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2026年年数学奥林匹克竞赛技巧押题考试题及答案设正实数a,b,c满足a+b+c=3，证明：++证明：对任意正实数x,y，由恒等式+=(x+y)(−xL等号当且仅当a=b=c=1时成立，原不等式得证。△ABC的内切圆ω切BC于点D，切AB、AC分别于点X、Y，直线XY与BC的延长线交于点P，过D作AP的平行线交ω于另一点Q，证明：∠BQP=∠CQP。证明：首先对△ABC应用梅涅劳斯定理，截线为P-Y-X，故有··=1要证∠BQP=∠CQP，即证QP为∠BQC的角平分线，由角平分线定理逆定理，只需证明==因为DQ∥AP，故∠QDB=∠APB，又因为A,X,I,Y四点共圆（I为ω圆心），故∠PXB=180°-∠AXY=180°-∠AYX=∠PYC，又∠P为公共角，故△PXB∽△PYC，故==由幂的性质，点P对ω的幂为PX·P采用坐标法验证：设D为坐标原点(0,0)，BC位于x轴上，B(-m,0),C(n,0),m,n>0，ω的圆心为(0,r)，故ω的方程为+(y−r=，即+设直线DQ的斜率为k，与AP斜率相等，故DQ方程为y=kx，代入ω方程得+=2rkx计算Q=(+m+(，求所有素数p，使得−4解：设−4当p=2时，左边=8当p=3时，左边=27当p=5时，左边=125当p=7时，左边=343当p=11时，左边=1331当p≥13时，p为奇素数，故左边−4p+9为奇数+偶数+奇数=偶数，故k为偶数，设k=2t，t为正整数，代入得注意到gcd(2t−3情况1：gcd(2t2t−32t−3=p其余子情况均为大因子等于小项，无解。情况2：gcd(2t−3,2t+3)=3，故3整除−4p若p-2=9k,k≥2，则p=9k+2≥20，代入验证可知−4若p=9k，k≥2时p不是素数，舍去；若p+2=9k,k≥2时，代入验证同样无平方解。综上，所有满足条件的素数为p=2,7,11。设A是集合{1,2,…,2026}的子集，若A中任意三个元素a<b<c都满足a+b≠c，求|A|的最大值。解：首先构造满足条件的子集：取A={1013,1014,…,2026}，共2026-1013+1=1014个元素，此时任意两个元素a,b≥1013，故a+b≥1013+1014=2027>2026，不存在c∈A使得a+b=c，满足条件。接下来证明|A|不能超过1014：假设存在A满足条件且|A|≥1015，设A={a₁<a₂<…<a_k},k≥1015，考虑差集D=|1≤i差集D中至少有k-1个不同值（−,−

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