问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形（导学案）

第1章特殊平行四边形问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形【学习目标】1.理解“内嵌于正方形的正八边形”的定义，掌握正八边形的核心特征.2.经历“分析图形特征一设计作图思路一尺规操作验证”的探究过程，提升几何推理与尺规作图能力.3.体会数学与建筑艺术的联系，培养问题解决的条理性与合作交流意识.学习重点：理解“内嵌于正方形的正八边形”的定义，掌握正八边形的核心特征.学习难点：经历“分析图形特征一设计作图思路一尺规操作验证”的探究过程，提升几何推理与尺规作图能力.【复习导入】问题1：正多边形的特点是什么？问题2：回想正多边形的性质，你知道正n边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？【合作探究】探究点：作内嵌于正方形的正八边形问题：(1)

观察这个建筑装饰图案，你能看到哪些我们学过的几何图形？(2)

它们的位置关系有什么特点？

引入概念：如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.理解问题(1)正八边形内嵌于正方形，可能有哪些情形？请你画出相应的草图.(2)正八边形有哪些具体特征？例1如图，正八边形ABCDEFGH内嵌于正方形MNPQ，正方形边长为a。(1)设正方形四个角上的等腰直角三角形的直角边长为x，请用含x的式子表示正八边形的边长.(2)求x的值和正八边形的边长.例2已知正方形ABCD，请用尺规作图的方法，画出一个内嵌于它的正八边形，写出作图步骤.(至少两种方法).练一练1.已知正方形ABCD，请用尺规作图的方法，画出一个有4个顶点在正方形的边中点的正八边形，保留作图痕迹.当堂反馈1.若正方形边长为6，求内嵌正八边形的周长和面积.2.当一个矩形的四个顶点都在已知菱形的边上时，我们称这个矩形为菱形的内接矩形.菱形的内接矩形有哪些不同的情况?参考答案【复习导入】问题1：每条边相等，每个内角相等.问题2：每个内角的度数是(n-2)×180°每个外角的度数是360°【合作探究】探究点：作内嵌于正方形的正八边形问题：(1)

正方形、正八边形(2)

正八边形在正方形内部，且部分顶点落在正方形的边上.理解问题(1)①正八边形的8个顶点都在正方形的边上，每条边2个顶点②正八边形有4个顶点在正方形的边中点(2)8条边相等，8个内角相等，每个内角为135°，中心到各顶点距离相等.例1解：(1)等腰直角三角形的斜边就是正八边形的边长，如图，在Rt△MHA中，根据勾股定理，AH=正八边形的边长为(2)由(1)得，AH=HG=，正方形的一条边由两段直角边和段正八边形的边长组成，因此MP=MH+HG+GP=a，x++x=a.化简得x(2+)=a正八边形的边长为例2方法一：对角线交点法1.作正方形ABCD的两条对角线AC、BD，交于中心O.2.以A、B、C、D为圆心，以OA为半径画弧，分别与正方形的四条边交于两个点.3.顺次连接这8个交点，得到正八边形EFGHIJKL.方法二：截取等长线段法1.设正方形边长为a，计算得角上等腰直角三角形的直角边长；2.以A、B、C、D为圆心，x为半径，在每条边上截取两个点.3.顺次连接这8个点，得到正八边形.练一练1.当堂反馈1.解：由题意分析得，设四个等腰直角三角形的直角边长为x，则斜边长为√2x，也就是正八边形的边长.根据正方形边长可得x+√2x+x=6.x=6−3√2正八边形的边长为√2x=6√2−6.周长为8×(6√2−6)=48(√2−1)正八边形的面积为6×6－4×1/2×(6−3√2)^2=72(√2−1)2.情况1：中心型(最常规）矩形四边顶点分别落在菱形四条边上，矩形对角线重合于菱形中心，两组对边分别平行于