2026-2027学年北师大版九年级上册数学测试卷 第1章《特殊平行四边形》达标测试卷

第页【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】第1章《特殊平行四边形》达标测试卷一、选择题：本大题共8小题，共24分。1.如图，菱形ABCD的周长为20cm，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是(

)

A.5cm B.2.5cm C.3cm D.1.5cm2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则BD的长为

(

)

A.3 B.4 C.5 D.63.若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为(

)A.4

cm2 B.2

cm2 C.4.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是(

)A.∠A=90∘ B.∠B=∠C C.AC=BD 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=12，CD是AB边上的中线，则CD的长为(

)

A.24 B.12 C.8 D.66.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，P为边BC上一点，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，DE，PE分别交AB于点F，G.已知GE=GB，则BF的长为(

)

A.175 B.35 C.127.如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90∘，DE⊥AB，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为

(

)

A.3 B.2 C.4 D.88.如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=70∘.动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D(包括端点)运动.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2;点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.在整个过程中，四边形A.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B.平行四边形→菱形→平行四边形→菱形

C.菱形→矩形→平行四边形→菱形 D.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形二、填空题：本大题共5小题，共15分。9.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=OB，则∠ACB的度数为

.

10.菱形的两条对角线分别为6cm，8cm，则它的面积是

cm211.如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60∘，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为

cm.

12.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具.某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为

dm2.

13.如图，已知菱形ABCD中，∠A=120∘，AB=6，边AD，CD上分别有E，F两动点，始终保持DE=DF，连接BE，EF，取BE的中点G，连接FG，则FG的最小值是

.

三、解答题：本大题共7小题，共61分。14.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB=∠AFD.求证：BE=DF.

15.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，CE//AD，AE⊥AD，EF⊥AC.

(1)求证：四边形ADCE是矩形.(2)若BC=12，CE=8，求EF的长.16.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，过点A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，连接DB，∠ABD=∠CBD.

(1)求证：四边形ABCD是菱形;(2)过点D作DF⊥AB于点F，延长DF交AE于点G，若AG=3，AD=4，求DF的长.17.如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AB，E为BC的中点，分别延长AB和DE交于点F，连接AE，CF.

(1)求证：四边形BFCD是矩形;(2)若AB=1，BC=2，求AE的长.18.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90∘，点P，Q分别是AB，AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点.

(1)求证：PD⊥DQ;(2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由.19.(1)【阅读理解】我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫作凸四边形.例如，平行四边形、梯形等都是凸四边形.②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫作“等对角四边形”.

(1)如图1，已知四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A=60∘，∠D=95∘，∠B≠∠D.(2)【问题解决】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD交BC于点E，求证：四边形ACED(3)【拓展应用】(3)如图3，已知在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=∠BCD=60∘，∠B=90∘，AB=10，AD=820.如图，在Rt△CEF中，∠C=90∘，EA，FA为△CEF的外角平分线，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足.

(1)∠EAF=

 ∘((2)①求证：四边形ABCD是正方形;②若BE=EC=4，求DF的长.(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形PQR中，∠QPR=45∘，一条高是PH，它的长度为6，QH=2，直接写出HR的长度答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，

∴CD=BC=204=5(cm)，且O为BD的中点，

∵E为CD的中点，

∴OE为△BCD的中位线，

∴OE=12.【答案】D

【解析】解∶∵矩形ABCD

的对角线AC,BD

相交于点O,OA=3

，∴AC=2AO=6

，AC=BD

，∴BD=6

，故选∶D.3.【答案】B

【解析】如图，连结BD，

正方形ABCD中，AC=2cm，则BD=AC=2cm，

所以正方形的面积为=12AC⋅BD=4.【答案】D

【解析】【分析】

此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，理解平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．

根据有一个角等于90∘的平行四边形是矩形可对选项A进行判断；根据平行四边形性质得AB//CD，则∠B+∠C=180∘，再根据∠B=∠C得∠B=∠C=90∘，然后根据有一个角等于90∘的平行四边形是矩形可对选项B进行判断；根据对角线相等的平行四边形是矩形可对选项C进行判断；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．

【解答】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴当∠A=90∘，平行四边形ABCD是矩形，

∴选项A可以判定▱ABCD为矩形，

故选项A不符合题意；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，

∴∠B+∠C=180∘，

当∠B=∠C时，则∠B=∠C=90∘，此时▱ABCD为矩形，

故选项B可以判定▱ABCD为矩形，

故选项B不符合题意；

∵四边形ABCD是平行四边形，

当AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，

∴选项C可以判定▱ABCD为矩形，

故选项C不符合题意；

∵四边形ABCD是平行四边形，

当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，

∴选项5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】D

【解析】①当点E，F在点O准备出发时，如图1，连接AC.

∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO.由轴对称可得DE1=OD，AE1=AO，AE2=AO，B∴E1E2=AE1∴E∴四边形E1E②当点E，F离开点O运动时，如图2.

∵点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D(包括端点)运动，∴OE=OF.∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∠BAD=∠ABC=90∴∠BDC=∠ABD=70∘∵OE=OF，OB=OD，∴DF=EB，BF=DE.由对称可得DF=DF2，BF=BF1，∴E1F∴由对称可得∠F2DC=∠CDF=∴∠E同理∠F∴DE1//B∴四边形E1E③如图3，连接AE，CF，

当AE⊥BD时，∠AEB=90由对称可得AE1=AE又AD=AD，∴△ADE1≌∴∠由②可知四边形E1∴此时四边形E1E④点E，F继续运动，则四边形E1E⑤当F，E运动结束，即分别与D，B重合时，如图4，

此时点E，E2，B三点重合，点F，F2，由对称有BF1=BD∴BF1=D由对称有∠CBF1=∠CBD∴∠F1∵在矩形ABCD中，AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠F∴E∴四边形E1E综上所述，在整个过程中，四边形E1E2F1F2故选D.9.【答案】30∘【解析】解：∵四边形

ABCD

是矩形，对角线

AC,BD

相交于点O，∴

OA=OB

，

∠ABC=90∘又∵

AB=OB

，∴

OA=OB=AB

，∴

△OAB

是等边三角形，∴

∠OAB=60∘∴

∠ACB=10.【答案】24

11.【答案】812.【答案】2

13.【答案】92【解析】如图，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，延长EF交DH于点M，连接BM，

在菱形ABCD中，∠A=120∘，∴∠ADC=∵DH⊥BC，∴DH⊥AD，∴∠HDC=∵DE=DF，∠ADC=60∴△DEF是等边三角形，∴DE=DF=EF，∠DEF=60∴∠MDF=∠DMF=30∘∵EG=BG，∴FG是△BEM的中位线，∴GF=12BM，∴当BM最小时，根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM的最小值即为BH，在菱形ABCD中，AB=6，∴AB=BC=CD=6.在Rt△CDH中，∠HDC=30∴CH=1∴BH=BC+CH=6+3=9，∴BM的最小值为9，∴FG的最小值为92故答案为914.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠B=∠D.

在△ABE和△ADF中，

∠B=∠D,∠AEB=∠AFD,AB=AD,

∴△ABE≌△ADF(AAS)，

15.【答案】【小题1】证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90∘，∵CE//AD，∵AE⊥AD，∴∠EAD=90∘，∴四边形ADCE是矩形.【小题2】∵D是BC的中点，BC=12，∴BD=CD=1由(1)可知四边形ADCE是矩形，∴AE=CD=6，∠AEC=90在Rt△AEC中，由勾股定理得AC=∵EF⊥AC，∴S∴EF=AE⋅CEAC=6×8

16.【答案】【小题1】证明：∵AB//CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABD=∠CDB.

∵∠ABD=∠CBD，

∴∠CDB=∠CBD，

∴CD=CB，

∴四边形ABCD是菱形.【小题2】解：由(1)可知，四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=4，AD//BC.∵AE⊥BC，

∴AE⊥AD，

∴∠DAG=90∘，

∴DG=AG2+AD2=32+42=5.

17.【答案】【小题1】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，∴∠EBF=∠DCE.

∵E为BC的中点，

∴BE=CE.

∵∠BEF=∠DEC，

∴△BEF≌△CED(ASA)，

∴EF=DE，

∴四边形BFCD是平行四边形.

∵BD⊥AB，

∴平行四边形BFCD是矩形.【小题2】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=1，∴CD=AB=1.

∵四边形BFCD是矩形，

∴BF=CD=1，DF=BC=2，

∴BE=EF=12×2=1=AB=BF，AF=AB+BF=2，

∴∠EAB=∠BEA，△BEF是等边三角形，

∴∠AFE=∠FBE=60∘.

∵∠FBE=∠EAB+∠BEA=60∘，

18.【答案】【小题1】证明：如图，连接AD，

∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B.

又∵BP=AQ，

∴△BPD≌△AQD.

∴∠BDP=∠ADQ.

∵∠BDP+∠ADP=90∘，

∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90【小题2】解：当点P运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形.理由如下：∵△BPD≌△AQD，

∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，

∴△ABD是等腰直角三角形.

当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=又∵∠A=90∘，∠PDQ=90∘，

∴四边形APDQ为矩形.

又∵DP=AP=12AB

19.【答案】【小题1】解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠B≠∠D，

∴∠C=∠A.∵∠A=60∘∵∠D=95∘，

【小题2】证明：在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，∴AD=BD=CD，∴∠ACD=∠A.

∵∠ACB=90∘，∴∠DCB+∠ACD=90∘，

∴∠DCB+∠A=90∘.

∵DE⊥CD，∴∠CED+∠BCD=90∘，

∴∠CED=∠A.

∵∠ACE=90∘，【小题3】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.

∵∠DAB=60∘，AD=8，∴∠ADE=30∘，

∴AE=12AD=4，

∴BE=AB−AE=6，DE=AD2−AE2=43.

∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠B=90∘，

∴∠DFB=∠DEB=∠B=90∘，

∴四边形DEBF是矩形，

∴DF=BE=6，BF=DE=4

20.【答案】【小题1】45【小题2】①证明：作AG⊥EF于点G，如图1所示.

∵AB⊥CE，AD⊥CF，

∴∠B=∠D=90∘=∠C，

∴四边形ABCD是矩形.

∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，

∴AB=AG，AD=AG，

∴AB=AD，

∴四边形②解：设DF=x，

∵BE=EC=4，

∴BC=8.

由①得四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD=8.

在Rt△ABE与Rt△AGE中，AB=AG,AE=AE,

∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)，

∴BE=EG=4.

同理，GF=DF=x，

在Rt△CEF中