第13讲圆心角与圆周角(原卷版+解析)

第13讲圆心角与圆周角1．掌握圆心角、圆周角的概念；2．掌握圆周角定理；知识点、圆周角1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．考点一：圆心角概念辨析例1．下图中是圆心角的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．下列说法正确的是（）A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角B．圆心角α的取值范围是C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角D．圆心角就是在圆心的角2．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_________.3．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数．考点二：利用弧、弦、圆心角的关系求证例2．在中，满足，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．无法确定【变式训练】1．如图所示，A、B、C、D是⊙O上的点，，下列结论错误的是（）A． B． C． D．2．如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为_______．3．如图，以等边三角形的边为直径作交于，交于，连接．试判断，，之间的大小关系，并说明理由．考点三：圆周角的概念辨析例3．如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【变式训练】1．如图，是的直径，为圆内一点，则下列说法中正确的是（）A．是的弦 B．是圆心角C．是圆周角 D．2．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°，AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝______3．如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数.考点四：圆周角定理例4．如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．如图，内接于圆，D是上一点，将沿翻折，B点正好落在圆上的点E处，若，则（

）

A．40° B．50° C．55° D．65°2．如图，已知，在中，，是优弧上一点，、是劣弧上不同的两点（不与、两点重合），则的度数为_____°．

3．如图，的直径和弦相交于点E，且B是的中点，连接，.

(1)判断与是否全等，并说明理由；(2)连接.已知，，，求的长．考点五：圆心角与圆周角的应用例5．如图，，是的弦，连接，，，延长交于点E，连接，若，，则（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．如图，为的直径，C、D为上两点，，则（）

A．129° B．128° C．109° D．99°2．如图，点A，B，C，D在上，，垂足为E．若，，则的长度为______．3．如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，求的度数．1．（2023·云南·统考中考真题）如图，是的直径，是上一点．若，则（

）

A． B． C． D．2．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（

）A．50° B．45° C．40° D．35°3．（2022·四川广元·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．65°4．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（）

A． B． C． D．5．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（

）A． B． C． D．6．（2023·四川·统考中考真题）如图，是的外接圆，若，则（

）

A． B． C． D．7．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（）

A． B． C． D．8．（2022·山东日照·统考中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．

9．（2022·湖南永州·统考中考真题）如图，是的直径，点、在上，，则______度．10．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°11．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．12．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是________．

13．（2022·广东·统考中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．(1)试判断的形状，并给出证明；(2)若，，求的长度．14．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：(1)AC＝BD；(2)△ABE∽△DCE．15．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．

(1)如图1，连接，若，求证；平分；(2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．1．如图，点A，B，C，D在上，则图中一定与相等的角是（

）

A． B． C． D．2．如图，⊙的弦、交于点．若，则下列说法正确的是（

）

A． B．C． D．无法确定3．如图，四边形内接于⊙O，为直径，，连接．若，则的度数为（

）

A．70° B．60° C．50° D．40°4．如图，是的直径，是上两点，若，则（

）

A． B． C． D．5．如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A，B，C，D，O在小正方形的顶点上，的半径为1，E是劣弧的中点，则的度数为（

）A． B． C． D．6．如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（

）

A． B． C． D．7．如图，是半圆O的直径，以弦为痕折叠后，恰好过点O则等于（

）

A． B． C． D．8．如图，在的内接四边形中，，，，则的直径为（

）

A． B． C． D．9．如图，、、是上的三个点，，则的度数是___________．

10．如图，，，是上三点，，则的度数是______°．

11．如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则________．

12．如图，在中，，经过点、点，且交边BC于点，点在上，则_________度．

13．如图，的半径为，是的内接三角形，半径于，当时，的长是________．14．点O是内一点，经过点A和直角顶点C，与直角边交于点E，与斜边交于点D，且，若的半径为5，，则斜边的长为______.

15．如图，中，，求证：．16．如图，的直径，、是圆上的两点，，，求，两点的距离．17．已知：如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E．(1)求证：．(2)若，求圆弧所对的圆心角的度数．18．如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．

(1)连接，求证：平分；(2)若，，求的长．19．如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．

(1)求证：点D为弧的中点；(2)若，，求的直径．20．如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点；(1)如图1，若、直接写出与的数量关系；(2)如图2、若、平分，，求的长度．

第13讲圆心角与圆周角1．掌握圆心角、圆周角的概念；2．掌握圆周角定理；知识点、圆周角1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．考点一：圆心角概念辨析例1．下图中是圆心角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB,称为弧AB所对的圆心角进行判断.【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；B、不是圆心角，故不符合题意；C、是圆心角，故符合题意；D、不是圆心角，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．【变式训练】1．下列说法正确的是（）A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角B．圆心角α的取值范围是C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角D．圆心角就是在圆心的角【答案】C【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案．【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，∴A、D错误，C正确；∵圆心角α的取值范围是，∴B错误．故选：C．【点睛】此题考查了圆心角的定义，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义．2．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_________.【答案】【分析】的度数即为所对圆心角的度数；【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数；∴故答案为：【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键．3．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数．【答案】【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到．【详解】解：连接，如图，∵弧的度数为，∴，∵，∴，∴，∵弦，∴．【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．考点二：利用弧、弦、圆心角的关系求证例2．在中，满足，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】过O点作半径，根据垂径定理得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后根据三角形三边的关系可得到．【详解】解：如图，过O点作半径，则＝，∵，∴，∴，∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【变式训练】1．如图所示，A、B、C、D是⊙O上的点，，下列结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可．【详解】，，，故A选项正确；，即，故B选项正确；，，故D选项正确；不能证明，故C选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．2．如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为_______．【答案】8【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长．【详解】解：∵C是的中点，∴，而，∴，∵，∴和都是等边三角形，∴，所以四边形的周长等于8．故答案为：8．【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键．3．如图，以等边三角形的边为直径作交于，交于，连接．试判断，，之间的大小关系，并说明理由．【答案】，理由见解析【分析】连接，．根据题意得出与都是等边三角形，继而得出，根据圆心角与弦的关系即可得证．【详解】解：．理由如下：如图，连接，．，，与都是等边三角形．．．．．【点睛】本题考查了在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，连接，，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．考点三：圆周角的概念辨析例3．如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【答案】C【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，故选C．【点睛】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．【变式训练】1．如图，是的直径，为圆内一点，则下列说法中正确的是（）A．是的弦 B．是圆心角C．是圆周角 D．【答案】B【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A、点C不在上，所以AC不是的弦，故错误，不符合题意；B、因为点O是圆心，所以∠BOC是圆心角，故正确，符合题意；C、点C不在上，所以∠C不是圆周角，故错误，故不符合题意；D、当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若成立，则AC+OC＜OA+OB，∴AC＜OA，与题干矛盾，∴D选项错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．2．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°，AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝______【答案】54°【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解．【详解】解：∵CD是⊙O的直径，∴OD=OE=OB，∴∠OEB=∠OBE，∵AB=OD，∴AB=OB，∴∠AOB=∠A，∵∠A＝18°，∴∠AOB=18°，∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，∴∠BOE=108°，∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°．故答案为：54°【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．3．如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数.【答案】【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．【详解】连接OD，∵CD=OA=OD,，∴∠ODE=2，∵OD=OE，∴∠E=∠EDO=，∴∠EOB=∠C+∠E=.【点睛】此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.考点四：圆周角定理例4．如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知，，由圆周角定理可得，，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．【变式训练】1．如图，内接于圆，D是上一点，将沿翻折，B点正好落在圆上的点E处，若，则（

）

A．40° B．50° C．55° D．65°【答案】B【分析】首先连接，由折叠的性质可得：，结合已知，由三角形内角和定理得出的度数，再由同弧上圆周角相等求得的度数．【详解】连接，如图所示：由折叠的性质可得：，∴，∵（同弧所对的圆周角相等），∴．故选B．

【点睛】本题考查了圆周角定理，折叠的性质以及三角形内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键，注意数形结合思想的应用．2．如图，已知，在中，，是优弧上一点，、是劣弧上不同的两点（不与、两点重合），则的度数为_____°．

【答案】105【分析】首先连接，由在中，的度数为度，即可求得，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得，，继而求得的度数．【详解】解：连接，∵在中，，∴，∵，，∴．故答案为：．

【点睛】此题考查了圆周角定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想与整体思想的应用．3．如图，的直径和弦相交于点E，且B是的中点，连接，.

(1)判断与是否全等，并说明理由；(2)连接.已知，，，求的长．【答案】(1)与全等；理由见解析(2)【分析】（1）根据圆周角定理可得、，再结合运用即可解答；（2）先求得，进而得到、，如图，过点O作于点G，连接OD，则；再根据直角三角形的性质可得；由勾股定理可得，进而求得．【详解】（1）解：与全等；理由如下：∵B是的中点，∴，∴，，∴.又∵，∴；（2）解：∵，，∴.∵AB是的直径，∴，.如图，过点O作于点G，连接OD，则.∵，，∴.由勾股定理得，∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、圆的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．考点五：圆心角与圆周角的应用例5．如图，，是的弦，连接，，，延长交于点E，连接，若，，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据圆心角、弧、弦之间的关系可得，根据圆周角定理可得，即可求得．【详解】如图

由题可知，为直径，故∵∴∵，所以故选：C．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理等，解题的关键是要掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【变式训练】1．如图，为的直径，C、D为上两点，，则（）

A．129° B．128° C．109° D．99°【答案】A【分析】根据圆周角定理求出，，再利用三角形内角和求出的度数．【详解】解：∵，∴，，∴，故选：A．【点睛】此题考查了圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．如图，点A，B，C，D在上，，垂足为E．若，，则的长度为______．【答案】【分析】连接，根据圆周角定理求得，则在中可得，利用勾股定理求得，根据垂径定理可得到的长．【详解】解：连接，如图所示：∵，∴，∵，∴，在中，，，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，也考查了垂径定理、特殊角度直角三角形三边关系，熟练找到圆中对应圆周角与圆心角的关系是解决问题的关键．3．如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，求的度数．【答案】的度数为【分析】根据圆周角定理得到，，再由得到，然后根据三角形外角性质计算的度数．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∵，∴．所以的度数为．【点睛】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．1．（2023·云南·统考中考真题）如图，是的直径，是上一点．若，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（

）A．50° B．45° C．40° D．35°【答案】C【分析】由BD是圆O的直径，可求得∠BCD=90°又由圆周角定理可得∠D=∠A=50°，继而求得答案．【详解】解：∵BD是的直径，∴∠BCD=90°，∴∠D=∠A=50°，∴∠DBC=90°-∠D=40°，故选：C．【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，此题难度不大，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．3．（2022·四川广元·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．65°【答案】A【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．【详解】解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=65°，∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，∴∠ADC=∠ABC=25°，故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．4．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数．【详解】解：，，，，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数．5．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由是的直径，得出，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出，进而即可求解．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．6．（2023·四川·统考中考真题）如图，是的外接圆，若，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，首先根据圆周角定理得到，然后利用半径相等得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可．【详解】如图所示，连接，

∵，，∴，∵，∴．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．7．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．【详解】解：连接，如图所示：

点在上，为的中点，，，，根据圆周角定理可知，，故选：A．【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．8．（2022·山东日照·统考中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．

【答案】【分析】连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．【详解】解：连接AC，

∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：，所以圆形镜面的半径为，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．9．（2022·湖南永州·统考中考真题）如图，是的直径，点、在上，，则______度．【答案】120【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，则．【详解】解：∵，是弧AC所对的圆周角，是弧AC所对的圆心角，∴，∴，故答案为：120．【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．10．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°【答案】62【分析】连接，根据直径所对的圆周角是90°，可得，由，可得，进而可得．【详解】解：连接，∵AB是的直径，∴，，，故答案为：62【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．11．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．【答案】30°/30度【分析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．【详解】∵OC⊥AB，OD为直径，∴，∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴∠APD=∠AOD=30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．12．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是________．

【答案】4【分析】根据圆周角定理得出，再由勾股定理确定，半径为，利用垂径定理确定，且，再由勾股定理求解即可．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∵点D，M分别是弦，弧的中点，∴，且，∴，∴，故答案为：4．【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．13．（2022·广东·统考中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．(1)试判断的形状，并给出证明；(2)若，，求的长度．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；(2)；【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；【详解】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，∴CD=．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．14．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：(1)AC＝BD；(2)△ABE∽△DCE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似．【详解】（1）∵＝∴＝∴∴BD=AC（2）∵∠B=∠C∠AEB=∠DEC∴△ABE∽△DCE【点睛】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键．15．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．

(1)如图1，连接，若，求证；平分；(2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可．(2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可．【详解】（1）∵对角线是的直径，∴，∴，∴平分．（2）∵对角线是的直径，∴，∴∵，∴，∴四边形平行四边形，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．1．如图，点A，B，C，D在上，则图中一定与相等的角是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同弧所对等圆周角相等求解即可．【详解】∵所对应的弧为，∴，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．如图，⊙的弦、交于点．若，则下列说法正确的是（

）

A． B．C． D．无法确定【答案】A【分析】根据平行线的性质，同弧或者等弧所对是圆周角是圆心角的一半，三角形的外角和，即可．【详解】∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故选：A【点睛】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，平行线的性质，同弧或者等弧所对的圆周角和圆心角的关系．3．如图，四边形内接于⊙O，为直径，，连接．若，则的度数为（

）

A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】A【分析】连接，根据等弧所对的圆周角相等可得，再根据直径所对的圆周角为直角可得，最后根据三角形的内角和即可求解．【详解】解：连接，

∵点C为的中点∴∵为的直径∴∴故选：A．【点睛】本题主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．4．如图，是的直径，是上两点，若，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据邻补角互补得到，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】∵∴∵∴．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，邻补角互补，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A，B，C，D，O在小正方形的顶点上，的半径为1，E是劣弧的中点，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解．【详解】解：如图，连接，∵E是劣弧的中点，，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，正方形的性质和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，正方形的性质和圆心角、弧、弦的关系是关键．6．如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆周角定理、平角的定义求解．【详解】由题意知，所对的圆心角为，所以所对的圆心角为，∵是直角三角板的斜边，∴A,B,C,D四点共圆，∴．故选D．【点睛】本题考查圆周角定理；熟练运用圆周角定理是解题的关键．7．如图，是半圆O的直径，以弦为痕折叠后，恰好过点O则等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，过O作于D交圆O于E，根据折叠的性质得到，根据圆周角定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，求得，据此求解即可得到结论．【详解】解：如图，连接，过O作于D交圆O于E，

∵把半圆沿弦折叠，恰好经过点O，∴，∵是半圆O的直径，∴，∴，∵，∴，∴，是等边三角形，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了折叠的性质，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．8．如图，在的内接四边形中，，，，则的直径为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】作直径，连、证明，利用勾股定理求出即可．【详解】解：作直径，连、．

是圆的直径，，，又，，，，，，的直径为．故选：．【点睛】本题考查勾股定理，圆周角定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．9．如图，、、是上的三个点，，则的度数是___________．

【答案】【分析】利用圆周角定理，进行计算即可解答．【详解】∵、、是上的三个点，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．10．如图，，，是上三点，，则的度数是______°．

【答案】【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．11．如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则________．

【答案】35【分析】由同弧所对的圆周角相等，得再根据直径所对的圆周角为直角，得，然后由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】解：是所对的圆周角，是的直径，，在中，，故答案为:．【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．12．如图，在中，，经过点、点，且交边BC于点，点在上，则_________度．

【答案】140【分析】连接、、、，利用圆的性质和多边形内角和的性质即可求解．【详解】解：连接、、、，∵，∴，，∵两个三角形、内角和为∴即，∵在中，，∴∴

故答案为：140【点睛】本题考查了平行四边形的性质、圆周角定理、三角形的内角和，解题的关键是熟练运用数形结合的思想列出角的关系式．13．如图，的半径为，是的内接三角形，半径于，当时，的长是________．【答案】【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，半径于，根据等腰三角形的“三线合一”，即可求解．【详解】解：的半径为，∴，∵是的内接三角形，，∴，∴是等腰直角三角形，，，，∵半径于，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，等腰直角三角形的性质的综合，掌握以上知识的综合运用解题的关键．14．点O是内一点，经过点A和直角顶点C，与直角边交于点E，与斜边交于点D，且，若的半径为5，，则斜边的长为______.

【答案】【分析】连接、，根据是的直径，得出，，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，得出，根据勾股定理求出．【详解】解：连接、，如图所示：

，，，∴是的直径，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴在中，根据勾股定理得：．故答案为：．【点睛】本题主要