2025-2026学年湖南省岳阳市平江县第一中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省岳阳市平江县第一中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若z（1+i）=1-5i,则z的虚部为（）A.3i B.3 C.-3 D.-3i2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足，则直线AP与直线D1B所成角的余弦值为（）A.

B.

C.

D.

3.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若c=3，b=，C=60°，则A=（）A.45° B.75° C.105° D.135°4.设甲：a＜-2；乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）A.7 B.10 C.7π D.10π6.已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.7.若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（）A. B. C. D.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则a+c的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（）A.

B.

C.

D.向量与向量垂直10.在正三棱台ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则（）A.A1D∥AB B.AD∥平面A1B1C1 C.AD⊥A1C1 D.BC⊥平面AA1D11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A.点C与点G到平面AEF的距离相等

B.直线A1G与平面AEF平行

C.异面直线A1G与EF所成角的余弦值为

D.平面AEF截正方体所得的截面面积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设A，B，C，D是同一个半径为3的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为，则三棱锥D-ABC体积的最大值为

.13.已知平面向量，平面向量满足，的最大值和最小值分别为m、n,则m-n的值是

.14.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，P分别是线段B1C和A1C1上的动点.对于下列四个结论：

①存在无数条直线EP∥平面AA1B1B；

②线段EP长度的取值范围是[2，2]；

③三棱锥P-ACE的体积最大值为；

④设E，P分别为线段B1C和A1C1上的中点，则线段EP的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆.

则其中正确的命题有

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，满足.

（1）求A，

（2）若△ABC的周长为20，面积为，求a.16.(本小题15分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形.M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点.设平面PAD与平面PBC的交线为l.

（1）求证：平面MNQ∥平面PAD；

（2）求证：BC∥l.17.(本小题15分)

如图，在△ABC中，，，，，.

（1）判断并证明直线MN与AF的位置关系；

（2）若MN⊥BC，求cosA的值.18.(本小题17分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.

（1）求角A的大小；

（2）若AD为∠BAC的角平分线，且AB=8，AC=6，求角平分线AD的长度；

（3）若△ABC为锐角三角形，且b=2，求△ABC面积的取值范围.19.(本小题17分)

如图所示，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，AD=2，△PAD为正三角形，PB=PC=3，点E在PB上.

（1）若E为中点，求证：PD∥平面AEC；

（2）求异面直线PB与AC所成角的余弦值；

（3）若PE：EB=2：1，在棱PC上是否存在一点F，使DF∥平面AEC？并证明你的结论.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】AD

10.【答案】BD

11.【答案】BCD

12.【答案】

13.【答案】2

14.【答案】①③

15.【答案】

7

16.【答案】因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，且底面ABCD为平行四边形，

所以MN∥PD，NQ∥AD，

又MN∩NQ=N，MN，NQ⊂平面MNQ，PD∩AD=D，PD，AD⊂平面PAD，

所以平面MNQ∥平面PAD

因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，

又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BC∥平面PAD，

而BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，

所以BC∥l

17.【答案】直线MN与AF平行，

18.【答案】（1）

（2）

（3）

19.【答案】连接BD，交AC于点O，连接OE，则O为BD的中点，

若E为PB的中点，则OE∥PD，

又PD⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，

所以PD∥平面AEC

当F是棱PC中点时，DF∥平面AEC，证明过程如下：

取PE的中点M，连接FM，DM，

若PE：EB=2：1，则M是PE的中点，

所以FM∥CE，

又FM⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，

所以FM∥平面A