2026年排列与组合练测试题及答案

2026年排列与组合练测试题及答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.计算A(6,3)的值为（）A.60B.120C.240D.7202.从5名男生和3名女生中选2名男生和1名女生参加演讲比赛，不同选法数为（）A.15B.20C.30D.403.5个人排成一排，甲必须站在两端的排法数为（）A.24B.36C.48D.604.以下属于排列问题的是（）A.从8人中选3人组成学习小组B.从8人中选3人分别担任班长、副班长、学习委员C.从8人中选3人参加志愿者活动D.从8人中选3人去图书馆帮忙5.7个元素中选4个的组合数为（）A.21B.35C.42D.566.5个人排成一排，甲乙不相邻的排法数为（）A.48B.60C.72D.967.4本不同的书分给3个学生，每人至少1本，不同分法数为（）A.18B.24C.36D.488.环形排列中，6个人围坐圆桌的排法数为（）A.60B.120C.240D.7209.计算C(8,5)的值为（）A.28B.56C.112D.22410.从10个元素中选3个，再从剩下7个中选2个，不同选法数为（）A.1260B.2520C.3780D.5040二、填空题（总共10题，每题2分）1.A(n,2)=30，则n=______2.C(9,4)+C(9,5)=______3.5个人排成一排，甲在乙左边的排法数为______4.将6本不同的书分成3组，每组2本，不同分法数为______5.从4名男生和4名女生中选3人，至少有1名男生的选法数为______6.7个元素排成一排，甲乙丙相邻的排法数为______7.C(n,3)=C(n,7)，则n=______8.将5个不同的球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，不同放法数为______9.C(10,4)=______10.6个人排成一排，甲必须站在第3位的排法数为______三、判断题（总共10题，每题2分）1.排列和组合的区别在于元素的顺序是否重要。（）2.A(n,k)=C(n,k)×k!。（）3.环形排列中，n个人的排法数是n!。（）4.C(5,2)+C(5,3)=C(6,3)。（）5.从5名男生中选2名，从3名女生中选1名，不同选法数是C(5,2)+C(3,1)=13。（）6.将4本不同的书分给2个学生，每人至少1本，不同分法数是2⁴-2=14。（）7.5个人排成一排，甲乙相邻的排法数是A(4,4)×2=48。（）8.C(n,k)=C(n,n−k)对所有n≥k≥0成立。（）9.7个人排成一排，甲在乙左边的排法数是A(7,7)/2=2520。（）10.将6个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，不同放法数是C(5,2)=10。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述排列与组合的核心区别及举例说明。2.说明“特殊元素优先法”在排列问题中的应用步骤，并举例。3.解释“捆绑法”的适用场景及具体操作方法。4.说明组合数性质C(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1)的含义，并举例验证。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.结合实际例子，分析分配问题中“不同元素分给不同对象”与“相同元素分给不同对象”的解决方法差异。2.分析环形排列与线性排列的区别，并说明环形排列中“旋转视为相同”的原因。3.举例说明排列组合在实际生活中的应用，并解释其解决思路。4.分析“至少有一个”问题的解决方法，并举例说明。答案一、单项选择题1.B2.C3.C4.B5.B6.C7.C8.B9.B10.B二、填空题1.62.2523.604.155.526.7207.108.1509.21010.120三、判断题1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.√8.√9.√10.√四、简答题1.核心区别：排列关注元素顺序（有序），组合不关注顺序（无序）。举例：从5人中选2人分别担任班长和学习委员是排列（顺序不同职务不同）；从5人中选2人组成小组是组合（顺序不影响成员构成）。2.应用步骤：①优先安排特殊元素（如必须站两端的甲）；②安排剩余普通元素。举例：5人排一排，甲必须站两端，先排甲有2种选择，再排剩余4人有A(4,4)=24种，总排法2×24=48种。3.适用场景：解决元素相邻问题（如甲乙必须相邻）。操作方法：①将相邻元素捆绑成一个整体；②整体与其他元素排列；③计算整体内部排列数；④两步结果相乘。举例：3人排一排，甲乙相邻，捆绑甲乙有2种内部排列，整体与丙排列有2种，总排法2×2=4种。4.含义：从n+1个元素中选k+1个，等于从n个中选k+1个（不包含第n+1个元素）加上从n个中选k个（包含第n+1个元素）。举例：n=5,k=2时，C(5,2)+C(5,3)=10+10=20，C(6,3)=20，验证成立。五、讨论题1.不同元素分给不同对象：若每人至少1个，用“分组+分配”（如4本不同的书分给3人，先分组为2,1,1，分组数6，再分配给3人得36种）；若允许分不到，用“每个元素有k种选择”（如5本不同的书分给2人，方法数2⁵=32）。相同元素分给不同对象：若每人至少1个，用隔板法（如6个相同的球分给3人，方法数C(5,2)=10）；若允许分不到，用“隔板法+虚拟元素”（如6个相同的球分给3人，方法数C(8,2)=28）。例子：不同元素如“不同的书”，相同元素如“相同的苹果”，方法因元素是否相同而异。2.区别：线性排列位置固定（如第1位），环形排列位置相对（旋转后相对顺序不变）。旋转视为相同的原因：环形排列关注相对顺序而非绝对位置，如6人围坐圆桌，旋转后左右邻居不变，视为同一种排列。计算：线性排列n人是n!，环形排列是(n−1)!（固定1人位置，其余线性排列）。例子：线性排列“ABCDEF”与“BCDEFA”不同，环形排列中相同。3.应用1：彩票中奖，如双色球红球选6个（1-33），蓝球选1个（1-16），总可能数C(33,6)×16≈17721088，中一等奖概率1/17721088，思路是组合数算结果数。应用2：排队问题，5人排队甲在乙前，总排法A(5,5)=120，一半是60种，思路是对称法。应用3：选代表，10人选3名代表，方法数C(10,3)=120，思路是组合数（无顺序）。4.解决方法：用“总数减不符合条件数”（