第12讲实数(原卷版+解析)

第12讲实数1．掌握实数的定义与分类，理解实数与数轴上点的关系；2．掌握无理数的概念；3、学会比较实数的大小；知识点：实数实数（1）有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。（2）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数。（3）实数的定义：有理数和无理数统称为实数。1.实数的分类（4）实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。2.无理数的概念无限不循环小数称为无理数。人们已经证明是一个无限不循环小数，它的值为1.4142135623730950488016887242097…，，，，，等都是无理数。知识点四：实数的大小比较1、实数的倒数、相反数和绝对值（1）相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同绝对值相同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。（2）绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值既可以看成是它本身，也可看成它的相反数。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。（3）倒数如果ab=1，则a与b互为倒数，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。2、数轴和实数大小比较规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。比较大小时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，（3）求商比较法：设a、b是两正实数（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。（5）平方法：设a、b是两负实数，则。考点一：无理数的概念例1．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）下列实数，，，，中，无理数有（）A．个 B．个 C．个 D．个【变式训练】1．（2023·浙江金华·统考三模）在实数，，，中，无理数的是（

）A． B． C． D．2．（2023·陕西汉中·统考一模）已知实数，0.34，，π，，其中为无理数的是______.3．（2022秋·七年级单元测试）把下列各数按有理数、无理数、正实数、负实数分别填入相应的集合内：0，，，4，，，，，，，，．有理数集合：无理数集合：正实数集合：负实数集合：考点二：实数的概念例2．（2023春·上海嘉定·七年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是（）A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零【变式训练】1．（2022秋·八年级课时练习）下列说法错误的个数有（

）①带根号的数都是无理数；②零是最小的实数；③无限小数都是无理数；④不带根号的数都是有理数；⑤数轴上的所有点都表示实数A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2021春·全国·七年级专题练习）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由．(1)无理数都是开方开不尽的数．()(2)无理数都是无限小数．()(3)无限小数都是无理数．()(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．()(5)不带根号的数都是有理数．()(6)带根号的数都是无理数．()(7)有理数都是有限小数．()(8)实数包括有限小数和无限小数．()3．（2023春·广西崇左·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内：有理数集合：；无理数集合：；正实数集合：；负实数集合：．考点三：实数的分类例3．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期中）在以下说法中：①无理数和有理数统称为实数；②实数和数轴上的点是一一对应的；③0的算术平方根是0；④无限小数都是无理数．正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．（2021秋·山东青岛·八年级校考阶段练习）下列数中，0.4583、，3.14，，﹣，，0.373373337…（每两个7之间增加一个3），，有理数有(

)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2023春·全国·七年级专题练习）在，，0，，，，（两个2之间依次多一个，中．（1）是有理数的有__________________．（2）是无理数的有___________________．（3）是整数的有_____________．（4）是分数的有___________________．3．（2022秋·八年级单元测试）把下列各数填入相应的横线上：正有理数集合：整数集合：负分数集合：无理数集合：考点四：实数的性质例4．（2023春·天津滨海新·七年级校联考期中）下列结论中正确的有：①数轴上所有的点都表示实数；②的绝对值是；③无理数就是带根号的数；④一个实数的平方根有两个，它们互为相反数；⑤所有的实数都有立方根（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式训练】1．（2023春·七年级单元测试）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（）A． B． C． D．2．（2022春·北京·七年级校考期末）若实数x满足，则x的取值范围为______．3．（2023春·全国·七年级专题练习）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：－|a－b|＋|c－a|．考点五：实数的大小比较例5．（2023·山东临沂·统考二模）在实数，，，0中，绝对值最小的一个是（

）A． B． C． D．0【变式训练】1．（2023·河北沧州·模拟预测）已知，，为不等于0的实数，且，则下列说法正确的是（

）A．的倒数最大 B．的倒数最小 C．的倒数最大 D．，，的倒数都有可能最大2．（2023·山东临沂·统考二模）比较大小：_________（填“>”“=”或“<”）．3．（2023春·广东潮州·七年级校联考期中）课堂上，老师出了一道题，比较的大小．小明的解法如下：解：，因为，所以，所以．所以，所以，我们把这种比较大小的方法称为作差比较法．(1)根据上述材料填空（在横线上填“＞”“＝”或“＜”）：①若，则ab；②若，则ab；③若，则ab．(2)利用上述方法比较实数与大小．考点六：无理数整数部分的有关计算例6．（2023春·北京海淀·七年级北京市师达中学校考阶段练习）的整数部分为（

）．A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·福建福州·七年级统考期中）规定用符号表示的整数部分，如：，若，则的值为（）A．9 B．1 C．1 D．12．（2023春·北京西城·七年级校考阶段练习）的整数部分为a，小数部分为b，则的值为______．3．（2023春·广东珠海·七年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：(1)求的整数部分与小数部分各是多少？(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根．1．（2023·湖北荆州·统考中考真题）在实数，，，中，无理数是（）A． B． C． D．3.142．（2023·湖南怀化·统考中考真题）下列四个实数中，最小的数是（

）A． B．0 C． D．3．（2023·浙江台州·统考中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（

）．A． B． C． D．4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知，则a、b、c的大小关系是(

)A． B． C． D．5．（2022·四川资阳·中考真题）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是(

)A．点M B．点N C．点P D．点Q6．（2022·山东济南·统考中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．7．（2022·山东潍坊·中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（

）A． B． C． D．8．（2020·湖南长沙·统考中考真题）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π（Day）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（

）A．②③ B．①③ C．①④ D．②④9．（2022·山东临沂·统考中考真题）比较大小：______（填“”，“”或“”．10．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，数轴上的点分别对应实数，则__________0.(用“”“”或“”填空)

11．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若两个连续的整数、满足，则的值为__________．12．（2022·陕西·统考中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a______．（填“>”“=”或“<”）13．（2010·广西桂林·中考真题）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周（不滑动），圆上的一点由原点到达点O′，点O′所对应的数值是_______．14．（2021·安徽·统考中考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是______．1．（2023·浙江温州·统考二模）下列四个数最大的是（）A． B． C． D．2．（2023·全国·七年级假期作业）在数轴上，与表示的点最接近的整数是（）A．5 B．6 C．35 D．12253．（2023春·河北廊坊·七年级廊坊市第四中学校考阶段练习）在实数，0，，，，中，其中无理数的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考期中）估计的值在（

）A．6到7之间 B．5到6之间C．4到5之间 D．3到4之间5．（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）如图，将边长分别为和的长方形剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023春·河北石家庄·七年级统考期中）若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是(

)

A． B．C． D．不是A、B、C中的任意一数7．（2023·浙江温州·统考三模）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（）

A．； B．； C．； D．；8．（2023春·全国·七年级期末）在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数为（）A． B． C． D．9．（2023春·广东中山·七年级校联考期中）比较大小：8__________（填“”、“”或“”）．10．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）写出一个大于小于的无理数是___________．11．（2023·广东广州·校考二模）根据下表估计269的平方根是_________（精确到0.1）．x16.216.316.416.516.6x2262.44265.69268.96272.25275.5612．（2023春·广东惠州·七年级校考期中）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是2和．点B为线段AC的中点，则C表示的实数为_______．

13．（2023·全国·八年级假期作业）已知的整数部分是，的小数部分是，则______．14．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）观察上表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正整数满足；④．其中正确的是______．（填写序号）a1515.115.215.315.4…a2225228.01231.04234.09237.16…15．（2023春·福建·七年级校联考阶段练习）把下列各数分别填在表示它所属的括号里：0，，，，，，(1)正有理数：{

…}(2)整数：{

…}(3)负分数：{

…}．16．（2022秋·七年级单元测试）把下列各数填在相应的集合中．，3，，，，，0，，，(1)正实数集合：{

…}(2)无理数集合：{

…}(3)分数集合：{

…}(4)负整数集合：{

…}．17．（2023·河北承德·校联考模拟预测）已知实数，，m．(1)当时，计算最大数与最小数的差；(2)当时，试判断这三个数的大小关系．18．（2022秋·浙江衢州·七年级校考阶段练习）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6和9．(1)小正方形的边长为___________，它在___________和___________这两个连续整数之间．(2)请求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号）19．（2023春·福建福州·七年级统考期中）小红想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小明同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”(1)长方形纸片的长和宽分别是多少厘米？(2)你是否同意小明同学的说法？说明理由．20．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）先阅读下面的文字，然后解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是可以用表示的小数部分，由此我们还可以得到一个真命题：如果，其中x是整数，且，那么，．请解答下列问题：(1)如果，其中a是整数，且，那么___________，___________．(2)已知，其中是整数，且，求的值．

第12讲实数1．掌握实数的定义与分类，理解实数与数轴上点的关系；2．掌握无理数的概念；3、学会比较实数的大小；知识点：实数实数（1）有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。（2）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数。（3）实数的定义：有理数和无理数统称为实数。1.实数的分类（4）实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。2.无理数的概念无限不循环小数称为无理数。人们已经证明是一个无限不循环小数，它的值为1.4142135623730950488016887242097…，，，，，等都是无理数。知识点四：实数的大小比较1、实数的倒数、相反数和绝对值（1）相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同绝对值相同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。（2）绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值既可以看成是它本身，也可看成它的相反数。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。（3）倒数如果ab=1，则a与b互为倒数，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。2、数轴和实数大小比较规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。比较大小时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，（3）求商比较法：设a、b是两正实数（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。（5）平方法：设a、b是两负实数，则。考点一：无理数的概念例1．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）下列实数，，，，中，无理数有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答．【详解】解：，所以在实数，，，，中，无理数有，，共个．故选：B．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江金华·统考三模）在实数，，，中，无理数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据无理数的概念即可求解．【详解】A、是一个负整数，不是无理数；B、是一个正分数，不是无理数；C、是一个开方开不尽的数，是无理数；D、是一个有限小数，不是无理数；故选：C．【点睛】此题考查了无理数的知识，解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②无限不循环小数；③含有的数．2．（2023·陕西汉中·统考一模）已知实数，0.34，，π，，其中为无理数的是______.【答案】，π【分析】根据无限小数和无限不循环小数是无理数进行判断即可．【详解】解：由题意可得，∴无理数有：、π．【点睛】本题考查无理数的定义和求一个数的算术平方根，熟记无理数的三种形式：①开不尽方的根式、②含有π的数、③一些有规律的无限不循环小数是解题的关键．3．（2022秋·七年级单元测试）把下列各数按有理数、无理数、正实数、负实数分别填入相应的集合内：0，，，4，，，，，，，，．有理数集合：无理数集合：正实数集合：负实数集合：【答案】0，，4，，，，，，，，，4，，，，，，，，【分析】根据有理数与无理数的定义以及正实数与负实数的定义进行分类即可，【详解】解：有理数集合：0，，4，，，，，，；无理数集合：，，；正实数集合：，4，，，，，；负实数集合：，，，．【点睛】本题主要考查的是有理数与无理数的定义以及正实数与负实数的定义等知识内容，注意0既不是正实数也不是负实数．考点二：实数的概念例2．（2023春·上海嘉定·七年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是（）A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零【答案】D【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案．【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意；B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意；C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意；D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可．【变式训练】1．（2022秋·八年级课时练习）下列说法错误的个数有（

）①带根号的数都是无理数；②零是最小的实数；③无限小数都是无理数；④不带根号的数都是有理数；⑤数轴上的所有点都表示实数A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据无理数的定义，实数的性质与分类，数轴上的点与实数一一对应，逐项分析判断即可求解．【详解】解：①带根号的数不一定都是无理数，例如是有理数，故①不正确；②没有最小的实数，故②不正确；③无限不循环的小数都是无理数，故③不正确；④不带根号的数不一定都是有理数，例如,故④不正确；⑤数轴上的所有点都表示实数，故该⑤正确，符合题意；错误的有①②③④，共4个，故选C【点睛】本题考查了实数的定义与分类，数轴与实数，掌握实数的定义是解题的关键．2．（2021春·全国·七年级专题练习）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由．(1)无理数都是开方开不尽的数．()(2)无理数都是无限小数．()(3)无限小数都是无理数．()(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．()(5)不带根号的数都是有理数．()(6)带根号的数都是无理数．()(7)有理数都是有限小数．()(8)实数包括有限小数和无限小数．()【答案】错误正确错误错误错误错误错误正确【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可【详解】(1)(错误)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1．020020002…这类的数也是无理数；故答案为：错误．(2)(正确)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确．(3)(错误)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误．(4)(错误)0是有理数；故答案为：错误．(5)(错误)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误．(6)(错误)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数；故答案为：错误．(7)(错误)有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误．(8)(正确)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以

实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确．【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键．3．（2023春·广西崇左·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内：有理数集合：；无理数集合：；正实数集合：；负实数集合：．【答案】，，，；：，，，；，，，，；，，．【分析】根据实数的分类逐一填写即可．【详解】解：∵，∴中有理数集合为：，，，；无理数集合为：，，，；正实数集合为：，，，，；负实数集合为：，，．【点睛】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键．考点三：实数的分类例3．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期中）在以下说法中：①无理数和有理数统称为实数；②实数和数轴上的点是一一对应的；③0的算术平方根是0；④无限小数都是无理数．正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据实数的相关概念、实数与数轴的对应关系、算术平方根的概念对各小题分析判断即可得解【详解】①无理数和有理数统称为实数，说法正确②实数和数轴上的点是一一对应的，说法正确③0的算术平方根是0，说法正确④无限小数都是无理数，说法错误，因为无限循环小数是有理数故选C【点睛】本题主要考查实数的相关概念、实数与数轴的对应关系、算术平方根的概念，算术平方根的概念是解题的关键【变式训练】1．（2021秋·山东青岛·八年级校考阶段练习）下列数中，0.4583、，3.14，，﹣，，0.373373337…（每两个7之间增加一个3），，有理数有(

)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】根据有理数的定义判断即可．【详解】解：有理数有：0.4583、，3.14，﹣，共5个，其它都是无理数．故选：D．【点睛】本题考查了有理数的定义，关键是理解有理数的定义，知道无理数的定义，会区别有理数和无理数．2．（2023春·全国·七年级专题练习）在，，0，，，，（两个2之间依次多一个，中．（1）是有理数的有__________________．（2）是无理数的有___________________．（3）是整数的有_____________．（4）是分数的有___________________．【答案】，0，，，，，（两个2之间依次多一个0，，【分析】（1）有理数包括整数和分数即可得答案；（2）由无限不循环小数是无理数可得答案；（3）由整数概念可得答案；（4）根据分数概念可得答案．【详解】解：（1）有理数包括整数和分数，故答案为：，0，，；（2）无限不循环小数是无理数，故答案为：，，，（两个2之间依次多一个1）；（3）整数包括正整数、0、负整数，故答案为：0，；（4）分数包括正分数、负分数，故答案为：，．【点睛】本题考查实数的分类，解题的关键是掌握实数、有理数、无理数的概念．3．（2022秋·八年级单元测试）把下列各数填入相应的横线上：正有理数集合：整数集合：负分数集合：无理数集合：【答案】见解析【分析】根据实数的分类进行判断即可．【详解】解：∵，，，正有理数集合：3.14⋯⋯；整数集合：、0、⋯⋯；负分数集合：、⋯⋯；无理数集合：、、；故答案为：3.14⋯⋯；、0、⋯⋯；、⋯⋯；、、．【点睛】本题考查实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键．考点四：实数的性质例4．（2023春·天津滨海新·七年级校联考期中）下列结论中正确的有：①数轴上所有的点都表示实数；②的绝对值是；③无理数就是带根号的数；④一个实数的平方根有两个，它们互为相反数；⑤所有的实数都有立方根（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据实数的性质，无理数的定义，逐项分析判断即可求解．【详解】解：①数轴上所有的点都表示实数，正确；②的绝对值是，故②错误；③无理数就是无限不循环小数，故③错误；④一个正实数的平方根有两个，它们互为相反数，故④错误；⑤所有的实数都有立方根，正确，故正确的有①⑤，故选：A．【点睛】本题考查了实数的性质，无理数的定义，熟练掌握实数的性质，无理数的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·七年级单元测试）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据题意得到，然后根据实数的性质进行求解即可．【详解】解：由题意得，，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了实数的性质，实数与数轴，正确根据题意得到是解题的关键．2．（2022春·北京·七年级校考期末）若实数x满足，则x的取值范围为______．【答案】【分析】根据绝对值的意义即可求解．【详解】解：∵∴故答案为：【点睛】本题考查了实数的性质，掌握绝对值的意义是解题的关键．3．（2023春·全国·七年级专题练习）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：－|a－b|＋|c－a|．【答案】【分析】先判断，进而得到，，再化简即可．【详解】解：由数轴上点的位置可得，∴，，∴．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，化简绝对值，整式的加减运算，实数与数轴，根据数轴及运算法则判断，是解本题的关键．考点五：实数的大小比较例5．（2023·山东临沂·统考二模）在实数，，，0中，绝对值最小的一个是（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】先依次求出每个数的绝对值，再比较即可．【详解】解：∵，，，，∵，∴绝对值最小的一个是0，故选：D．【点睛】本题考查求绝对值和实数的大小比较，正确计算是关键．【变式训练】1．（2023·河北沧州·模拟预测）已知，，为不等于0的实数，且，则下列说法正确的是（

）A．的倒数最大 B．的倒数最小 C．的倒数最大 D．，，的倒数都有可能最大【答案】D【分析】根据题意分情况讨论判断即可．【详解】解：∵，，为不等于0的实数，且，∴当，，都小于时，例如：取，其倒数的大小为：，此时a的倒数最大；当，c小于0，时，b的倒数最大；当，b，c大于0小于1时，c的倒数最大，故选：D．【点睛】题目主要考查倒数的定义及实数的大小比较，理解题意进行分情况分析是解题关键．2．（2023·山东临沂·统考二模）比较大小：_________（填“>”“=”或“<”）．【答案】<【分析】根据实数大小的比较方法进行解答即可．【详解】解：∵，，∴，，∴，故答案为：＜．【点睛】本题考查实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握实数大小的比较方法．3．（2023春·广东潮州·七年级校联考期中）课堂上，老师出了一道题，比较的大小．小明的解法如下：解：，因为，所以，所以．所以，所以，我们把这种比较大小的方法称为作差比较法．(1)根据上述材料填空（在横线上填“＞”“＝”或“＜”）：①若，则ab；②若，则ab；③若，则ab．(2)利用上述方法比较实数与大小．【答案】(1)①＞；②＝；③＜(2)【分析】（1）根据题意可直接完成解答；（2）利用作差法解答即可．【详解】（1）①若，则；②若，则；③若，则．（2），∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了实数的大小比较，读懂材料提供的信息、掌握解答的方法是解题关键．考点六：无理数整数部分的有关计算例6．（2023春·北京海淀·七年级北京市师达中学校考阶段练习）的整数部分为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据的整数部分，然后确定的整数部分即可．【详解】解：，，，的整数部分为，故选：．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数估算的方法是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023春·福建福州·七年级统考期中）规定用符号表示的整数部分，如：，若，则的值为（）A．9 B．1 C．1 D．1【答案】C【分析】根据算术平方根知识和新定义确定出的值，再代入求解．【详解】解：，，，，，故选：C．【点睛】此题考查了无理数估算的运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识和定义进行正确地求解．2．（2023春·北京西城·七年级校考阶段练习）的整数部分为a，小数部分为b，则的值为______．【答案】【分析】先估算出的范围，根据可得a，b的值，最后代入求值即可；【详解】解：∵，∴，∴，，∴，故答案为：；【点睛】本题考查了无理数的估算：求一个数的算术平方根在哪两个整数之间，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间．3．（2023春·广东珠海·七年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：(1)求的整数部分与小数部分各是多少？(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根．【答案】(1)的整数部分为，的小数部分为，(2)【分析】（1）利用例题结合，进而得出答案；（2）利用例题结合，，进而得出答案．【详解】（1）解：∵，∴的整数部分为，的小数部分为，（2）解：∵，∴的整数部分为，的小数部分为，∵，即，∴的整数部分为，则∴的平方根为【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．1．（2023·湖北荆州·统考中考真题）在实数，，，中，无理数是（）A． B． C． D．3.14【答案】B【分析】根据无理数的特征，即可解答．【详解】解：在实数，，，中，无理数是，故选：B．【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键．2．（2023·湖南怀化·统考中考真题）下列四个实数中，最小的数是（

）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可．【详解】最小的数是：故选：A．【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．3．（2023·浙江台州·统考中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据无理数的估算可得答案．【详解】解：∵，，而，，∴大小在3与4之间的是，故选：C．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握基础知识是解题的关键．4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知，则a、b、c的大小关系是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，进行判断即可．【详解】解：∵，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．5．（2022·四川资阳·中考真题）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是(

)A．点M B．点N C．点P D．点Q【答案】C【分析】由，再结合数轴即可求解．【详解】∵，∴观察数轴，点P符合要求，故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴，确定的范围是解题的关键．6．（2022·山东济南·统考中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【详解】解：根据图形可以得到：，，∴，故A项错误，，故B项错误，，故C项错误，，故D项错误．故选：D．【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．7．（2022·山东潍坊·中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用夹逼法估算无理数即可得出答案．【详解】解：4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜1＜2，∴＜＜1，故选：C．【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．8．（2020·湖南长沙·统考中考真题）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π（Day）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（

）A．②③ B．①③ C．①④ D．②④【答案】A【分析】圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可．【详解】解：①圆周率是一个有理数，错误；②是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法正确；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法正确；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，说法错误；故选：A．【点睛】本题考查了对圆周率的理解，解题的关键是明确其意义，并知道圆周率一个无限不循环小数，3.14只是取它的近似值．9．（2022·山东临沂·统考中考真题）比较大小：______（填“”，“”或“”．【答案】【分析】根据实数的大小比较的方法，先将两个无理数平方，根据正数平方越大，原实数就越大即可得．【详解】解：∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的大小比较，灵活运用平方将无理数转化为可比较大小的有理数是解题的关键．10．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，数轴上的点分别对应实数，则__________0.(用“”“”或“”填空)

【答案】【分析】根据数轴可得，进而即可求解．【详解】解：由数轴可得∴【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数加法的运算法则，数形结合是解题的关键．11．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若两个连续的整数、满足，则的值为__________．【答案】【分析】求出在哪两个连续整数之间即可求得两个连续整数，，进而求得的值．【详解】∵，∴，即，∵，∴，，∴，故答案为：【点睛】本题考查了估算无理数的大小，属于基础题，熟练掌握“夹逼法”的应用是解答本题的关键．12．（2022·陕西·统考中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a______．（填“>”“=”或“<”）【答案】<【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案．【详解】解：如图所示：-4＜b＜-3，1＜a＜2，∴，∴．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键．13．（2010·广西桂林·中考真题）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周（不滑动），圆上的一点由原点到达点O′，点O′所对应的数值是_______．【答案】【分析】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明⊙O'之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数【详解】因为圆的周长为πd=1×π=π，所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO′=π即O′点对应的数是π；故答案为：π【点睛】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题需注意：确定点O'的符号后，点O'所表示的数是距离原点的距离．14．（2021·安徽·统考中考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是______．【答案】1【分析】先估算出，再估算出即可完成求解．【详解】解：∵；∴；因为1.236介于整数1和2之间，所以;故答案为：1．【点睛】本题考查了对算术平方根取值的估算，要求学生牢记的近似值或者能正确估算出的整数部分即可；该题题干前半部分涉及到数学文化，后半部分为解题的要点，考查了学生的读题、审题等能力．1．（2023·浙江温州·统考二模）下列四个数最大的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：，所给的四个数最大的是．故选：D．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．（2023·全国·七年级假期作业）在数轴上，与表示的点最接近的整数是（）A．5 B．6 C．35 D．1225【答案】B【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论．【详解】解：，，，表示的点最接近的整数是6．故选：B．【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，解题的关键是熟知估算无理数大小要用逼近法．3．（2023春·河北廊坊·七年级廊坊市第四中学校考阶段练习）在实数，0，，，，中，其中无理数的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据无理数的定义解答即可．【详解】解：，∴无理数有，，共2个，故选A．【点睛】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．4．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考期中）估计的值在（

）A．6到7之间 B．5到6之间C．4到5之间 D．3到4之间【答案】C【分析】先估算出的值的范围，从而估算出的值的范围，即可解答．【详解】解：，，，估计的值在4到5之间，故选：C．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．5．（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）如图，将边长分别为和的长方形剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用正方形的面积求出边长，可得结论．【详解】解：正方形的面积，正方形的边长为，故选：A．【点睛】本题考查图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．6．（2023春·河北石家庄·七年级统考期中）若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是(

)

A． B．C． D．不是A、B、C中的任意一数【答案】C【分析】首先利用估算的方法分别得到，，前后的整数(即它们分别在哪两个整数之间)，从而可判断出被覆盖的数．【详解】解：，，，且墨迹覆盖的范围是与之间，∴能被墨迹覆盖的数是与之间．故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，掌握数形结合思想是解题的关键．7．（2023·浙江温州·统考三模）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（）

A．； B．； C．； D．；【答案】A【分析】根据实数的分类判断各项，即可得到答案．【详解】解：A．是负整数，是负无理数，故A选项符合题意；B．是正整数，是负无理数，故B选项不符合题意；C．是负整数，是负整数，故C选项不符合题意；D．是正整数，是负整数，故D选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了实数的分类，掌握基本概念是解题的关键．8．（2023春·全国·七年级期末）在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求解，证明，设点C表示的数为x，再建立方程求解即可．【详解】解：∵数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，∴，∵点B关于点A的对称点为点C，∴，设点C表示的数为x，则，∴；∴点C的坐标为：．故选：C．【点睛】本题考查的是实数与数轴，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，熟练的建立方程求解是解本题的关键．9．（2023春·广东中山·七年级校联考期中）比较大小：8__________（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】平方法比较实数大小即可．【详解】解：∵，∴，即：；故答案为：【点睛】本题考查比较实数大小．熟练掌握平方法比较实数大小．10．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）写出一个大于小于的无理数是___________．【答案】（答案不唯一）【分析】根据无理数的估算，找出在与之间的无理数，任选一个即可．【详解】解：∵，，∵，∴，大于小于的无理数可以是．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础题．11．（2023·广东广州·校考二模）根据下表估计269的平方根是_________（精确到0.1）．x16.216.316.416.516.6x2262.44265.69268.96272.25275.56【答案】【分析】根据可知，由此即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴269的平方根是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，正确根据题意得到是解题的关键．12．（2023春·广东惠州·七年级校考期中）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是2和．点B为线段AC的中点，则C表示的实数为_______．

【答案】/【分析】根据中点的意义得到，可得答案．【详解】解：点为线段的中点，，，点对应的数是，故答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用得出点对应的实数是解题关键．13．（2023·全国·八年级假期作业）已知的整数部分是，的小数部分是，则______．【答案】/【分析】先估算出的取值范围，再求出，的值，进而可得出结论．【详解】解：，，的整数部分是，；，，，的小数部分是，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．14．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）观察上表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正整数满足；④．其中正确的是______．（填写序号）a1515.115.215.315.4…a2225228.01231.04234.09237.16…【答案】①②③【分析】由表格中的信息：①利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律解答即可；②利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律，分别确定被减数和减数的值，再相减即可；③先确定的范围，再判断的范围判断；④先估计的值，再判断即可．【详解】解：①∵，∴，故①正确；②∵，，∴，故②正确；③∵，∴，其中整数有：，，共3个，故③正确；④由①知：，∴，故④错误．综上，正确的是：①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题考查无理数的估计，解答时需要从表格中获取信息，运用到无理数大小比较，有理数的运算，整数的概念等，熟练掌握被