湖北剩州市2026届高三数学上学期9月起点考试含解析

荆州市2026届高三（9月）起点考试数学试卷本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4.考试结束后，请将答题卡上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【详解】由，得，则，所以故选：D2.已知集合，，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】因为，，若，可能为，推不出，当时，，即，故是的必要不充分条件.故选：C.3.已知正方形的边长为1，是的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【详解】，，.故选：A.4.已知等比数列中，，，则（）A.16 B.16或 C.32 D.32或【答案】B【详解】设等比数列的公比为，则，故，故，故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【详解】由题意，，所以.故选：A6.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【详解】因为，，且，所以，即，，设函数，则，当时，，所以在上单调递减，所以，当时，，即，当时，得，所以，即，综上，，故选：A.7.一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【详解】由题意可设三角形的三边长为，不妨设，由于三边长成等差数列，故，由于三角形中，需满足，（恒成立），结合，则，得；又三角形为锐角三角形，需满足，即，即，即，结合，可得；又令，则，故，由于在时单调递增，故在上单调递增，故当时，取最小值，当时，，故该三角形的最小内角余弦值的取值范围是.故选：D8.若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【详解】由得，所以圆的圆心为，半径，因为直径是最长的弦，所以点在圆内，过点的弦中，直径是最长的弦，长度为，以下分析过点的最短的弦，由垂径定理知弦，其中为圆心到弦的距离，要使得最短，则最大，由图可知，，当弦时取到等号，所以当弦时，最大，弦长最短，根据圆的对称性，这条长度为正整数的弦长度分别是，要使得有两条长度为的弦，则最短弦长小于，要使得没有长度为的弦，则最短弦长大于，因此，过点的最短的弦长，因为弦长最短时弦，所以，，，所以点落在以为圆心，半径分别为和的圆所夹的圆环内，所以该区域的面积为，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某班10名同学的某次测验成绩为：55，62，65，68，69，70，70，75，80，100．则下列说法正确的有（）A.这组数据的众数是70 B.这组数据的中位数是70C.这组数据的平均数小于70 D.这组数据的平均数大于70【答案】AD【详解】对于选项A，这组数据中出现次数最多的数是70，所以这组数据的众数是70，故A正确；对于选项B，这组数据的中位数是，故B错误；对于选项C，D，这组数据的平均数是，故C错误；D正确．故选：AD．10.已知连续型随机变量，设函数，则下列说法正确的有（）A.是在定义域上的增函数 B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称 D.的图象位于两条直线，之间【答案】ACD【详解】已知，随着的增大，这个事件发生的概率是增大的，即是在定义域上的增函数，所以A选项正确；若函数的图象关于直线对称，则；，，由正态分布的性质可知，所以的图象不关于直线对称，B选项错误；因为正态分布曲线关于对称，所以，且，即，所以的图象关于点对称，C选项正确；由于概率的取值范围是，所以的图象位于两条直线，之间，D选项正确；故选：ACD.11.圆柱的底面在水平面上，底面半径为1，高为4．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱所得的截面为椭圆，截面上的最低点到下底面的距离为1，则下列说法正确的有（）A.圆柱体的表面积为B.圆柱体夹在截面与下底面之间部分的体积为C.圆柱侧面夹在截面与下底面之间部分的面积为D.截面椭圆的离心率为【答案】BCD【详解】对于A，圆柱的表面积为，故A错误；对于B，如图，设圆柱的上下底面的圆的圆心分别为，设题设中与圆柱底面成45°角的平面为，记截面的最低点为，设在轴截面的边上，过作平行于底面的截面，交于，则且，故，故圆柱体夹在截面与下底面之间部分的体积为，故B正确；对于C，圆柱体夹在截面与下底面之间部分的面积为，故C正确；对于D，由B中可得椭圆的长轴长为，而短轴长为，故椭圆的半焦距为，故离心率为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数，则______．【答案】【详解】因为，.故答案为：.13.双曲线的两条渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为______．【答案】2【详解】由双曲线可知，即，所以两条渐近线方程为，又抛物线的准线方程为，所以准线与渐近线的交点为，所以三角形面积为，故答案为：214.在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为______．【答案】【详解】从个点中取4个点，共有种取法，四点共面分下面三种情况：1.正方体的个面：每个面包含个顶点和个中心点，此时共有种；2.个中间平面：每个平面包含个点，此时共有种；3.个对角面：每个对角面包含个顶点和个中心点，此时共有种；所以四个点不共面共有种，所以所求概率.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列满足，且．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）【小问1详解】由，得.又，故数列是以1为首项，以1为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）可知：，，故；，，两式相减，得，，，；故.16.在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．17.已知函数，．（1）若，讨论函数在上的单调性；（2）若，当时，恒成立，求的最大值．【答案】（1）单调递增；（2）3【小问1详解】当时，，求导得，令函数，求导得，则函数在上单调递增，，即，当且仅当时取等号，当时，，所以函数在上单调递增.【小问2详解】当时，不等式恒成立，令函数，求导得，令函数，求导得，而，则，函数在上单调递增，则，，函数在上单调递增，，则，而，即，因此，又，所以的最大值为3.18.在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下：第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响．（1）求队全胜夺冠的概率；（2）设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望．【答案】（1）（2）分布列见详解；【小问1详解】由队全胜夺冠，即队在所有参加的比赛中均获胜，所以队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，所以队全胜夺冠的概率为．【小问2详解】依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，若，即队在第一轮，第二轮均失败，所以，若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况：①队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，其概率为；②队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮失败，其概率为；③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮失败，其概率为，所以，若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况：①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为；②队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮失败，加赛一场，其概率为；③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为，所以，若，队在整个赛事中参赛场次有两种情况：①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为；②队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为，所以，所以的分布列为：2345故的数学期望为．19.已知焦点在轴上的椭圆，点，是椭圆上的两点，且位于轴上方，为轴上一点，为坐标原点．（1）当点在轴上，，且的面积为时，求椭圆的离心率；（2）若点在第一象限，，分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线，分别与轴和轴交于点，．记，的面积分别为、，若为定值2，求椭圆的标准方程；（3）对于（2）所求的椭圆，是否存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【小问1详解】由题意知，由的面积为，得，则，而，故，所以椭圆的