河北衡水中学2025-2026学年下学期高一数学2026年6月期末综合素质评试卷（含答案）

2025−2026学年度高一年级下学期期末综合素质评价数学学科第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知复数z满足iz+1=2i，则|zA.5 B.2C.4 D.82.在∆ABC中，D是边BC的中点，E是边AC上靠近点A的三等分点，设AB→=a，AC→A.16a+C.12a+3.一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（

）

A.BD∥EF B.EFC.BC∥EF 4.某校高一有500名学生，为了培养学生良好的数学素养，学校要求高一学生从《九章算术》《数书九章》《缀术》《海岛算经》中选一本阅读，其中有200人选《九章算术》，150人选《数书九章》，100人选《缀术》，50人选《海岛算经》．若按选书种类进行分层，用分层随机抽样的方法抽取50名学生分享读后感，则选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有（

）A.25 B.30 C.35 D.505.已知∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinA=bcosB=cA.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形6.如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC

A.855 B.C.8515 7.三棱柱ABC−A1B1C1中，E是棱CC1的中点，D是棱BC上一点，BD

A.12 B.1C.2 D.48.在体积为32的三棱锥A−BCD中，AC⊥AD，BC⊥BD，平面ACD⊥平面BCD，∠ACD=π3，∠BCD=πA.12π B.C.32π D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）9.为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（

）女生身高情况频数分布直方图男生身高情况扇形统计图

A.身高在A层次中的女生人数比男生多B.身高在B层次中的人数最多C.身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15%D.身高在E层次中的男生有3人10.在∆ABC中，sinC2=55，A.ABB.∆ABC的面积为C.∆ABC外接圆直径是D.∆ABC内切圆半径是11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1

A.存在点P使得AP⊥B.若点P满足AP⊥BF，则动点PC.若点P满足PF∥平面A1CD.当点P在侧面B1BCC1，且满足第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分；）12．已知向量a=(1,3)，b=(m,6)，若a13．如图，在三棱锥P−ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥E−ABD的体积为V1，三棱锥P−14．如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为3，底面圆直径AB=2，且点A满足AB→=2BC→.现在A点处固定一枚无线电信标，且在C点有一微型无人机（视为一点）.点Q在母线PB上，无人机先在空中以直线航迹从点C飞行到Q处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到A点，设飞行路径总长度为S四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．某校从全校随机抽取n名学生参加奥运知识竞赛，并根据这n名学生的竞赛成绩（总分为100分）绘制频率分布直方图（如图所示），其中分数在[50,60)内的学生有6名.（1）求a（2）求n（3）样本中分数在[40,50)内的学生有几名16.小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的.（1）小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？（2）小明欲将鱼缸注水至0.3m的高度，需要多少立方米的水？17.在∆ABC中，AB=12，AC=36，BC=56，点（1）求cosC的值；（2）求线段AD的长.18.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=4，将∆ACD沿边AC翻折，使点D（1）证明：BC⊥平面PAC（2）求三棱锥P−（3）试问在侧棱PC上是否存在一点E，使得二面角E−AB−C的余弦值为19.在三棱锥P−ABC中，∠ABC=120°，AB=BC=4，PA⊥PB，三棱锥P−ABC的各顶点均在表面积为64π的球（1）证明：平面PAB⊥平面ABC（2）当PA=PB时，求球心O到平面（3）求直线CP与平面ABC所成角的正弦值的最大值。2025−2026学年度高一年级下学期期末综合素质评价数学学科答案题号12345678910答案ACBCDCCABCDACD题号11答案ACD11.ACD对A：如图：当P点位于∆AB1D1边上时，因为A对B：如图：当AP⊥BF时，P点轨迹为矩形AMND，其中M，N分别为BB1，CC对C：如图：当PF∥平面A1C1D时，P点轨迹是正六边形FIJKLM，其中I，J，K，L对D：如图：当点P在侧面B1BCC1上运动，且满足FP=2时，P点轨迹是以B1为圆心，以1为半径的圆弧，则∠BCP即为二面角A−CD−P的平面角，所以当故选：ACD12.213.114.11+2由题可知PA=2故该圆锥侧面展开图的圆心角α=2π×12又由题知∠PBC则P(0,0)，A(0,−2)，S=|所以Smin故答案为：11+215．（1）由题意可得(0.004+a解得a=0.006；−−−−−−−−−−4（2）由题意可知样本中分数在[50,60)的频率为0.06，因为样本中分数在[50,60)内的学生有6名，所以全校随机抽取的人数n=−−−−−−−−−−8分（3）样本中分数在[40,50)的频率为0.04，所以样本中分数在[40,50)内的学生有0.04×100=4名.−−−−−−−−−−13分16．（1）依题意，所用玻璃面积是一个长方体的侧面积加上其下底面积，再减去圆柱底面积的差的2倍，然后加上圆柱的侧面积，因此所求面积为S=4−0.02π所以需要4+0.04π¯平方米的玻璃.（2）由圆柱体距离鱼缸底部0.2m，得注水至0.3V=2×1×0.5×0.3+所以需要0.3+0.0015π¯立方米的水.17．（1）解：在∆ABC中，cosC因为AB=12，AC=36，BC=56，所以cosC（2）解：由（1）知cosC=13所以sinC=1−cos在∆ADC中，∠ADC=60°，由正弦定理可得AD解得AD=8。−−−−−−−−1518（1）如图1，在梯形ABCD中，取边AB的中点F，连接CF。因为AB∥CD，AB=2CD，所以所以四边形AFCD是平行四边形，所以CF=因为AB=2AD，所以AB=2CF，所以因为PB=2AP，且PC所以BC⊥PC，因为PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且所以BC⊥平面PAC。−−−−−−−−5（2）如图2，取棱AC的中点G，连接PG，由（1）可知BC⊥平面PAC，且BC⊂平面ABC，则平面PAC⊥因为PA=PC，且G为线段AC的中点，所以因为平面PAC∩平面ABC=AC，PG⊂平面PAC，所以则PG为三棱锥P−ABC的高，因为AD=2，所以AB=4，AC=2故三棱锥P−ABC的体积V=（3）假设存在满足条件的点E。如图2，作EH⊥AC，垂足为H，作HK⊥由（2）可知平面PAC⊥平面ABC，又EH⊥AC，且平面PAC所以EH⊥平面ABC因为AB⊂平面ABC，所以EH因为HK⊥AB，且HK，EH⊂平面EHK，EH∩HK因为EK⊂平面EHK，所以AB⊥EK则∠EKH为二面角E−AB设CE=2x，则EH=因为BC=2，AB=4，且BC⊥AC，所以易证∆AHK∼∆ABC，则HKBC=由题意可得cos∠EKH=因为EH⊥平面ABC，且HK⊂平面ABC，所以所以tan∠则2x23−3x2因为E在棱PC上，所以0≤CE≤2，所以假设不成立，即不存在点的余弦值为5719。−−−−−−−−1719.（1）设球O的半径为R，则4πR2设∆ABC的外接圆半径为r，则r因为A，B，C，O四点共面，可知∆ABC的外接圆圆心为O取AB的中点E，连接PE，OE，可知∆ABO为等边三角形，则OE⊥AB，−−−−−−−−−2OE=2又因为PA⊥PB，则且OP=4，则OE2+P因为AB∩PE=E，AB，PE⊂平面PAB且OE⊂平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC.（2）若PA=PB，则AB⊥因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，所以PE⊥平面ABC，且CE⊂平面ABC，则在∆BCECE即CE=27，则在∆PBC中，由余弦定理可得cos可知∠PBC为钝角，且sin则S∆PBC=设球心O到平面PBC的距离为d，因为VO−PBC=V所以球心O到平面PBC的距离为4217.（3）方法一：过点P作P