的方程组成的方程组

的解的情况；（2）利用方程系数的关系进行判断；（3）利用直线的斜率进行判断：①当k1≠k2时，l1与l2相交.当两直线

斜率都不存在时，两直线平行或重合.当一条直线斜率存在而另一条直

线斜率不存在时，两直线相交；②当k1＝k2时，不能判断两直线平行，

还可能重合.训练2

（1）（2025·镇江月考）下列直线中，与直线x＋y－1＝0相交的

是（

D

）A.

2x＋2y＝6B.

x＋y＝0C.

y＝－x－3D.

y＝x－1解析：直线x＋y－1＝0的斜率为－1，选项A，B，C中的直线斜率均为－

1，只有D选项中的直线的斜率为1，所以两直线相交，故选D.

D

4【例3】求证：不论m为何值，直线（m＋3）x＋（2m＋1）y＝9m－3恒

过一个定点.角度1

定点的求解法二

直线方程可变形为（3x＋y＋3）＋m（x＋2y－9）＝0.∵对任意m该方程恒成立，

故直线恒过点（－3，6）.【规律方法】解直线恒过定点问题的策略（1）将方程化为点斜式y－y0＝k（x－x0），其中k为参数，求得直线恒

过定点（x0，y0）；（2）赋值法：因为参数可取任意实数，所以给参数任取两次值，得到

关于x，y的二元一次方程组，解方程组可得x，y的值，即为直线过的

定点；（3）分离参数法：将方程变形，把x，y作为参数的系数，即有参数的放

在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意参数的值都成立，所以需

系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点.角度2

过定点的直线系问题【例4】

（2025·河源月考）求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的

交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程.

变式

本例中若将“平行”改为“垂直”，其他条件不变，如何求解？

【规律方法】过两条直线交点的直线方程的求法（1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合

其他条件写出直线方程；（2）特殊解法（直线系法）：先设出过两条直线交点的直线系方程，再

结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.

提醒：过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的

直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不包括直线

A2x＋B2y＋C2＝0）.训练3

（1）直线l经过点（1，2），且经过直线2x＋3y＋8＝0与x－y－

1＝0的交点，则直线l的方程为（

）A.

2x＋y＝0B.

2x－y＝0C.

x＋2y＝0D.

x－2y＝0解析：

设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ（x－y－1）＝0，即（2＋

λ）x＋（3－λ）y＋8－λ＝0.因为l过点（1，2），所以（2＋λ）＋2

（3－λ）＋8－λ＝0，解得λ＝8.则直线l的方程为2x－y＝0.故选B.

√

1.

直线l1：x－y＝5与l2：3x－2y＝12的交点在（

）A.

第一象限B.

第二象限C.

第三象限D.

第四象限

√2.

直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k＝

（

）A.

－24B.24C.6D.

±6

√3.

（2025·焦作月考）直线（a－1）x－y＋2a＋1＝0恒过定点

⁠.

（－2，3）

4.

分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点坐标：（1）l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3；

（2）l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0.

1.

已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点

是（

）

123456789101112131415√2.

下列直线中与直线2x－y－3＝0相交的是（

）A.

2ax－ay＋6＝0（a≠0）B.

y＝2xC.

2x－y＋5＝0D.

2x＋y－3＝0解析：选项B、C中的直线与直线2x－y－3＝0平行；当a≠0时，选项A中的直线的斜率为2，与直线2x－y－3＝0也平行，只有与选项D中直线相交.√1234567891011121314153.

（2025·枣庄质检）已知方程kx－y－1＝3k，当实数k变化时，方程表

示的所有直线经过的定点坐标为（

）A.

（0，0）B.

（0，1）C.

（3，1）D.

（3，－1）解析：将直线方程化为y＋1＝k（x－3），可得直线过定点（3，－1）.√1234567891011121314154.

直线x＋a2y＋6＝0和（a－2）x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为

（

）A.

－1或2B.0或3C.

－1或0D.

－1或3

√1234567891011121314155.

过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方

程为（

）A.

3x－19y＝0B.

3x＋19y＝0C.19x＋3y＝0D.19x－3y＝0

√1234567891011121314156.

〔多选〕已知两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点

在y轴上，那么m的值为（

）A.

－24B.6C.

－6D.0√√

1234567891011121314157.

〔多选〕已知直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0，则下列说法

正确的是（

）A.

l1的倾斜角是锐角B.

l1与l2的交点坐标是（－1，4）D.

过l1与l2的交点与l1垂直的直线方程为x－3y＋13＝0√√√123456789101112131415

1234567891011121314158.

已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点（1，

m），则m＝

⁠.解析：由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.又点（1，m）在直线上，

所以a＋2m－1＝0，所以m＝－2.－21234567891011121314159.

已知直线l1：mx－y＋m－1＝0与射线l2：x－y－2＝0（x≥0）恒有

公共点，则m的取值范围是

⁠.

[－1，1）12345678910111213141510.

已知两直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.

求：（1）过点P与Q（1，4）的直线方程；

123456789101112131415（2）过点P且与直线x－3y－1＝0平行的直线方程.解：结合（1）中所设的方程①，由两直线平行，得－3（m＋1）＝2－2m，且2m－6≠－（m＋1），得m＝－5，所以所求直线的方程为－4x＋12y－16＝0，即x－3y＋4＝0.123456789101112131415

11.

已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线x＋2y－4＝0的交点在第四象限，

则实数k的取值范围为（

）A.

（－6，2）√123456789101112131415

12345678910111213141512.

（2025·广州月考）已知直线y－1＝k（x－1）恒过定点A，且点A在

直线mx＋ny－2＝0（m＞0，n＞0）上，则mn的最大值为

⁠.

112345678910111213141513.

（2025·周口月考）已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.

若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则满足条件的实数a

＝