2026北京二中高二(下)五学段段考数学试题及答案

数学选择性必修第三册一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上）1.已知集合，则A∩B=x≥4的否定是()22223.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的4.某社区举行“喜迎五一”书画作品比赛，参加比赛的老年人占，中年人占，小朋友占,经评审，评出一、二、三等奖作品若干，其中老年人、中年人、小朋友的作品获奖的概率分别为0.6，0.2，0.1，现从所有作品中任取一件，则取到获奖作品的概率为()A.0.21B.0.4C.0.42D.0.58是()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和.已知a1.a3=16，S3=14，若存在n0使得a1,a2,…,an0的乘积最大，则n0的一个可能值是()8.已知函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上为减函数，函数g(x)=x2-alnx在(1,2)上为增函数， 9.设f(x)=ln(x-1)，若关于x的方程f(x)-ax+a=0在(1,6]上有3个实根，则实数a的取值范围是()10.我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“|0>，|1>”2种叠只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有N种叠加态，则N是一个位的数.(参考数据：lg2≈0.3010)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题纸上）11.现有10张奖券，其中有4张“中奖”奖券，甲、乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为.12.函数y=(x>0)的最大值为________.13.若a>0，e为自然对数的底数，则ea、a+1、lna的大小关系是用小于号“<”连接三个式子）14.已知数列{an}满足：a1=1,a2=x(x∈N*)，an+2=an+1-a项为0，则x的值为.15.已知函数f(x)给出下列四个结论，其中所有正①若f(x)有最小值，则a的取值范围是；②当a>0时，若f(x)=t无实根，则t的取值范围是[aπ,4a]u[4a+1,+∞)；③当a≤-时，不等式f(x2+2)>f(x+4)的解集为(-2,2)；④当a≥1时，若存在x1<x2，满足-1<f(x1)=f(x2)<0，则x1+x2>0.三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上）16.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a2+b2-c2=-ab，bsinC=23sinB.(Ⅱ)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求△ABC的面积.注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.17.为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据(单位：小时)：假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立.(Ⅰ)现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数.(Ⅱ)从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为sEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)、乙单位职工户外运动时长的方差为sEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2)，写出sEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)与sEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2)的大小关系．(结论不要求证明)18.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD丄DC，平面(Ⅱ)求直线BS与平面SCD所成角的正弦值；(Ⅲ)设M为SC的中点，求平面SPB与平面PBM的夹角的余弦值.19.已知函数f(x)=xex，过点P(1,m)(m∈R)有n条直线与函数y=f(x)的图象相切.(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间与极值；(Ⅲ)当n取最大值时，求m的取值范围.20.已知椭圆两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形.(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；(Ⅱ)设直线l1：y=kx+m与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于l1的直线l2与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C.记直线OP的斜率为k1，直线BC的斜率为k2.①求的值；②若O,P,B,C四点围成的四边形为平行四边形，求的值.对于A中任意一项ai，都有bi≤ai<(Ⅰ)判断下列数列是否为Ω数列(直接写出结果)：(Ⅲ)设M是集合{x∈N|0≤x≤63}的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的Ω数列.第1页，共8页北京二中2025—2026学年度第五学段高二年级学段考试答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上）1.C2.A3.D4.C5.B6.A7.D8.B9.A10.B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题纸上）11.12.13.lna<a+1<ea14.8或915.②③④三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上）22由bsinC=2sinB变形得，由正弦定理得兀与相互矛盾，故不存在这样的三角形，所以我们不选择条件①;选择条件②：bsinC=因为bsinC=，所以，解得b=2，由余弦定理得，化简得a2+2a-8=0，解得a=2或a=−4(舍)，所以;第2页，共8页因为bsinC=2sinB，所以b=2，由余弦定理得，化简得a2-6a+8=0，解得a=2或a=4，当a=4时，ABC是直角三角形，与题干不符，故排除，所以ABC=absinC=17.解：解：(1)乙单位样本中夏天户外运动时长不足20小时的职工有2人，所以运动时长不足20小时的频率为，所以乙单位1800名职工，估计参加体检的职工数为1800×=400人；(2)甲单位职工户外运动时长不少于35小时概率为，乙单位职工户外运动时长不少于35小时的概率为，(1)221EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up7(1),(1)221(1)22(1)211EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up8(1),2),(1)22(1)211(1)22(2,3(2,3P(X=3)(1)215(2,312(2,312(1)211(2,312(2,312X0123P1P 1 63EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2)18.解：(I)证明：在SAD中，'.'SA=SD，P为AD的中点，:SP丄AD，'.'平面SAD丄平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD，SP平面SAD，:SP丄平面ABCD，又AB平面ABCD，:SP丄AB；第3页，共8页(Ⅱ)在直角梯形ABCD中，'.'AD//BC，BC=AD，P为AD中点，:BC//PD，且BC=PD，则四边形BCDP为平行四边形，'.'AD丄DC，:AD丄PB，由(I)可知，SP丄平面ABCD，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系P−xyz，则P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,3,0)，S(0,0,3)，C(−1,3,0)，D(−1,0,0)，设平面SCD的一个法向量n=(x,y,z)， :n=(−3,0,1)为平面SCD的一个法向量，设直线BS与平面SCD所成角为α,则sinα=|cos<n,BS> :直线BS与平面SCD所成角的正弦值为；(Ⅲ)AP丄SP，AP丄BP，SP∩BP=P，SP，BP平面SBP，:AP丄平面SBP，即PA=(1,0,0)为平面SPB的一个法向量，M为SC的中点，:点M的坐标为第4页，共8页 222 设平面MPB的一个法向量为m=(x0,y0,z0)，取z000 :m=(3,0,1)为平面MPB的一个法向量，则 |m.PA|33则 3.2:平面SPB与平面PBM的夹角的余弦值为19.解：(1)f(x)=xex的定义域为 3.2f'(x)=(x+1)ex令f'(x)=(x+1)ex=0，则x=−1xf-0+f(x)、极小值↗所以y=f(x)的单调递增区间(−1,+∞)，单调递减区间为(−∞,−1)，极小值为f(−1)=−e−1，无极大值；（2）当m=e时，点P(1,e)在f(x)=xex上，由f(x)=xex得，f’(x)=(1+x)ex，设切点为(x0,x0ex)，0)ex又P(1,e)在切线方程上，第5页，共8页exEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),0)x2x2x，故u(x)在(−∞,−2)，(1,+∞)上单调递增，在(−2,1)上单调递减，−x−1>0，故u(x)>0恒成立，若P(1,e)为切点，则f’(1)=2故切线方程为y−e=2e(x−1)，即2ex−y−e=0；综上，n=1，切线方程为2ex−y(2)设切点为(t,tet)，f’(x)=(1f(x)=xex在(t,tet)处的切线方程为y−tet=(1+t)et(x−t)，t，2t2tt，则函数f(x)在(−∞,−2)，(1,+∞)上单调递减，在(−2,1)上单调递增，且极小值为−,极大值为e，由g(t)<0得t2−t−1>0，解得t<或t>，t的图象，如下：第6页，共8页由图可知<m<0时，直线y=m与g图象有3个交点，为最大值，故n取最大值3时，m的取值范围为.所以椭圆方程为222此时方程(*)可化为：m2x2+8kmx+16k2=0，解得：x=−由条件可知：k，m异号所以因为l1//l2，所以可设直2当>0时，方程有两个不相等的实根，因为A，C两点关于原点对称，所以C(−x1,−y1)，第7页，共8页所以k1=k2→②设直线l1与y轴交于点Q，直线l2与y轴交于点N，则SPAB=SQAB，于是由①可知：OP//BC，若O，P，B，C四点围成的四边