湖北剩州市2026届高三数学上学期9月起点考试含解析

荆州市2026届高三（9月）起点考试

数学试卷

本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指

定位置．

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸

和答题卡上的非答题区域均无效．

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的

非答题区域均无效．

4.考试结束后，请将答题卡上交．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

1.复数z满足z(2i)i，则|z|（）

35

A.3B.5C.D.

35

【答案】D

ii(2i)12i1212

【详解】由z(2i)i，得zi，则zi，

2i(2i)(2i)55555

125

所以|z|()2()2

555

故选：D

2.已知集合A1,m，B0,1,2,3，则“AB”是“m2”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】因为A1,m，B0,1,2,3，

若AB，m可能为0,2,3，推不出m2，

当m2时，A1,2B0,1,2,3，即m2AB，

故AB是m2的必要不充分条件.

故选：C.

3.已知正方形ABCD的边长为1，E是CD的中点，则AEBD（）

133

A.1B.C.D.

2222

【答案】A

uuuruuuruuuruuur1uuur

【详解】QAEADDEADAB，BDADAB，

2

uuuruuuruuur1uuuruuuruuur

AEBDADABADAB

2

uuuruuuruuuruuur

2112111

ADABADAB10.

22222

故选：A.

4.已知等比数列an中，a12，a38，则a4（）

A.16B.16或16C.32D.32或32

【答案】B

a

【详解】设等比数列的公比为q，则q234，故q2，

a1

故a4a3q16，

故选：B.

π

5.已知tan2，则sin2（）

4

227272

A.B.C.D.

10101010

【答案】A

sin22sincos2tan4

【详解】由题意sin2，

1sin2cos2tan215

cos2cos2sin21tan23

cos2，

1cos2sin21tan25

π222432

所以sin2sin2cos2.

42225510

故选：A

23

6.已知aln，b，ce，则（）

52

A.abcB.bac

C.bcaD.acb

【答案】A

2

3923

【详解】因为2.25，ee2.7，2.252.7且0,e0，

242

3

所以e，即bc，

2

25

alnln，

52

11

设函数fxlnxx1，则fx1，当x1时，01,fx0，

xx

所以fx在1,上单调递减，所以，当x1时，fxf10，即lnxx10,lnxx1，

555353

当x时，得ln1，所以ln，即ab，

222222

综上，abc，

故选：A.

7.一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是（）

1131414

A.0,B.,C.,D.,

2252525

【答案】D

【详解】由题意可设三角形的三边长为a,b,c，不妨设abc，

由于三边长成等差数列，故2bac，

由于三角形中，需满足abc，（acb,bca恒成立），

结合c2ba，则ab2ba，得2ab；

又三角形为锐角三角形，需满足cosC0，

2

a2b2c2a2b22ba4a3b

即cosC0，即4a3b0，

2ab2ab2a

44

即ba，结合2ab，可得aba；

33

222

b2c2a2b2baa5b24ab5b4a

又cosA

2bc2b2ba4b22ab4b2a

b

54

b45b4aa5t453

令t，则t[1,)，故，

a34b2a2b22t1442t1

21

a

4534

由于y2t1在t[1,)时单调递增，故y在[1,)上单调递增，

3442t13

53531

故当t1时，y取最小值，

442t1442112

53534

4

当t时，442t1445，

3421

3

14

故该三角形的最小内角余弦值的取值范围是,.

25

故选：D

8.若过圆C:x2y26x0内不同于圆心的点P恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点

P构成的区域的面积为（）

5π7π9π27π

A.B.C.D.

4444

【答案】B

2

【详解】由x2y26x0得x3y29，所以圆C的圆心为C3,0，半径r3，

因为直径是最长的弦，所以点P在圆内，过点P的弦中，直径是最长的弦，长度为2r6，

以下分析过点P的最短的弦，

由垂径定理知弦AB2r2d229d2，其中d为圆心C到弦的距离，

要使得AB最短，则d最大，

由图可知，dCP，当CP弦时取到等号，所以当CP弦时，d最大，弦长AB最短，

根据圆的对称性，这5条长度为正整数的弦长度分别是4,5,6,5,4，

要使得有两条长度为4的弦，则最短弦长小于4，要使得没有长度为3的弦，则最短弦长大于3，

因此，过点P的最短的弦长l3,4，

222

2l222ll27

因为弦长最短时CP弦，所以|CP|r，|CP|r95,，

2244

33

CP5,，

2

33

所以点P落在以C3,0为圆心，半径分别为5和的圆所夹的圆环内，

2

2

3327

所以该区域的面积为π5π，

24

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.某班10名同学的某次测验成绩为：55，62，65，68，69，70，70，75，80，100．则下列说法正确的有

（）

A.这组数据的众数是70B.这组数据的中位数是70

C.这组数据的平均数小于70D.这组数据的平均数大于70

【答案】AD

【详解】对于选项A，这组数据中出现次数最多的数是70，所以这组数据的众数是70，故A正确；

6970

对于选项B，这组数据的中位数是69.5，故B错误；

2

556265686970707580100

对于选项C，D，这组数据的平均数是71.4，故C错误；

10

D正确．

故选：AD．

10.已知连续型随机变量N1,2，设函数fxPx，则下列说法正确的有（）

A.fx是在定义域R上的增函数B.fx的图象关于直线x1对称

1

C.fx的图象关于点1,对称D.fx的图象位于两条直线y0，y1之间

2

【答案】ACD

【详解】已知~N(1,2),f(x)P(x)，随着x的增大，x这个事件发生的概率是增大的，即f(x)

是在定义域R上的增函数，所以A选项正确；

若函数f(x)的图象关于直线x1对称，则f(1x)f(1x)；

f(1x)P(1x)，f(1x)P(1x)，

由正态分布的性质可知P(1x)P(1x)，

所以f(x)的图象不关于直线x1对称，B选项错误；

因为正态分布曲线关于x1对称，

1

所以P(1)，且P(1x)P(1x)1，即f(1x)f(1x)1，

2

1

所以f(x)的图象关于点(1,)对称，C选项正确；

2

由于概率P(x)的取值范围是[0,1]，所以f(x)P(x)的图象位于两条直线y0，y1之间，D选

项正确；

故选：ACD.

11.圆柱的底面在水平面上，底面半径为1，高为4．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱所得的截面为椭圆，

截面上的最低点到下底面的距离为1，则下列说法正确的有（）

A.圆柱体的表面积为8π

B.圆柱体夹在截面与下底面之间部分的体积为2π

C.圆柱侧面夹在截面与下底面之间部分的面积为4π

D.截面椭圆的离心率为2

2

【答案】BCD

【详解】对于A，圆柱的表面积为2πrh2πr210π，故A错误；

对于B，如图，设圆柱的上下底面的圆的圆心分别为O1,O2，

设题设中与圆柱底面成45°角的平面为，记截面的最低点为S，

设S在轴截面ABCD的边BA上，过S作平行于底面的截面，交CD于G，

则ASDG1,且TSG45，故ST22,TG2，

1

故圆柱体夹在截面与下底面之间部分的体积为π121π1222π，

2

故B正确；

1

对于C，圆柱体夹在截面与下底面之间部分的面积为2π112π124π，

2

故C正确；

对于D，由B中ST22可得椭圆的长轴长为22，而短轴长为2，

2

故椭圆的半焦距为1，故离心率为，故D正确.

2

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

x1,x0

12.函数fx，则f4______．

x,x0

【答案】3

x1,x0

【详解】因为fx，f4413.

x,x0

故答案为：3.

y2

13.双曲线x21的两条渐近线与抛物线y24x的准线围成三角形的面积为______．

4

【答案】2

y2

【详解】由双曲线x21可知a21,b24，即a1,b2，

4

所以两条渐近线方程为y2x，

又抛物线y24x的准线方程为x1，

所以准线与渐近线的交点为1,2，

1

所以三角形面积为S412，

2

故答案为：2

14.在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的

概率为______．

878

【答案】

1001

【详解】从个点中取4个点，共有4种取法，

14C141001

四点共面分下面三种情况：

1.正方体的个面：每个面包含个顶点和个中心点，此时共有4种；

6416C530

2.个中间平面：每个平面包含个点，此时共有4种；

343C43

3.个对角面：每个对角面包含个顶点和个中心点，此时共有4种；

6426C690

所以四个点不共面共有100130390878种，

878

所以所求概率P.

1001

878

故答案为：.

1001

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知数列满足n1，且．

anan12an2a12

a

（1）求证：数列n是等差数列；

2n

（2）求数列an的前n项和Sn．

【答案】（1）证明见解析；

n1

（2）Snn122

【小问1详解】

n1*

由an12an2nN，

aa2a2n12a2n1

得n1nnn1.

2n12n2n12n1

a2a

又11，故数列n是以1为首项，以1为公差的等差数列.

2122n

【小问2详解】

a

由（1）可知：nn，nN*，故an2n；

2nn

234n，

Sn12223242n2

2345n1，

2Sn12223242n2

两式相减，得

234nn1，

Sn22222n2

212n

n2n1，

12

2n12n2n1，

1n2n12；

n1

故Snn122.

16.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA15，点Q，R分别在棱CC1，BB1上，

且CQBR2．

（1）证明：AR//平面B1DQ；

（2）求直线AB1与平面B1DQ所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析

（2）241

41

【小问1详解】

连接RQ，

因为BR//CQ且BRCQ，

所以四边形BCQR为平行四边形，

所以BC//RQ且BCRQ，

又AD//BC且ADBC，

所以AD//RQ且ADRQ，

所以四边形ADQR为平行四边形，

所以AR//DQ，

又DQ平面B1DQ，AR平面B1DQ，

所以AR//平面B1DQ；

【小问2详解】

如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，

则D0,0,0,A3,0,0,Q0,4,2,B13,4,5，

故AB10,4,5,DQ0,4,2,QB13,0,3，

设平面B1DQ的法向量为nx,y,z，

nDQ4y2z0

则有，

nQB13x3z0

令z2，则x2,y1，所以n2,1,2，

nAB10410241

所以，

cosn,AB1

nAB134141

241

所以直线AB1与平面B1DQ所成角的正弦值为．

41

1

17.已知函数f(x)exax2sin2x，aR．

2

（1）若a1，讨论函数f(x)在[0,)上的单调性；

1

（2）若aN，当x1时，f(x)a(xx2)恒成立，求a的最大值．

2

【答案】（1）单调递增；

（2）3

【小问1详解】

1

当a1时，f(x)exx2sin2x，求导得f(x)exxsin2x，

2

令函数g(x)exx,x0，求导得g(x)ex10，

则函数g(x)在[0,)上单调递增，g(x)g(0)1，即exx1，当且仅当x0时取等号，

当x0时，f(x)1sin2x0，所以函数f(x)在[0,)上单调递增.

【小问2详解】

1exsin2x

当x1时，不等式f(x)a(xx2)exsin2xaxa恒成立，

2x

exsin2xex(x1)xsin2xsin2x

令函数h(x),x1，求导得h(x)，

xx2

令函数(x)ex(x1)xsin2xsin2x,x1，求导得(x)xex2xcos2xx(ex2cos2x)，

而ex2cos2xe2cos2x0，则(x)0，函数(x)在[1,)上单调递增，

1π1π

则(x)(1)sin2sin212sin1(cos1sin1)2sin1(cossin)0，h(x)0，

2323

函数h(x)在[1,)上单调递增，h(x)h(1)esin21，则aesin21，

2ππ3123

而sinsin1sin，即sin1，因此3esin214，又aN，

243224

所以a的最大值为3.

18.在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2

次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织A，B，C，D共4个电竞

队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下：

第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者

组分别比赛，胜者组的胜者（记为W）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：

第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为L）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：

决赛，若W获胜则比赛结束，W获得冠军，L获得第2名；若L获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，

2

败者获得第2名．已知A队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响．

3

（1）求A队全胜夺冠的概率；

（2）设A队在整个赛事中参赛场次为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．

8

【答案】（1）

27

286

（2）分布列见详解；EX

81

【小问1详解】

由A队全胜夺冠，即A队在所有参加的比赛中均获胜，

所以A队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，

2228

所以A队全胜夺冠的概率为．

33327

【小问2详解】

依题意可得随机变量X的可能取值为2，3，4，5，

若X2，即A队在第一轮，第二轮均失败，

221

所以PX211，

339

若X3，A队在整个赛事中参赛场次有三种情况：

2228

①A队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，其概率为；

33327

2222

②A队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮失败，其概率为11；

33327

2222

③A队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮失败，其概率为11，

33327

82212

所以PX3，

27272727

若X4，A队在整个赛事中参赛场次有三种情况：

22224

①A队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为11；

333381

2224

②A队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮失败，加赛一场，其概率为1；

33327

22224

③A队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为11，

333381

44420

所以PX4，

81278181

若X5，A队在整个赛事中参赛场次有两种情况：

22228

①A队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为1；

333381

22228

②A队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为1，

333381

8816

所以PX5，

818181

所以X的分布列为：

X2345

1122016

P

9278181

1122016286

故X的数学期望为EX2345．

927818181

x2y2

19.已知焦点在x轴上的椭圆C:1b0，点P，Q是椭圆C上的两点，且位于x轴上方，

4b2

Tt,0为x轴上一点，O为坐标原点．

3

（1）当点Q在y轴上，t1，且QOT的面积为时，求椭圆C的离心率；

2

（2）若点P在第一象限，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点M，

N．记PMN，PAB的面积分别为S1、S2，若S1S2为定值2，求椭圆C的标准方程；

（3）对于（2）所求的椭圆C，是否存在实数t，使得TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存

在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．

1

【答案】（1）e

2

x2

（2）y21

4

66

（3）存在，t,

55

【小问1详解】

由题意知Q0,b,Tt,0，

313

由QOT的面积为，得b1，则b3，

222

而a2，故ca2b2431，

c1

所以椭圆C的离心率为e；

a2

【小问2详解】

设Px0,y0，由题意知A0,b,B2,0，

y0bbx0

则直线PA的方程为：yxb，令y0，则x，

x0by0

bx

即得M0,0，

by0

y02y0

直线PB的方程为：yx2，令x0，则y，

x022x0

2y

即得N0,0，

2x0

11

故，

S1S2SPMNSPABSMBNSMBABMONOABMAN2

22

2

1bx2ybx2y2b

即020b2，即得004，

2by02x0by02x0

b2x24y24b24bxy4b2x8by

则0000004，

x0y0bx02y02b

4bxy4b2x8by8b2

又2222，故0000