2026年黑龙江哈尔滨市第九中学校高三学情自测数学试卷（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页哈九中2025—2026学年度高三下学期第四次模拟考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分共2页）第I卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1．设集合，，若，则由实数组成的集合为（

）A． B． C． D．2．已知，若复数是方程的根，则的值为（

）A． B． C． D．3．在中，已知，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．已知，是空间中的两条直线，且直线平面，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知点是双曲线的右焦点，是坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知函数，若函数有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．神经网络系统在人工智能研发中扮演关键角色．一种神经网络系统的工作原理如下：将一个正整数列输入系统，系统将相邻两项依次相加，再将得到的新数列输出——以上过程称为一个“阶段”，例如，输入，将输出；现向系统中输入个“”，将系统输出的结果再次输入系统，重复上述过程，总共经历个“阶段”的运算后，结果为一个正整数；若满足，则，的值分别为（

）（参考数据：）A．； B．； C．； D．；二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知事件，满足，，则（

）A．若，则B．若与互斥，则C．若与相互独立，则D．若，则与相互独立10．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，，其中，则（

）A．当时，平面B．当时，C．当时，D．三棱锥的外接球半径的最小值为11．数列满足，，现将数列按如图规律填入三角形中，第一行一个，第二行两个，第三行三个…以此类推，设三角形第行数字之和为，则下列正确的为（

）A． B．C． D．第II卷（共92分）三、填空题（共3小题，每小题5分）12．已知一个物体在三个力，，的作用下处于静止状态，则_________．13．已知函数在处取得极大值，则_________．14．甲、乙两同学分别从6门选修课程中任意选取3门，设为这6门课程中被选到的课程数量，则的数学期望为_________．四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数的最大值为1，(1)求常数的值；(2)求函数的单调递减区间；(3)求使成立的的取值集合.16．某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试．应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．(1)估计此次测试分数的平均值；(2)试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？(3)从成绩在与范围内的两组中，按比例分层抽取7人．现从此7人中随机抽取两人，已知抽取的两人中至少有1人的成绩在的范围内，求这两人的成绩都在范围内的概率．（参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）．17．如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离．18．设两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们斜率的倒数之差是．记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)设点，过点向曲线作两条切线，切点分别为，求；(3)直线与曲线交于不同两点，满足，过坐标原点向直线作垂线，垂足为，求一定点，使得为定值，19．已知函数，．(1)讨论函数的零点个数；(2)证明：当，时，．参考数据：答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解.【详解】当时，方程无解，即，满足；当时，由方程，解得，即，因为，可得或，解得或，所以由实数组成的集合为.2．C【分析】直接将方程的根代入方程解得.【详解】已知是方程的根，将代入方程：，，即，解得.3．C【分析】利用正余弦的边角关系及三角恒等变换得到（或），即可得.【详解】法一：由及正弦边角关系得，又，所以，即，由，则，且，即，法二：，综上，是直角三角形且，但不能确定的关系.4．B【分析】根据线面垂直的性质定理、线面平行的性质和线面垂直的定义，分别验证充分性和必要性.【详解】已知平面，若直线在平面内，此时满足，但不满足，因此充分性不成立；若，根据线面平行的性质，内一定存在直线使得；又因为，可得，所以，因此必要性成立.综上，“”是“”的必要不充分条件.5．C【详解】如图：由题有，由双曲线性质有，所以.所以，所以.又双曲线方程，则，所以，则双曲线离心率.6．B【解析】根据条件先将原式变形为，然后结合所给范围求解出，则原式的取值范围可求.【详解】原式分子和分母同时除以，得，由条件得，所以，即，所以，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是将原式的分子分母同除，通过变形将问题转化为求的取值范围，从而结合所给范围进行求解.7．D【分析】先求出在上的范围，再结合函数的最值分、两种情况讨论.【详解】当时，，函数有最小值，则最值必在上取得，且其最小值小于等于，若，则，得，若，则，得，则实数的取值范围是.故选：D8．A【分析】根据题意求出，利用的取值范围即可求出.【详解】根据题意，当输入个“”时，会输出个“”，即第个“阶段”的结果是个“”，因此第个“阶段”的结果是个“”，第个“阶段”的结果是个“”，则第个“阶段”的结果是个“”，因此，要使结果为一个正整数，所经历的阶段数要满足，即，此时，由于满足，即，都取对数可得，已知参考数据，得，所以，解得，因此，的值分别为，故A正确.9．BC【分析】根据事件的包含关系，可判定A错误，根据互斥事件的概率加法公式，可判定B正确；根据相互独立事件的概率乘法公式，可判定C正确；根据条件概率和独立事件的判定方法，可判定D错误.【详解】对于A，若，可得，所以A错误；对于B，若与互斥，由互斥事件的概率加法公式，可得，所以B正确；对于C，若与相互独立，可得与也相互独立，且，则，所以C正确；对于D，若，可得，所以，因为，所以，所以与不相互独立，所以D错误.10．BCD【分析】建立空间直角坐标系，用表示出点的坐标，计算各个选项即可.【详解】以为原点为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，由题意得：，，，，设，则向量，由长度条件：，即，由与的夹角为，得：，故；由与的夹角为，得，故，因此，代入(1)式：，即，由于，此时，故，通常取（点在底面上方），所以故.选项A：当时，，，可得：，由，得不垂直于直线，故不垂直于平面，A错误；选项B：当时，，，则，，所以，B正确；选项C：由，得，化简得，又因为，所以，C正确；选项D：设三棱锥的外接球的半径为，三棱锥的外接球球心在过底面三角形外心的垂线上，设球心，由得，解得，半径平方，由于，此时，故，故，所以当时，，有，此时取到最小值，故，D正确.11．ACD【分析】对于A，由题设可得，再结合，得到，进而可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，进而求解判断即可；对于B，结合题意可得在图中，前行共有个数字，前行共有个数字，设数列的前项和为，可得，进而由求解判断即可；对于C，先验证，时式子成立，再利用放缩得到，进而结合裂项相消法求解判断即可；对于D，先验证，时式子成立，再利用放缩得到，进而结合裂项相消法求解判断即可.【详解】对于A，由，得，两式相减得，，又，，则，所以数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，则数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，故A正确；对于B，由题意，在图中，前行共有个数字，则前行共有个数字，设数列的前项和为，则，所以，，而满足上式，则，故B错误；对于C，当时，；当时，；当时，，则.综上所述，，故C正确；对于D，当时，；当时，；当时，，则.综上所述，，故D正确.12．【详解】由题意，得，则.13．3【分析】求导，根据题意可得，计算可得或3，代入结合题意验证可解.【详解】求导可得，由题意可得，即，解得或3，当时，，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数在处取得极小值，不符合题意舍去；当时，，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.函数在处取得极大值，符合题意；综上，.14．##4.5【分析】先求的分布列，再求的数学期望.【详解】由题意，的可能取值为，当时，甲乙选到相同课程的数量为3，，当时，甲乙选到相同课程的数量为2，，当时，甲乙选到相同课程的数量为1，，当时，甲乙选到相同课程的数量为0，，.15．(1)(2)，(3)【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质可得的值；（2）利用正弦函数的单调性得，，求解即可；（3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式.【详解】（1），因为的最大值为1，且函数的最大值为1，所以，解得.（2）由（1）可知.由，解得，，所以函数的单调递减区间为，；（3）由，得，即.所以，.解得.因此，成立的的取值范围是.16．(1)55(2)160，63分应聘者成绩进入范围内，72分应聘者成绩没有进入范围内(3)【分析】（1）利用给定的频率分布直方图估计平均数.（2）利用频率分布直方图及方差的定义估计方差，再进行判断.（3）利用条件概率公式求解.【详解】（1）各组的频率依次为0.15，0.2，0.3，0.2，0.15，所以此次测试分数的平均值.（2）依题意，因此，，而，所以63分应聘者成绩进入范围内，72分应聘者成绩没有进入范围内.（3）在内抽人，在内抽人，设“抽取的两人成绩均在内”为事件A，则“抽取的两人成绩至少一人在内”为事件，设“抽取的两人成绩均在范围内”为事件B，，则，，，所以.17．(1)证明见解析(2)(3)相交，【分析】（1）只要证明即可；（2）用向量数量积计算二面角余弦值；（3）延长、交于点，即是直线与平面交点，解直角三角求即可．【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面,又因为，所以，所以平面．（2）因为，所以，再由（1）知、、两两垂直，建系如图，,0,,,0,,,0,,,4,,,2,，,0,,,4,,,2,，设是平面的法向量，由，可得，取，则,1,，设是平面的法向量，由，可得，取，则,0,，因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（3）由,0,,,,,得,,，因为，所以直线与平面不平行，所以直线与平面相交，在四边形中延长、交于点，因为平面，所以平面，点是直线与平面的交点，因为，是中点，所以，所以，所以．18．(1)(2)(3)，定值为【分析】（1）根据题意列出等式即可求解；（2）根据题意求出过点的两条切线，利用弦长公式即可求解；（3）联立直线与抛物线，根据得到直线经过定点，再根据直线得到动点的运动轨迹即可求解.【详解】（1）设，由，可得，通分可得，解得，所以曲线的方程为：.（2）如图所示，设点，过的切线为，联立得，由，，得，所以切线方程为，代入得，同理，抛物线在处切线方程：，切线过得，直线的方程为，联立得所以，，.（3）如图所示，设直线的方程为，设，，联立抛物线方程可得：，由韦达定理得：，，，，由得：得，所以化简得：，直线方程为：即恒过定点：，直线，且恒过定点，所以．动点的运动轨迹是以线段为直径的圆，圆心即为线段的中点，，所以平面内存在定点，使得为定值，定值为．19．(1)①当时，方程无实根，无零点；②当时，方程有唯一实根，有1个零点；③当时，方程有两个不同实根，有2个零点；④当时，方程有唯一实根，有1个零点．(2)证明见解析【分析】（1）讨论的单调性，再结合最低点与0的关