2026年江苏淮安市高一期末调研测试数学试题（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025—2026学年度第二学期期末高一调研测试数学试题2026.06注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．样本数据：6，8，5，7，的中位数为（

）A．9 B．5 C．7 D．82．已知向量，，，则的值为（

）A．6 B． C． D．3．在中，若，则（

）A． B． C． D．4．已知为两条直线，，，为三个平面，则的一个充分条件是（

）A．， B．，，C．， D．，，5．已知一组互不相等的数据从小到大排列为，，…，，该组数据的中位数为m，极差为d，平均数为，方差为．设（，，…，），数据，，…，的方差为，下列说法错误的是（

）A．B．C．若去掉，则，，…，的中位数大于D．若去掉，则，，…，的极差小于6．设，是两个随机事件，已知，，，则（

）A． B． C． D．7．已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正三棱锥侧棱和底面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．在中，若与相互垂直，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数满足：，则（

）A． B． C． D．10．若，则（

）A． B．C． D．11．已知正方体的棱长为1，棱，的中点分别为，，为正方形内一动点（含边界），下列说法正确的是（

）A．若平面，则点的轨迹长度为B．若平面，则点的轨迹长度为C．若，则点的轨迹长度为D．若点在上，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，为锐角，且，，则的值为______．13．甲、乙、丙三人各进行一次射击，已知甲、乙、丙三人击中目标的概率分别为，，，则恰有两人击中目标的概率为______．14．如图，在平面四边形中，，，，，，分别为，的中点．将沿折起，使二面角的大小为，则的余弦值为______；直线与平面所成角的正弦值为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知为钝角，为锐角，，．(1)求的值；(2)求的值．16．某学校高一年级举办一次数学竞赛，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数（，，…，）全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求的值；(2)求这50名学生测试分数的第62百分位数；(3)若采用分层抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率．17．已知四棱锥的底面为矩形，平面，为的中点，平面平面．(1)求证：平面；(2)求证：平面．18．在中，内角，，的对边分别为，，，若．(1)求的大小；(2)若，为线段上一点，且，，求；(3)设是的垂心，，求面积的最大值．19．如图，在四棱锥中，，，，，为线段上一点，，．(1)求的长；(2)若，，，求证：平面平面；(3)若平面，三棱锥的外接球半径为，当取最小值时，求四棱锥的体积．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【详解】样本数据升序排列为5，6，7，8，，样本数据共5个，中位数为第3个，即为7．2．A【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式计算，即得答案.【详解】由题意向量，，且，则.故选：A3．A【详解】由正弦定理得，，其中为外接圆的半径，所以，，，因为，所以，所以，即，由余弦定理得，，因为，，所以，又因为，所以.4．D【分析】逐一判断各选项的条件能否推出，结合空间线面、面面的位置关系判定规则筛选即可.【详解】选项A，若直线同时平行于平面和与可能平行，也可能相交（夹角任意），无法推出；选项B，且垂直于两平面的交线，仅说明垂直于交线，不满足“直线垂直于整个平面”的面面垂直判定条件，二面角为任意角度时，内都存在垂直于交线的直线，无法推出；选项C，两个平面同时垂直于第三个平面，与可能平行，也可能相交（夹角任意），例如两侧墙面都垂直于地面，但墙面之间可以平行，无法推出；选项D，由，可知直线的方向向量是平面的法向量；由，可知直线的方向向量是平面的法向量；由，可知两个平面的法向量互相垂直，因此两平面的二面角为直二面角，即.5．B【分析】选项A：根据方差的线性变换性质：若，则，常数不影响方差；选项B：平均数与求和式的代数运算，需结合平均数定义对求和式化简推导；选项C：一组数据的中位数：偶数个数据取中间两数的平均值，奇数个数据取中间数；若剔除单侧数据，则中位数位置改变；选项D：极差：为最大值减去最小值，剔除一端极值，极差减小.【详解】选项A：根据方差的性质：若，则，因为，则，故A正确；选项B：由，得，因为，，，B不正确；选项C：已知数据，，…，的中位数为，去掉数据后，数据，，…，的中位数为，因为，所以，故C正确；选项D：已知数据，，…，的极差为，去掉数据后，数据，，…，的极差为，因为，所以，故D正确.6．A【详解】已知，，，，且三部分互斥，，故，解得．7．D【分析】设底面边长，结合侧面积与底面积的关系求出斜高，再利用正三棱锥的几何特征计算高和侧棱长，最终求得侧棱与底面所成角的正弦值.【详解】设正三棱锥底面正三角形的边长为,则底面正三角形面积.设侧面斜高为，侧面积为3个全等等腰三角形的面积和，即，由题意，即，化简得.内切圆半径，底面中心到三角形顶点的距离是外接圆半径.斜高、高、底面内切圆半径构成直角三角形，则代入、，解得.因为侧棱、高、底面外接圆半径构成直角三角形，所以，代入、，得，即.由于侧棱在底面射影为，因此侧棱与底面所成角的正弦值为高与侧棱长的比值，即.8．C【分析】由题意可得，化简可得，将化为单一变量，令，化简结合二次函数性质计算可解.【详解】由题意可得，在中，设，则，化简可得，因为，所以，所以，即是等腰三角形，故，在中，，所以，，则，令，，因为，则，由余弦函数性质可知，因为，则，所以，由二次函数性质可知，当时，，所以的最大值为.9．AC【分析】先根据已知等式求出复数，再结合共轭复数、复数模长、复数运算的相关规则逐一判断选项.【详解】由，则，则，，，，故A、C正确，B、D错误.10．ACD【分析】平方后根据齐次式可求解，进而根据弦切互化，结合所给条件可得，即可结合选项逐一求解.【详解】由可得，进而可得，所以，故，A正确，由于，故，结合，因此，因此，C正确，，D正确，，B错误.11．BCD【分析】A.通过平面,找到点的轨迹是；B.通过平面平面,找到点的轨迹是；C.通过算出,得到的轨迹图形：在矩形内，是以为圆心、的圆弧；D.将平面和将平面展平，则此时得到的最小值.【详解】A.

设的中点为，连接,则在正方体中，平面,因为平面,所以，,,,，，设，得,所以，,平面,所以平面,若平面，为正方形内一动点（含边界），平面与平面重合，则点的轨迹是，长度为1，故A错误；B.

设的中点为，的中点为，连接,则在正方体中，可以得，平面，平面，所以平面，同理可证平面，因为,平面，所以平面平面,因为平面，为正方形内一动点（含边界），则点的轨迹是，长度为，B正确；C.

平面，垂足为，垂线段,C1的轨迹图形：在矩形内，是以为圆心、的圆弧；矩形内角，且，圆弧完整圆心角。，则点的轨迹长度为，C正确D.

将平面和将平面展平，则此时得到的最小值，在中，，由余弦定理得,则的最小值为，D正确.12．或【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出和的值，再通过配凑角，结合余弦差角公式计算；【详解】因为，均为锐角，所以，可得，由，为锐角，得，由，得，利用配凑角，根据余弦差角公式可得：当时，；当时，，故答案为：或.13．【分析】先确定恰有两人击中的三类互斥情况，结合独立事件概率乘法公式分别计算各类情况的概率，再由互斥事件概率加法公式求和【详解】设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙击中目标，由题意知A、B、C相互独立，且则恰有两人击中目标包含三个两两互斥的事件：、、，由独立事件概率乘法公式，得由互斥事件概率加法公式，得所求概率为：.14．【分析】利用求解；利用等体积法求出到平面的距离，再由求解.【详解】

因为，所以所以过点D作，则,又，所以二面角的平面角为,所以，所以,因为，所以，所以；在中，由余弦定理得,则，而,所以,则所以,,所以，到平面的距离是,设到平面的距离是，,因为，所以，则，直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值是.15．(1)(2)【分析】（1）利用，通过两角差的正切公式计算可得；（2）利用两角和的正切公式计算出后，结合角的范围确定的值.【详解】（1）；（2）由为钝角，为锐角，则，又，故.16．(1)(2)(3)【分析】（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1列式求解.（2）根据各组频率计算累积频率，确定第62百分位数所在的区间，利用线性插值法计算；（3）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数并编号，再利用列举法求出古典概率.【详解】（1）由频率分布直方图，得，所以.（2）由（1）知，分数在的频率为，分数在的频率为，分数在的频率为，分数在的频率为.前三组的累积频率为，前四组的累积频率为，所以第62百分位数位于区间内.设第62百分位数为，则，解得.所以这50名学生测试分数的第62百分位数为80.（3）记分数在的人数为（人），分数在的人数为（人），由，得采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中，分数在的有2人，编号分别为，分数在有3人，编号为，样本空间，则，记事件“至少一人分数在”，则，则，所以这2人中至少有一人分数在内的概率为.17．(1)连接，设，连接，因为是矩形，所以是的中点，在中，为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；(2)因为是矩形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以，因为是矩形，所以，因为且平面，所以平面，故平面.【分析】（1）连接，设，连接，根据线面平行的判定定理证明即可；（2）由线面平行的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而可证平面.【详解】（1）略（2）略18．(1)(2)(3)【分析】（1）首先利用余弦二倍角公式进行降次运算，接着再利用辅助角公式化简，进而求出角度.（2）首先算出的关系，进而转化成的等量关系，结合条件算出，再利用余弦定理算出.（3）利用正弦定理将边转化成三角函数，再结合三角恒等变换求出最值.【详解】（1）因为，所以，即，所以，即，所以，即，因为，所以.（2）因为，所以，两边平方得：，整理化简得：，因为，所以，因为，所以.（3）如图，延长与分别交于点,因为是垂心，所以，又因为，所以,设，，则，在中，，因为，所以，，，，即，，即，所以

，因为，即，所以，所以当时，有最大值.19．(1)4(2)在中，由正弦定理可得：，由（1）知，所以，所以，因为，，所以，又因为，，所以，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.(3)【分析】（1）利用三角恒等变换求出、以及的三角函数值，再结合正弦定理算出的长.（2）先证明平面，从而证出平面，最后再证