2.3.3 点到直线的距离公式（十四大题型）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（解析版）

.3.3点到直线的距离公式题型一求点到直线的距离1．已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（

）A．0 B． C．0或 D．或【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出．【详解】由题意可得，即，解得或故选：D.2．在平面直角坐标系中，已知点在直线上，EQ\*jc0\*hps12\o(\s\up11(→),PQ)=(1,0)，则|EQ\*jc0\*hps12\o(\s\up11(→),PQ)|的最小值为．【答案】【分析】设点坐标，由向量求得点坐标，由点横纵坐标的关系得到其轨迹方程，由点到直线的距离求得的最小值.【详解】设，∵EQ\*jc0\*hps12\o(\s\up11(→),PQ)=(1,0)，∴，∵，即点在直线上，当时，最小，.故答案为：3．已知△ABC的三个顶点为，，，D为的中点.(1)求边上中线所在直线的方程；(2)求边上的垂直平分线所在直线的方程；(3)求△ABC的面积.【答案】(1)；(2)；(3)17.【分析】（1）求出点的坐标及直线斜率，再利用直线的点斜式方程求解.（2）求出直线的斜率，再利用垂直关系及直线的点斜式方程求解.（3）求出点到直线的距离及边长，进而求出三角形面积.【详解】（1）依题意，点，直线斜率，方程为，所以边上中线所在直线的方程为.（2）直线的斜率，边的垂直平分线斜率为，直线方程为，即，所以边上的垂直平分线所在直线的方程为.（3）由（2）得直线的方程为，即，点到直线的距离，而，所以△ABC的面积.题型二直线围成图形的面积问题4．直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直线与x轴的交点M坐标，直线与y轴的交点N坐标，及直线和的交点P坐标，则可求和由两点式可得直线MN的方程为，即可求P点到直线MN的距离，即可求【详解】直线与x轴的交点为，直线与y轴的交点为，则．如图所示：则由两点式可得直线MN的方程为，即，由解得，此为两直线的交点，根据点到直线的距离公式可得P点到直线MN的距离为，故．故选：B5．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为．【答案】6【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可．【详解】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,可得，解得，即，则，且直线，联立的方程得，解得，即的交点坐标为，则点到直线的距离，所以这三条直线围成的三角形面积为．故答案为：6．6．已知直线方程为，其中.(1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值；(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值.【答案】(1)(2)4.【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论．（2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值．【详解】（1）直线方程为即为，由可得则已知直线恒过定点，所以到直线的最大距离为.（2）设直线的斜率为，则其方程为，可得，，则.由，可得，所以，当且仅当，即时取等号.所以△AOB的面积的最小值是4.题型三已知点到直线的距离求参数7．已知点到直线的距离为，则等于（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】由点到直线的距离公式，即得解【详解】由点到直线的距离公式得，即，又，所以．故选：B.8．已知，两点到直线的距离相等，则.【答案】或【分析】利用点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】因为，两点到直线的距离相等，所以有或，解得或.故答案为：或9．在平面直角坐标系中，已知三个顶点、、.(1)求边所在直线的方程.(2)若边上高所在的直线方程为，且△ABC的面积为，求点的坐标.【答案】(1)(2)或【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程；（2）求出，结合三角形的面积公式可求出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式以及点在直线可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标.【详解】（1）由题意可知，直线的斜率为，所以直线的方程为，即.（2）因为边上高所在的直线方程为，则①，设点到直线的距离为，且，因为，可得，由点到直线的距离公式可得，故②，所以或，解得或，故点的坐标为或.题型四求到两点距离相等的直线方程10．已知两点和到直线距离相等，则值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出．【解答】两点和到直线距离相等，，解得，或．故选：B．11．若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为．【答案】或【分析】解法1：设出直线方程，利用两点到直线的距离相等，列出方程并求解，需要根据斜率是否存在进行讨论；解法2：由题意数形结合，可推得直线或直线经过线段的中点，分别求解即可．【详解】解法1：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即．由题意知，解得．故直线的方程为．综上所述，直线的方程为或．解法2：如图，当时，，的方程为，即．当直线经过线段的中点时，又直线过点，故其方程为.综上所述，直线的方程为或．故答案为：或.

12．已知△ABC的三个顶点是，，．(1)求边上的高所在直线的方程；(2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程；（2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解.【详解】（1）因为，所以边上的高所在直线的斜率为．由于直线过点，所以的直线方程为，即．（2）因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或过线段的中点．①当直线与平行时，因为，且过点，所以的直线方程为，即．②直线过线段的中点时，有，所以的直线方程为，即．综上所述：直线方程为或．题型五求点关于直线的对称点13．点关于直线对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】设对称点的坐标为，由题意可得，得，所以对称点的坐标为.故选：C.14．若点与点关于直线对称，则的坐标为.【答案】【分析】由两点关于直线的性质可求得的坐标.【详解】设，则，解得.所以的坐标为.故答案为：15．已知两直线.(1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；(2)已知两点，动点在直线上运动，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用过两直线交点的直线系求解；（2）求出点关于直线的对称点，则即为所求.【详解】（1）设所求直线方程为，即，由其与直线垂直可得，解得，所以所求直线方程为，化简得：.（2）因为，所以两点在直线同侧，由已知可知，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，因为，所以，当且仅当动点位于与交点时取等号，所以的最小值为.题型六求两点的对称轴16．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求.【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且，所以直线的斜率为，又因为线段的中点为，所以直线的方程为，整理可得.故选：C.17．点与点关于直线l：对称，则的值为．【答案】【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值.【详解】因为，故，而的中点为，故，所以，所以，故答案为：.18．如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离．【答案】【分析】利用点与关于直线对称，求直线的方程，再与直线方程联立，求点的坐标，即可求点到的距离.【详解】以为原点，边所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为，所以．连接，因为点与点对称，所以．当时，直线的斜率不存在，此时直线的方程为，点到的距离为．当时，．因为的中点为，从而直线的方程为，即．①又直线的方程为，②由①②解得，即点的横坐标为，所以点到距离为.当时也满足上式．所以点到距离为.题型七光线反射问题（2）——直线关于直线对称19．如图所示，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（

）A． B．6 C． D．【答案】A【分析】根据对称性求得正确答案.【详解】点关于轴的对称点为，直线的方程为，斜率为，设点关于对称点为，则，解得，即点关于对称点为，与的距离为，所以光线所经过的路程是.故选：A20．一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为．【答案】【分析】先设点B的对称点，应用对称性得出对称点，再应用点斜式得出直线方程.【详解】设关于直线的对称点，所以，所以，所以，由题意知：入射光线所在的直线经过和，而斜率，所以入射光线所在的直线方程为．故答案为：．21．已知点，直线.(1)求过点，且与直线垂直的直线的方程；(2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程.【答案】(1)：(2)【分析】（1）设直线：，将点代入直线，即可解出答案；（2）先求出点关于直线的对称点，再由两点式写出反射光线.【详解】（1）因为直线垂直于直线，直线所以设直线：，将点代入直线：，所以直线：.（2）设点关于直线的对称点为，则所以，所以反射光线:，化简得：.题型八坐标法的应用——点到直线的距离22．与点之间的距离为2，且在轴上的截距为4的直线是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】结合各选项中直线解析式，应用点线距、直线与轴交点即可得到正确选项.【详解】与的距离为2，在轴上的截距为4，故符合要求；对于直线，有且时，故也符合要求；与的距离为3且轴无交点，不符合要求.∴、都是与点距离为2且在轴上的截距为4的直线.故选：C【点睛】本题考查了点线距离公式及直线的截距，属于简单题.23．已知点在直线上,则的最小值为.【答案】4【分析】据题意可知，表示原点到直线上的点的距离，求出原点到直线的距离为4，从而可得出的最小值．【详解】根据题意知，表示原点到直线上的点的距离，大于等于原点到直线的距离，原点到直线的距离为，，的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查点到直线的距离、两点间的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意几何意义的应用.24．在△ABC中，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且．(1)求AD的长；(2)求角的平分线与直线的交点坐标．【答案】(1)(2)．【分析】（1）设，由边BC的中点在轴上，点在轴上，可得D坐标，据此可得答案；（2）设角的平分线与直线的交点为，由到直线AB，BC的距离相等，验证后可得答案.【详解】（1）设，因为边BC的中点在轴上，所以，解得．因为点在轴上，且，所以，解得．所以，所以．则．（2）设角的平分线与直线的交点为，则易知．直线BC的方程为，即．直线AB的方程为，即．由到直线AB，BC的距离相等，可得，即．即，解得或．则交点可能为或，将坐标代入，，可得，将坐标代入，，可得，则在BC，AB之间满足题意，在BC，AB同侧，不满足题意.所以角的平分线与直线的交点坐标为．题型九求平行线间的距离25．直线向左平移3个单位后，得到直线，若与的距离为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设直线的方程为，求出平移后直线的方法，利用平行线之间的距离可计算原直线的斜率．【详解】由题可知直线斜率存在，设直线的方程为，即，向左平移3个单位后，得到直线，即，所以两条直线间的距离，解得．故选：B．26．两直线与之间的距离为.【答案】【分析】根据平行线距离公式直接计算即可.【详解】两直线与之间的距离，即两条直线与之间的距离，为．故答案为：.27．已知直线的方程为.(1)若直线，且直线在轴上的截距为，求直线的方程；(2)若直线，且直线与直线之间的距离为3，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由垂直关系可得直线的斜率，结合斜截式方程求解即可；（2）利用平行关系可设直线的方程为，由两条平行线之间的距离公式求解即可.【详解】（1）由直线的斜率为，又由，可得直线的斜率为，

又由直线在轴上的截距为，可得直线过点，

可得直线的方程为，整理为.故直线的方程为.（2）由直线，可设直线的方程为，

又由直线与直线之间的距离为3，有，解得或-16.

故直线的方程为或.题型十由距离求已知直线的平行线28．已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（

）A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6【答案】D【分析】根据平行线间的距离公式即可求解.【详解】解：直线可化为，因为直线与直线间的距离为1，所以，解得或.故选：D29．已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为.【答案】或【分析】设与直线平行的直线的方程为，再根据两平行线距离公式求出的值即可求解.【详解】设与直线平行的直线的方程为，所以解得或.所以所求直线的方程为或.故答案为：或.30．已知直线.(1)若直线过点，且，求直线的方程；(2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程；（2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程.【详解】（1）易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为，又因为直线过点，所以，直线的方程为，即.（2）直线，设直线的方程为，因为直线与直线之间的距离为，由平行线间的距离公式可得，解得或，因此直线的方程为或.题型十一求关于平行直线对称的直线31．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解.【详解】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为.故选：A.【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.32．已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为．【答案】.【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为.【详解】由题意知，设直线，在直线上取点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，将代入的方程得，所以直线的方程为.故答案为：33．已知直线与.（1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离；（2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）的中点的运动轨迹为与、平行且在它们中间的直线得其斜率，再求两直线在y轴中点的坐标可得答案.

（2）设的直线方程，分别于、联立，解得交点坐标，再利用两点之间的距离公式可得斜率，然后根据点斜式方程求得答案.【详解】（1）因为、两点分别在直线、上运动，所以的中点的轨迹为与、平行且在它们中间的直线，设其方程为，、与y轴的交点分别为、，两点的中点为，且中点在直线，所以，所以，的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离，为.（2）过点且与x轴垂直的直线方程为，与、的交点为和，两点之间的距离为不符合题意，所以设的斜率为，直线方程为，由直线与即，交点为为，由直线与即，交点为（8k−204k+3，9−14k4k+3）所以两交点之间的距离为8k−204k+3−8k−5解得，或，所求直线方程为，或，即或.【点睛】本题考查两条直线的位置关系，两条平行直线之间的距离的问题.题型十二求直线关于点对称直线34．已知直线与直线关于点对称，则实数（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案.【详解】因为不在直线上，且直线与直线关于点对称，所以直线与直线平行，即，解得.在直线上取一点，关于点的对称点为,将代入直线，解得.故选：C35．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为.【答案】2【分析】根据直线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.【详解】由于直线与直线关于点对称，所以两直线平行，故，则，由于点在直线上，关于点的对称点为，故在上，代入可得，.故答案为：.36．已知直线，点．求：(1)直线关于点对称的直线的方程；(2)直线关于直线的对称直线的方程．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）求出关于点的对称点，利用在直线上，即得解；（2）先求解关于直线的对称点的坐标，再求解与的交点N，由两点式得到直线方程【详解】（1）设为上任意一点，则关于点的对称点为，则在直线上，，即．（2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上．设对称点为，则解得．设与的交点为，则由得，则经过点，直线的方程为，即．题型十三将军饮马问题求最值37．已知点，点在轴上，点在直线上，则△ABC周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出点关于轴、直线的对称点、的坐标，可知，，则，当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立，即可求解.【详解】如下图所示：点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为，则，解得，即点，由对称性可知，，所以△ABC的周长为，当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立，故△ABC周长的最小值为.故选：D.38．已知点、，有一点在直线上运动，当取得最小值时，则点的坐标为.【答案】【分析】作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，分析可知当、、三点共线时，最小，设点，求出点的坐标，进而可得出直线的方程，再将该直线方程与直线的方程联立，即可得出点的坐标.【详解】易知，均在直线的同侧；作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，则，所以，当、、三点共线时取等号，即、、三点共线时，最小.设，则，解得，即.因为，所以直线为，由，得，即.故答案为：.39．（1）求函数的最小值．（2）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程．【答案】（1）；（2）【分析】（1）问题转化为求x轴上点到两点的距离之和的最小值，应用将军饮马模型求最小值，注意取值条件；（2）设直线相关交点为，根据是的中点，列方程求