七年级数学上册“几何体与平面图形的转化：展开、折叠与模型制作”单元教学设计与实践

七年级数学上册“几何体与平面图形的转化：展开、折叠与模型制作”单元教学设计与实践

  一、单元整体设计规划

  本单元隶属于初中数学“图形与几何”领域，是学生从小学阶段直观认识简单几何体过渡到系统研究空间图形性质的关键起点。设计核心在于打破传统“认识图形-学习展开图-计算表面积”的线性知识传授模式，构建一个以空间观念发展为核心、以数学探究与实践为主线的项目式学习单元。我们强调“做数学”的理念，将动手操作、直观感知、合情推理与抽象归纳深度融合，引导学生经历“从现实物体抽象出几何模型—将几何模型展开为平面图形—将平面图形折叠恢复为几何模型—利用模型解决实际问题”的完整认知循环。单元设计融入STEAM教育理念，通过设计制作“创意几何体模型”这一驱动性任务，自然整合数学（几何与测量）、技术（图纸设计与制作）、工程（结构稳定性）与艺术（造型与美化），使学生在解决真实、复杂问题的过程中，深刻理解几何体与平面图形的内在联系，发展空间想象力、逻辑推理能力和创新实践能力，为后续学习视图、投影、立体几何奠定坚实的经验和思维基础。

  二、课程标准与核心素养分析

  本单元设计严格对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第三学段（7-9年级）“图形与几何”领域的要求。在知识技能层面，覆盖“通过实例了解几何体与平面图形的关联，能想象并画出简单几何体的表面展开图，了解展开图在现实生活中的应用，能根据展开图判断和制作几何体模型”。在数学核心素养的培养上，本单元着力点如下：

  1.空间观念：这是本单元培养的核心素养。通过从不同方向观察几何体、动手裁剪与折叠、在脑海中进行“虚拟折叠”与“虚拟展开”等系列活动，引导学生从二维与三维图形的相互转换中，建立并强化空间表象，提升根据条件想象图形、分解与组合图形的能力。

  2.几何直观：借助实物模型、动态几何软件（如GeoGebra）演示，帮助学生直观地理解抽象的几何关系，例如棱与棱的对应、面与面的相对位置等。利用展开图分析几何体表面积的计算方法，是将复杂空间问题转化为简单平面问题的典型体现。

  3.推理能力：在探究“哪些平面图形可以折叠成指定的几何体”以及“一个几何体可能有哪些不同的展开图”时，引导学生进行合情推理，提出猜想，并通过操作验证猜想。在判断展开图正确性的过程中，逐步学习运用逻辑规则进行说理。

  4.应用意识：单元终端的模型制作项目，紧密联系包装设计、建筑结构、艺术创作等现实情境，让学生体会数学知识的广泛应用价值，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。

  5.创新意识：鼓励学生在遵循基本几何原理的基础上，设计具有独创性的几何体组合模型及其展开图，激发学生的创造潜能。

  三、学情前测分析

  七年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们对长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等基本几何体已有初步的直观认识，能从生活中找到大量实例。大部分学生具备使用直尺、剪刀进行简单手工制作的能力。然而，他们的空间想象能力普遍较弱，具体表现为：难以在脑海中清晰地进行二维与三维图形的转换；对几何体各元素（点、棱、面）在展开图中的对应关系感到困惑；容易忽视展开图中面与面相邻、相对关系的逻辑判断。此外，学生虽然会计算长方形、圆形等平面图形的面积，但将表面积计算与展开图系统性联系起来的意识尚未建立。因此，本单元教学必须提供充足的、层次分明的操作材料（包括实物和数字化工具），搭建从具体操作到抽象想象的“脚手架”，通过小组协作、交流辩论等方式，暴露并解决认知冲突，逐步内化空间观念。

  四、单元学习目标

  （一）知识与技能目标

  1.能识别并描述棱柱（重点研究正方体、长方体、三棱柱）、棱锥、圆柱、圆锥等常见几何体的主要特征（面、棱、顶点）。

  2.能通过动手操作与观察，探索并归纳常见几何体（特别是正方体）的表面展开图，理解展开图与几何体各表面、棱的对应关系。

  3.能根据给定的平面图形，判断其能否折叠成指定的几何体，并能识别对面、邻面在展开图中的位置关系。

  4.能画出简单几何体的表面展开示意图，并基于展开图推导其表面积的计算公式，解决相关的简单计算问题。

  5.能综合运用所学，设计、绘制并制作一个包含两种及以上基本几何体的创意组合模型。

  （二）过程与方法目标

  1.经历“观察实物—抽象图形—动手展开与折叠—归纳规律—应用创新”的完整探究过程，积累数学活动经验。

  2.学会使用剪刀、胶水、卡纸等工具进行几何建模，初步掌握从设计图到成品的制作流程与方法。

  3.在小组合作探究中，学习如何清晰表达自己的空间想象，如何倾听并理解他人的空间描述，通过协作解决疑难问题。

  （三）情感、态度与价值观目标

  1.在探索几何体展开与折叠的奥秘中，感受数学的对称美、规律美和应用美，激发对几何学习的持久兴趣。

  2.培养敢于动手、大胆猜想、严谨验证的科学探究精神，以及耐心、细致的操作习惯。

  3.通过创意模型制作，体会数学与生活、艺术、技术的紧密联系，增强综合应用知识解决实际问题的成就感和自信心。

  五、单元教学重点与难点

  教学重点：探索并理解正方体等常见几何体的表面展开图；掌握根据展开图判断能否折叠成几何体的基本方法。

  教学难点：在二维平面与三维立体之间建立灵活的想象与转换能力；理解并应用展开图中面与面的相对、相邻关系进行推理判断；设计复杂组合几何体的展开图。

  六、教学资源与环境准备

  1.实物材料包（小组为单位）：多种型号的可展开正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱棱锥模型；充足的各种颜色卡纸、绘图纸；剪刀、裁纸刀、胶水（或双面胶）、透明胶带；直尺、三角板、圆规、铅笔、彩笔。

  2.信息技术资源：交互式电子白板或一体机；安装GeoGebra3D绘图软件或具有类似三维展开、折叠动画功能的数学教学软件；教师准备好多媒体课件，内含丰富的实物图片、动态演示视频。

  3.学习环境：便于小组合作的课桌椅布局；设置“材料区”和“作品展示区”；确保操作活动空间的安全（特别是使用裁纸刀时）。

  七、单元教学过程详细设计（共3课时）

  第一课时：初探几何体——从生活实物到数学抽象

  课时目标：从生活情境出发，回顾与系统认识常见几何体，学会从数学角度（面、棱、顶点）描述其特征；初步感知几何体可以展开为平面图形。

  教学过程：

  （一）情境导入，激趣引思（约8分钟）

  教师活动：展示一组精心挑选的图片：现代建筑（如“水立方”、“鸟巢”）、经典包装盒（如牛奶利乐包、巧克力盒）、工业产品（如易拉罐、电池）、自然形态（如蜂巢、矿物晶体）。提出问题链：“这些物体形态各异，但从数学角度看，它们的形状可以归为哪几类？”“你能在身边立刻找出这些形状的物体吗？”“设计师是如何将一张平平的纸板变成我们手中精美的包装盒的？”

  学生活动：观察图片，快速联想生活中的对应物体，积极举手发言，尝试用“方的”、“圆的”、“长的”、“锥子形的”等生活化语言描述。

  设计意图：创设真实、丰富、跨学科的情境，迅速唤醒学生的生活经验，揭示本单元学习内容与现实世界的广泛联系，自然引出“几何体”与“展开图”的核心概念，激发探究欲望。

  （二）操作分类，归纳特征（约15分钟）

  教师活动：分发材料包中的各种几何体实物模型（每个小组一套，包含至少两个同种几何体）。发布任务一：“请以小组为单位，观察并触摸这些模型，尝试根据它们的形状特征进行分类，并给每一类起个名字。”巡视指导，关注学生的分类标准（是凭直觉还是关注了“面”的特征）。

  学生活动：小组合作，对模型进行观察、比较、讨论，尝试分类。可能按“是否有曲面”分为两类，或按具体形状分为“正方体类”、“长方体类”、“球类”、“柱子类”、“锥子类”等。

  教师活动：请不同小组分享分类结果及理由。引导学生关注几何体“面”的构成。在此基础上，教师介绍规范的数学名称：棱柱（重点介绍正方体、长方体、三棱柱）、棱锥、圆柱、圆锥、球体。发布任务二：“请选择棱柱（如长方体）和圆柱这两种类型，详细研究它们，数一数它们各有几个面、几条棱（或曲线）、几个顶点？并用手沿着面与面相交的线摸一摸，感受‘棱’。”

  学生活动：针对指定几何体，进行有序的点数、触摸、记录。小组内交流结果。

  教师活动：组织全班汇总，板书关键特征。例如：长方体有6个面（都是长方形，相对的面完全相同），12条棱（相对的棱长度相等），8个顶点。圆柱有3个面（2个平行的圆形底面，1个曲面侧面）。强调描述几何体特征的规范性语言。

  设计意图：通过动手操作和合作分类，让学生亲身经历从具体实物中抽象出几何图形的过程。任务驱动式的探究，使学生主动关注几何体的构成要素，为后续学习展开图奠定知识基础。

  （三）预见冲突，初识展开（约15分钟）

  教师活动：拿起一个纸质长方体盒子，沿着粘合处小心剪开，将其平铺在实物投影仪下。“看，这个立体的盒子变成了一个平面的图形，我们称这个平面图形为这个长方体的‘表面展开图’。”提问：“这个展开图由哪些形状组成？它们（指展开图中的各个面）与原来的长方体各部分有什么关系？”接着，展示一个用卡纸做成的、未粘合的可展开正方体模型，请一名学生上台，尝试沿着棱将其“拆开”成平面状态。

  学生活动：观察教师的演示和同学的拆解，思考并回答提问。直观感受“立体”变“平面”的过程，初步建立“展开图”的概念。

  教师活动：提出挑战性问题：“是不是任意一个由六个正方形组成的平面图形，都能折叠成一个正方体呢？”展示两个预制的图形：一个是标准的“141型”正方体展开图，另一个是六个正方形排成一列的“一字长蛇阵”图形。让学生先独立思考，再进行小组讨论和猜想。

  学生活动：基于直观，进行猜想和辩论。大多数学生能凭感觉认为“一字长蛇阵”可能不行，但说不出确切理由。

  教师活动：不急于给出答案，而是宣布：“这将成为我们下节课重点探究的谜题。请各小组在课后利用卡纸，自己画出几个由六个正方形组成的图形，剪下来试着折一折，看看你们的猜想对不对。”简要介绍下节课的主要活动。

  设计意图：通过动态演示，直观引入“展开图”概念。设置认知冲突，抛出核心探究问题，为下一课时的深度探究埋下伏笔。布置实践性课前任务，将探究活动延伸至课外，保持学习的热度与连贯性。

  （四）课堂小结与作业布置（约2分钟）

  教师活动：引导学生回顾本节课认识的几何体及其特征，以及初步了解的“展开图”概念。

  学生活动：跟随教师回顾，分享收获。

  作业布置：1.完成学案上的“几何体特征梳理表”。2.实践探究：用卡纸制作至少3个不同的由6个相同正方形连接而成的图形，剪下并尝试折叠，记录哪些能折成正方体，哪些不能。

  第二课时：解密展开图——探究规律与推理判断

  课时目标：通过系统化的操作实验，探索正方体表面展开图的多种可能类型；发现并总结判断一个平面图形能否折叠成正方体的关键规律（重点是面的相对与相邻关系）；初步应用规律解决问题。

  （一）实验启航，收集证据（约20分钟）

  教师活动：检查学生课前制作的图形，选取有代表性的（能折成的和不能折成的）进行展示。重申核心问题：“由六个完全相同的正方形组成的平面图形，哪些能折叠成正方体？它们有什么共同规律？”发布本节课的核心探究任务：“以小组为单位，利用可展开的正方体模型、剪刀和卡纸，你们能探索出多少种不同的、能够折叠成正方体的展开图？（提示：经过旋转或翻转后重合的算同一种）请将成功的展开图样式画在报告纸上，并尝试将它们归类。”

  学生活动：小组热烈开展实验探究。他们可能采取以下策略：1.将实物正方体模型沿着不同的棱剪开，得到展开图并拓印。2.在卡纸上凭想象画出图形，剪下折叠验证。3.对成功的图形进行旋转、翻折，判断是否属于新类型。教师提供“探究提示卡”，提醒学生注意有序思考，比如从“中间四连方，上下各一个”（即141型）开始尝试变化。

  教师活动：巡视各组，扮演促进者角色。鼓励学生多尝试，对于有困难的小组，可提示：“试试移动上或下的那个正方形的位置？”“如果中间变成三个正方形并排呢？（231型）”“如果中间只有两个正方形呢？（33型或222型）？”观察学生是如何记录和归类的。

  （二）成果汇聚，归纳模型（约15分钟）

  教师活动：邀请不同小组到讲台，利用实物投影展示他们发现的展开图类型，并将其画在黑板上。引导学生进行辨析：哪些是通过旋转或翻转可以得到另一种的？如何进行合并归类？

  学生活动：展示、讲解、辩论。在教师的引导下，逐步达成共识，将正方体展开图归纳为四大类共11种标准形式：1.“141型”（6种变式，上下正方形可移动位置）。2.“231型”（或“132型”，3种变式）。3.“222型”（1种，阶梯状）。4.“33型”（1种，两行各三个）。教师用动态几何软件（GeoGebra）依次演示这11种标准展开图的折叠动画，加深学生印象。

  教师活动：引导学生观察这些成功的展开图，寻找共同特征。关键提问：“所有这些能折成正方体的图形，在结构上有什么必须满足的条件？”“不能折成的图形（如‘田字形’、‘凹字形’、五个或七个正方形连在一起的图形），又违反了哪些条件？”通过对比分析，引导学生初步归纳：成功的展开图必须保证六个正方形连接成一个整体，且任何两个正方形之间至少有一条公共边（不能断开）；在图形中，不能出现“田字格”结构（即四个正方形共一个点），因为这在正方体中无法实现。

  设计意图：将课堂完全交给学生进行探究性实验，经历“操作—发现—归类—归纳”的完整过程。通过汇集集体智慧，系统构建关于正方体展开图的知识网络。动态软件的演示，将静态结果动态化，帮助学生建立空间联系。对比分析成功与失败的案例，引导学生从现象背后寻找数学规律。

  （三）规律深化，推理应用（约10分钟）

  教师活动：提出更深层次的问题：“仅仅连接在一起且没有‘田字格’就一定能折成吗？我们还需要考虑折叠后面与面之间的位置关系。”展示一个标有字母A、B、C、D、E、F的“141型”展开图。提问：“折叠成正方体后，哪个面会与A面相对？哪些面会是A面的邻居（相邻面）？”让学生先用模型操作验证，再尝试脱离模型进行空间想象。

  学生活动：操作模型，找出相对面（通常位于展开图的“同行或同列隔一个”的位置，如在141型中，中间四个正方形的首尾两个是相对的）。总结判断相对面的“找对面”口诀（如同行隔一、Z字两端等）。

  教师活动：设计递进式思维训练题。第一层次：给出一个标有数字的正方体展开图，快速判断指定数字的对面是几。第二层次：给出一个展开图及两个面上的图案，判断折叠后这两个图案的相对位置（如“

”在“○”的什么方向）。第三层次：“一个正方体的六个面分别涂上红、黄、蓝、绿、白、黑六种颜色，下图是它的三种不同摆放方式，请问黄色的对面是什么颜色？”这类问题需要学生综合运用相对面和相邻面知识进行推理。

  学生活动：独立思考、小组讨论、全班分享解题思路。在解决复杂问题时，学生可能需要借助简单的草图或手部动作模拟折叠。

  设计意图：从探究“有哪些”深入到理解“为什么”，引导学生关注展开图中蕴含的面与面的空间关系。通过层次分明的思维训练，将操作获得的感性经验升华为理性推理能力，实现空间观念从动作把握到表象操作再到抽象推理的逐步内化。

  （四）小结与拓展（约5分钟）

  教师活动：引导学生总结本节课的核心收获：正方体展开图的11种基本类型；判断能否折叠的直观规律（连接性、无田字格）；以及更关键的——利用展开图分析面与面相对、相邻关系的方法。

  学生活动：复述要点，分享学习感悟。

  作业布置：1.整理11种正方体展开图，并自制一个快速判断对面、邻面的思维导图。2.挑战题：探究长方体（非正方体）的展开图有什么特点？它的相对面有何特征？

  第三课时：创意建模——从展开图到综合实践

  课时目标：应用前两课所学，将常见几何体的展开图知识用于计算简单几何体的表面积；通过设计、绘制并制作一个创意几何体组合模型，综合运用知识，提升实践能力与创新思维。

  （一）温故链新，表面积初探（约10分钟）

  教师活动：回顾圆柱的实物模型，提问：“如果我要给这个圆柱形的茶叶罐贴满包装纸，我需要多大面积的纸？这需要计算什么？”引出几何体的表面积概念——所有面的面积之和。再次展示圆柱的展开图（两个圆和一个长方形）。提问：“这个长方形的长和宽与圆柱的什么有关？”引导学生发现：长方形的长等于底面圆的周长，宽等于圆柱的高。

  学生活动：观察模型和展开图，回答提问。推导圆柱表面积公式：S=2πr²+2πrh。

  教师活动：给出一个具体尺寸的圆柱，让学生计算其表面积。接着，出示一个无盖的正方体纸盒的展开图。提问：“制作这个无盖纸盒，需要多少纸板？与完整正方体的表面积计算有何不同？”引导学生解决实际问题中的表面积计算，注意面的个数变化。

  设计意图：将展开图与表面积计算自然衔接，让学生理解表面积公式的几何意义源于展开图，实现知识的融会贯通。通过变式练习（有盖/无盖），培养学生灵活应用知识的能力。

  （二）项目发布：设计我的创意几何体模型（约5分钟）

  教师活动：播放一段简短的视频，展示优秀的几何体模型作品，如几何体构成的建筑模型、艺术雕塑、创意灯具等。正式发布本单元终极项目任务：“我们将举办一次‘几何之美’创意模型展。请以小组为单位，设计并制作一个创意几何体模型。”

  项目要求：

  1.模型构成：必须包含至少两种不同类型的基本几何体（如棱柱与圆锥的组合）。

  2.设计图纸：需要绘制1：1的精确表面展开图（可分解为多个几何体的展开图组合），并标注关键尺寸。

  3.制作成品：根据图纸，选用卡纸等材料，制作出稳固、美观的实物模型。

  4.设计说明：撰写一段文字，说明设计理念、模型名称、运用了哪些几何知识。

  教师活动：展示评价量规初稿（见第八部分），让学生明确作品的努力方向。

  （三）项目实践：设计与制作（约50分钟，可跨课时）

  此阶段是学生自主合作探究的核心环节，教师角色转换为项目顾问和资源提供者。

  第一阶段：构思与设计（约20分钟）

  学生活动：小组头脑风暴，确定模型主题（如“未来火箭”、“梦幻城堡”、“几何机器人”等）。在草稿纸上勾画立体效果草图。讨论由哪些基本几何体组合而成。然后，将组合体分解，为每个组成部分设计展开图。这是一个极具挑战性的环节，学生需要反复思考面与面的连接方式、粘合边的预留等问题。教师提供不同几何体的标准展开图模板作为参考。

  教师活动：巡视各小组，提供个性化指导。关键提问引导：“你这个圆锥的侧面，打算和棱柱的哪个面连接？连接处的形状需要匹配吗？”“如何保证模型能站稳？底部需要做怎样的设计？”“你们的展开图，所有部分拼起来，能做到不浪费材料吗？”

  第二阶段：绘制与剪裁（约15分钟）

  学生活动：在卡纸上用尺规精确绘制最终版的1：1展开图。用剪刀或裁纸刀小心裁剪。注意安全使用工具。在需要粘合的位置做好标记或预留边。

  第三阶段：折叠与组装（约15分钟）

  学生活动：将裁剪好的平面图形折叠、粘合成各个几何体部件。然后将部件组装成完整的创意模型。在此过程中，可能会发现设计缺陷（如尺寸不符、连接不稳），需要即时调整。

  教师活动：提供技术支持，协助解决制作中的技术难题。强调安全与协作。鼓励学生克服困难，欣赏迭代改进的过程。

  （四）成果展示与评价反思（约15分钟）

  教师活动：组织“几何之美”微型展览会。各小组将作品放置在展示区，并将设计图纸贴在旁边。

  学生活动：1.小组陈述：每组派代表，向全班介绍自己的作品（名称、设计理念、运用的几何知识、制作过程中的挑战与解决方案）。2.画廊漫步与互评：学生携带评价量表，浏览其他小组的作品，根据量规进行评分，并留下真诚的赞赏或建议便签。3.教师点评：教师从数学知识的应用、设计的创新性、制作的工艺、团队的协作等方面进行总结性评价，高度肯定所有学生的努力和创意。

  设计意图：项目式学习将本单元的知识与技能整合在一个有意义、有挑战性的真实任务中。通过完整的“设计—制作—展示—评价”流程，学生不仅巩固了知识，更锻炼了计划、执行、问题解决、沟通协作等高阶能力。作品展示与评价环节提供了成果输出的舞台，增强了学生的学习成就感和社会性互动。

  八、单元学习评价设计

  本单元采用“过程性评价与终结性评价相结合、定量评价与定性描述相结合”的多元评价体系。

  1.过程性评价（占比60%）：

   -课堂观察记录：教师记录学生在小组探究活动中的参与度、合作精神、操作规范性、提出问题的能力等。

   -探究报告/学案：评价学生在“展开图探究”、“规律归纳”等环节的学案完成质量，关注思维过程。

   -实践操作检核：对学生的模型制作过程进行分项评价，如工具使用安全、测量与绘图的准确性、工艺精细度等。

  2.终结性评价（占比40%）：

   -单元知识技能小测：包含概念辨析、展开图判断、相对面推理、表面积计算等基础题型，考查知识掌握情况。

   -创意模型项目评价：使用量规进行综合评价。量规示例如下：

    A.数学应用（30分）：模型构成包含至少两种正确的基本几