25.2.1 配方法（第1课时 直接开平方法）导学案（解析版）

.2.1配方法（第1课时直接开平方法）（导学案）（1）理解直接开平方法的定义和解题依据，熟练掌握用直接开平方法解和型一元二次方程的步骤；能准确判断方程是否有实数根，规范书写解题过程.（2）经历从平方根知识推导方程解法的探究过程，体会一元二次方程“降次转化”的核心思想，提升类比迁移、归纳总结和代数运算能力.（3）通过新旧知识的衔接探究，感受数学知识的连贯性和逻辑性，体验解题方法的简洁性，增强学习代数的信心，培养严谨细致的运算习惯.重点：掌握直接开平方法解和型一元二次方程的方法及规范解题步骤.难点：理解直接开平方法“降次转化”的数学思想；准确判断p的正负，区分方程实数根的三种情况；避免开平方时遗漏负根.第一环节自主学习温故知新：创设情景，引入新课复习提问：①什么是平方根？②正数、0、负数的平方根各有什么性质？③求下列各数的平方根：4、0、、-2.情境设问：若一个数的平方等于9，这个数是多少？若，如何求解x？【学法指导】新知自研：自研课本第5-6页的内容【学法指导】自研课本P5-6页内容(一)解一元二次方程的基本思想活动1：解一元二次方程的基本思想追问1：怎样解一元一次方程的？解一元二次方程的基本思想：降次转化为一元一次方程.（二）基础型方程活动2：怎样解型方程交流思考：解方程，追问1：结合平方根性质思考：方程的根有几种情况？由什么决定？根据平方根性质有三种情况，是由决定的追问2：对方程的根有几种情况？由什么决定？师生归纳：当时，方程有两个不相等的实数根：；当时，方程有两个相等的实数根：；当时，方程无实数根（平方数非负）.及时巩固：用直接开平方法解方程.解题示范：移项得，因为25>0，所以，即.（三）探究复合型方程活动3：怎样解型方程交流思考：如何解方程？能否把x+1看作一个整体？追问1：如果把x+1设其为y，方程变形为什么？怎样解方程呢？设y=x+1，方程转化为，先求，再反求x.直接开平方，求出y，即x+1，可以求出x.巩固练习：解方程.系数化为1得，开方得，解得追问2：你能归纳出用平方法解一元二次方程的步骤吗？交流讨论.师生总结解题步骤：①整理方程：化为的标准形式；②判断符号：看常数p，是负数没有实数根；③开方降次：整体开平方，得到两个一元一次方程；④求解整理：解一元一次方程，写出方程的根.【自研自探】自研课本P5-6页内容典型例题例１.解下列方程:(1);(2).【分析】按解一元二次方程的步骤，先转化为形式，直接开平方.【详解】解:(1)移项，并将二次项系数化为1，得由此可得，即.(2)移项，得由此可得x+2=3，或x+2=-3，即.例2.解方程：【分析】将一元二次方程转化为形式，再直接开平方.【详解】解：移项，并将二次项系数化为1，得此题考查了一元二由此可得，或，即.第二环节合作探究1.讨论解一元二次方程的基本思想2.讨论怎样解型方程3.讨论怎样解型方程拓展提升：1.某汽车公司随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，求月平均降价率．【详解】设月平均降价率是，依题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），∴月平均降价率是．课本课堂练习（P6）第1题、第2题（1、3、5）.1．（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（）A．10% B．20% C．22% D．44%【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，根据题意得：25（1+x）2＝36，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%．故选：B．2．（2025•台湾）已知甲方程式为（x﹣4）2＝9，乙方程式为（x+9）2＝﹣4．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（）A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解【解答】解：对于方程（x﹣4）2＝9，x﹣4＝±3，解得x1＝7，x2＝1；对于方程（x+9）2＝﹣4．因为负数没有平方根，所以此方程没有实数解．故选：A．1.知识技能：（1）解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程.（2）掌握了完整解题步骤：整理方程→判断p的符号→开方降次→求解根，同时能准确判断方程有无实数根.2.思想方法：（1）核心数学思想为转化降次思想：将一元二次方程通过开平方转化为两个一元一次方程，化未知为已知；（2）运用整体思想，把多项式mx+n看作整体简化运算，这是后续配方法解题的核心思维.3.易错提醒：（1）开平方时必须保留正