2026年荆山公学高二下学期学业水平考试模拟卷数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页荆山公学高二学业水平考试模拟卷数学(考试时间:2026年06月30日满分：100分)注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试内容：人教A版必修一+必修二+选择性必修一空间向量与立体几何。4.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（共36分）1．（本题3分）在复平面内，复数8+i2+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（本题3分）设向量a=sin2θ,cosθ，b=cosA．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．（本题3分）某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：mm）数据，得到如下的表格：由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（

）直径/mm495051525354频数89813121A．50mm B．51mm C．50.5mm4．（本题3分）集合A={xx<5且x∈N}的非空子集的个数为（

A．15 B．31 C．32 D．645．（本题3分）若α∈0,π2,β∈πA．23 B．35 C．746．（本题3分）已知函数fx=sin2x+2cos2x的图象向左平移φ（φ>0A．5π8 B．π2 C．π7．（本题3分）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M,N分别在线段CD和BC上，且CM=2DM，A．3210 B．8210 C．38．（本题3分）已知A,B为两个随机事件，PA=0.7，PBA．PA=0.3 B．若A⊆BC．若PAB=0.2，则PA+B=0.9 9．（本题3分）若关于x的不等式(a−|x−b|)x2−8x+12≤0恒成立，则A．−1 B．0 C．1 10．（本题3分）已知a=log132，b=e−ln2，c=−lnA．a<c<b B．a<b<c C．c<a<b D．b<a<c11．（本题3分）一个轴截面为倒立正三角形的圆锥形水杯，内部装有高度为h的水，现将一个半径为2的实心铁球放入水杯中，恰好完全浸没，水未溢出（如图），则h3=（A．100 B．120 C．144 D．21612．（本题3分）已知奇函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，满足对任意x1、x2∈(0,+∞)，且x1A．(−2,0)∪(0,2) B．(−C．(−2,0)∪(2,+∞) 二、多选题（共18分）13．（本题6分）已知复数：z1=−2+ai，z2=a−4A．若z1+B．若z1zC．复数z1D．设a=2，复数z满足z−z1=4，则14．（本题6分）若正实数a,b满足a+b=4，则（

）A．1a+4b的最小值是92C．1+a1+b的最大值是9 D．a215．（本题6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N

A．平面MBB．C1N//C．异面直线MD1与BDD．三棱锥A1−M第II卷（非选择题）三、填空题（共9分）16．（本题3分）从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______．17．（本题3分）已知f(x)是定义在R上的函数，fx−1fx+1=x218．（本题3分）在平面凸四边形ABCD中，已知BC=5，AC=4，AB⊥AC，∠ADC=30°，则AD⋅AB的最小值为四、解答题（共37分）19．（本题12分）现有7名奥运会志愿者．其中志愿者A1,A2,(1)求A1(2)求B1和C20．（本题12分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，面积为S，已知a2+b(1)求C；(2)若边AB上的中线CD=2，求S；(3)若B=3A，点D,E分别在边AC,BC上，线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，求DE21．（本题13分）已知函数fx(1)求函数fx(2)设gx=fx+a，若函数gx(3)设hx=fx+mfx，是否存在正实数m答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号12345678910答案DCBBDDACDA题号1112131415答案BCADBCDABD1．D【详解】8+i该复数的共轭复数为3−2i，在复平面内对应的点为3,−22．C【详解】因为向量a=sin2θ由a//b，得sin2θ−cos2θ=0，即所以由tanθ=12可以推出a//b所以“a//b”是“3．B【详解】首先计算i=n×p%=51×40%=20.4，根据百分位数的定义，第40百分位数应为这组数据从小到大排列后的第21项数据，直径为49mm的频数为8，直径为50直径为51mm因此，这51个零件的直径的第40百分位数为51mm4．B【详解】因为A={x|x<5且所以集合A有5个元素，故A的非空子集个数是255．D【详解】已知β∈(π2,π)已知α∈(0,π2)，故α+β∈(因此α+β∈(π2,所以sin⁡α=代入数值计算：sin⁡α=6．D【详解】由题可得f(x)=sin所以g(x)=2因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以2φ+π4=又φ>0，所以φ的最小值是π87．A【详解】设正方体ABCD−A1B分别以DA、DC、DD1的方向为x轴、y轴、建立空间直角坐标系.则A1,0,0，D10,0,1，M∴AD1AD1=AD设直线AD1和MN所成角为θ，则θ∈08．C【详解】对于选项A，根据对立事件的概率公式，得PA对于选项B，因为A⊆B，所以PAB对于选项C，根据概率的加法公式，得PA∪B对于选项D，因为事件A,B互斥，所以PAB因此PA∪B9．D【详解】关于x的不等式(a−|x−b|)x1、x2即当x>6或x<2时，所以只需−∞，2∪6，+∞⊂（−∞，b−a]∪[b+a,+∞)2、x2−8x+12≤0a−|x−b|≥0即当2≤x≤6时，0≤|x−b|≤a恒成立，而|x−b|≤a有解的前提是当a=0时|x−b|≤0⇒x=b，不可能对整个区间2,6故a>0，|x−b|≤a⇒b−a≤x≤b+a恒成立，所以只需2,6⊂b−a,联立1与2即b−a≥2b+a≤610．A【详解】a=log132<logb−c=12+ln211．B【详解】如图所示，O1为圆锥底面的圆心，根据内切球的性质可知，OO1则OC⊥AS,OD⊥BS,O1那么∠ASO1在Rt△AO1S中，在Rt△COS中，OC故O1S=OOV锥体当球未放入水中时,如图所示，底面直径MN，圆心O2在Rt△MO2S中,V水=13π12．C【详解】设h(x)=xf(x)，定义域为(−∞因为f(x)是定义域为(−∞,0)∪(0,+∞则h(−x)=(−x)f(−x)=(−x)⋅(−f(x))=xf(x)=h(x)，因此h(x)是定义域为(−∞对任意x1,x2∈(0,+可得当x2>x1时，因此h(x)在(0,+∞)上单调递增；由偶函数对称性可知，h(x)在由f(2)=1，得h(2)=2f(2)=2，且h(−2)=h(2)=2，当x>0时，f(x)>2x两边同乘x（不等号方向不变），得xf(x)>2，即结合h(x)在(0,+∞)上单调递增，得当x<0时，f(x)>2x两边同乘x（不等号方向改变），得xf(x)<2，即又h(x)在(−∞,0)上单调递减，得综上，不等式f(x)>2x的解集为13．AD【详解】对于A，z1因为z1+z2为纯虚数，所以对于B，z1若z1z2对于C，z1若复数z1则−2−a=a+4，解得a=−3，故C错误；对于D，设a=2，则z1=−2+2i，设z=x+y因为复数z满足z−z1=4，所以x+2则z=x2+y2，则即z的最大值为−2−0214．BCD【详解】对于A，由a+b=4⇒1则1a当且仅当ba=4aba+b=4即a=对于B，由基本不等式得a+b2当且仅当a=b=2时等号成立，所以a+b的最大值是对于C，由1+a1+b当且仅当1+a=1+ba+b=4，即a=b=2时等号成立，所以1+a1+b的最大值是对于D，因为a+b=4，所以a=4−b，又a>0,b>0，所以0<b<4，所以a2+2b由二次函数开口向上，对称轴为：b=−−8所以该二次函数在0,43上单调递减，在所以fb15．ABD【详解】对于A，

取AD中点P，连接MP，D1P，因M，P所以MP//BD，MP=1正方体ABCD−A1B1C则MP//B1D易得D1P=B且平面B1D1即平面MB1D对于B，以A1为原点，分别以A1D1，A1B1，A1A则A10,0,0，B10,2,0，C12,2,0，D12,0,0，所以M0,1,2，N1,2,2，B1D1设平面MB1D则n⋅B1D1因为C1N⋅又C1N⊄平面MB1D对于C，由上建系，BD=2,−2,0，设异面直线MD1与BD所成角为则cosθ=对于D，设三棱锥A1−MB则OA即0−a2解得a=1b=1c=34，即球心故三棱锥A1−MB16．1【详解】从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张的基本事件有：0,1,抽到的两张卡片上数字之和大于3的基本事件有1,3,所以抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为P=217．11【详解】因为fx−1fx+1所以令x=2，故f1f3令x=4，故f3f5=35，解得f5=7，令令x=8，故f7f918．−12−6【详解】设∠CAD=θ,θ∈(0,5π6)，则∠ACD=5π6所以AD=AC在Rt△ABC中，BC=5，AC=4，则AB=3所以AD⋅=−12=−63因为θ∈(0,5π6)所以sin(2θ−π3)∈(−3219．(1)13，(2)【详解】（1）由题意从7名奥运会志愿者中选出通晓日语，俄语和韩语的志愿者各1名，共有A1A2A3A1被选中的情况有A故A1被选中的概率为P（2）事件B1和C1不全被选中的对立事件为B1B1和C1全被选中情况有故事件B1和C1不全被选中的概率为20．(1)π3，(2)32【详解】（1）已知a2+b2−因为C∈0,π，所以C=（2）AB=c=23，CD是AB

在△ADC中，C=b根据余弦定理，cosA=b2已知CD=2，c=23，所以4×4=2a2由(1)知C=π3，因此所以S=1（3）由A+B+C=π,C=π3，B=3A，解得A=由正弦定理asinA=bsin则S△ABC=设CD=m，CE=n，由DE平分面积得12结合n≤BC=2得m∈[2,4].由余弦定理DE由基本不等式m2+16因此DE2最小值为21．(1)fx在1,+∞上单调递增；(2)−2,0；(3)存在，【详解】（1）因为fx=log2x−1，所以x−1>0解得x>1因为y=log2t在0,+∞上单调递增，且所以函数fx在1,+（2）由已知g(x)=log2(x−1)+a，是增函数，因为函数g所以g(2)=a<0,g(5