2.3 一元二次方程的根与系数的关系（导学案）

2/2第二章一元二次方程2.3一元二次方程的根与系数的关系【学习目标】1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.学习重点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.学习难点：探索一元二次方程的根与系数的关系【复习导入】1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？想一想：方程的根与系数a，b，c之间还有其他关系吗？【合作探究】探究点1：一元二次方程根与系数的关系由前面的学习我们知道，如果ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1，x2是实数)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0必有两个实数根，x=x1，x=x2。反过来，如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)一定成立吗？合作探究(1)2x²-3x+1=0的两根为x1=12，x2=1，那么2x²-3x+1和2(x-1/2)(x-1)相等吗？换几个一元二次方程再试一试。试一试：下列几个一元二次方程是否有上述结论.①方程x²-5x+6=0；②方程3x²-7x+2=0.(2)你认为ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)是否一定成立？与同伴进行交流。思考·交流如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2，那么这两个实数根与该方程的系数有怎样的关系呢？与同伴进行交流。思考1：观察求根公式它有什么特点？因为x1＝，x2＝.所以x1+x2=x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么，.(前提条件是b2－4ac≥0)【典例精析】例1利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0；例2已知关于x的方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.例3不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.常见的求值式子如下：练一练1.设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1)，(2)，(3)，(4).2.已知x1，x2是方程x2－x－2026=0的两个实数根，则代数式－2026x1+的值是()A.4053 B.4052 C.2026 D.1当堂反馈1.设下列方程的两个根均为α，β，不解方程，直接写出两根的和与积.(1)x2＋4x－1＝0；α＋β＝；α·β＝.(2)2x2＋4x＋1＝0；α＋β＝；α·β＝.(3)6x2－x＝2x2＋3.α＋β＝；α·β＝.2.设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)1x1＋(2)x12＋3.[高频易错]已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－k＋1＝0有两个实数根.(1)求k的取值范围；(2)若该方程有两个实数根x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1)＝11，求k的值.参考答案【合作探究】探究点1：一元二次方程根与系数的关系合作探究(1)相等。2(x-12)(x-1)=2(x²-12x-x+12)=2(x²-32x+试一试：①求根：x1=2，x2=3.因式分解：(x−2)(x−3)=x²-5x+6，与原多项式相等。②求根：x1=13，x2因式分解：3(x−13)(x−2)=3x²-7x+2(2)如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).思考·交流事实上，因为ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，而a(x-x1)(x-x2)=ax2-a(x1+x2)x+ax1·x2，所以b=-a(x1+x2)，c=ax1x2【典例精析】例1(1)解：这里a=1，b=7，c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=49–24=25＞0.所以方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=–7，x1x2=6.(2)解：这里a=2，b=–3，c=-2.Δ=b2−4ac=(−3)2–4×2×(−2)=9+16=25＞0，所以方程有两个实数根。设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=32，x1x2=–例2解：设方程的两个根分别是x1，x2，其中x1=2.所以x1x2=2x2=即x2=由于x1+x2=2+=得k=－7.答：方程的另一个根是k=－7.例3解：根据根与系数的关系可知：∵∴练一练1.（1）4（2）1（3）14（4）122.A当堂反馈1.(1)－4；－1.(2)－2；12(3)14；－342.解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－32(1)1x1＋1x2＝x1(2解：x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－3.(1)解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2k＋1