第14讲锐角的三角比章节复习(原卷版+解析)

第14讲锐角的三角比章节复习理解锐角三角比的概念会求特殊锐角的三角比的值会解直角三角形需理解仰角、俯角、方向角、坡度和坡角等概念，并能解决有关的实际问题重点是应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的方法进行有关的几何计算难点是解直角三角形的应用一、单选题1．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为米，扶梯的长度是（

）

A． B． C． D．2．已知在中，，，，则（）A． B． C． D．3．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（

）A． B． C． D．以上都有可能4．如图，一个供轮椅行走的斜坡通道的长为6米，斜坡角，则斜坡的垂直高度的长可以表示为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米5．化简等于（

）A． B．0C． D．以上都不对6．如果的各边长都缩小为原来的倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（）A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的C．没有变化 D．不能确定7．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭．已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，若表的长为，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为（

）

A． B． C． D．8．如图，在中，，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，连接CD，若，，则的面积为（

）．

A．5 B．8 C．10 D．169．如图，在中，平分交于点D，过点D作，垂足为点E，且恰好，若，则（

）．

A． B． C．1 D．10．如图，在矩形中，，，是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连接，则的长为（）

A．8 B． C． D．二、填空题11．已知α为锐角，且，则______°．12．在中，，若，则_____．13．一架飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米.14．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是_____．15．某班学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），则电池板离地面的高度的长为______米．（结果精确到1米，参考数据：，，）16．已知：在中，，，．则的面积为____（结果可保留根号）．17．如图，E是矩形的边延长线上一点，于点F，，交延长线于点G，若，则的值为___________．

18．已知，则锐角的取值范围是________．19．在中，，则的形状是______．20．如图，在中，，点D为上一点，，，若，则的长为________．三、解答题21．先化简，再求值：，共中．22．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．23．2023年3月贵州德余高速乌江特大桥主体贯通．如图，桥墩边有一斜坡，坡角为，河岸平行于水平线长为，点C到的距离为，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为，点A，B，C，D，M均在同一平面内．（参考数据：，，，，）

(1)求斜坡的长；(2)求桥墩的高（结果精确到）．24．如图，城市A在城市B正北方向处，城市C在城市B正东方向上，在城市C测得城市A在C的西偏北方向上，汽车N和汽车M同时从城市C出发，分别在笔直的公路上驶往A，B两城市，当汽车M距城市B时，发现汽车N在汽车M的西偏北方向上，求此时汽车N与城市A的距离．（结果精确到，参考数据：，，，）．

25．如图，在中，，，为边上的中线.点E从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点C运动.同时点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，连接，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，以、为边作正方形.设点E运动的时间为t秒．

(1)的长为______；(2)求点E到的距离；（用含t的代数式表示）(3)当点G落在上时，求的长；(4)连接，当与平行或垂直时，直接写出t的值．第14讲锐角的三角比章节复习理解锐角三角比的概念会求特殊锐角的三角比的值会解直角三角形需理解仰角、俯角、方向角、坡度和坡角等概念，并能解决有关的实际问题重点是应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的方法进行有关的几何计算难点是解直角三角形的应用一、单选题1．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为米，扶梯的长度是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根据锐角三角函数，即可求解．【详解】解：如图，

在中，米，∴米，即扶梯的长度是米．故选：D【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．2．已知在中，，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作，垂足为，在中，，∴,∴\∴，在中，故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．3．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（

）A． B． C． D．以上都有可能【答案】B【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．【详解】解：如图，分别作出两三角形的高∵∴∵∴∵∴故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．4．如图，一个供轮椅行走的斜坡通道的长为6米，斜坡角，则斜坡的垂直高度的长可以表示为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】在中，利用正弦的定义即可求解．【详解】解：在中，，，，∴．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角之间关系是解题的关键．5．化简等于（

）A． B．0C． D．以上都不对【答案】C【分析】根据二次根式的性质得出，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性化简即可求解．【详解】解：，∵，∴原式，故选：C．【点睛】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键．6．如果的各边长都缩小为原来的倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（）A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的C．没有变化 D．不能确定【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答．【详解】三角形各边长度都缩小为原来的倍，∴得到的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的正弦、余弦值不变，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正弦与余弦的定义，掌握相似三角形的性质是解题的关键．7．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭．已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，若表的长为，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】分别解和，求出和的长度，然后利用线段的和差关系求解即可．【详解】解：在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．8．如图，在中，，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，连接CD，若，，则的面积为（

）．

A．5 B．8 C．10 D．16【答案】D【分析】过作于，连接，由于DE垂直平分AB，故,,,因为为中点，所以，有,，可得，所以，即,，则，则，即可得到，在中，同时可得的值，故即可求出．【详解】解：过作于，连接，如图所示:

∵DE垂直平分AB，∴,,,∵为直角三角形，为中点，∴∵,，∴，∴，∵，∴，即,在中，，则，，∵，∴，在中，，故．故选：D．【点睛】本题考查了垂直平分线，相似三角形，三角函数，熟练掌握垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的应用是解此题的关键．9．如图，在中，平分交于点D，过点D作，垂足为点E，且恰好，若，则（

）．

A． B． C．1 D．【答案】C【分析】先证明是线段的垂直平分线，即有，进而有，根据，可得，即可得，则有，再根据平分，可得，即有，结合，可得，问题随之得解．【详解】∵，，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴平分，∴，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等边对等角以及求解角正切值的知识，证明，是解答本题的关键．10．如图，在矩形中，，，是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连接，则的长为（）

A．8 B． C． D．【答案】B【分析】由折叠得，，推出，利用三角形外角的性质求出，过E作，根据勾股定理求出，利用同角的余弦值相等列得，求出，再根据等腰三角形的性质即可求出．【详解】解：由折叠得，，∵是的中点，∴，∴，∵，，∴，过E作，∵在矩形中，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：B．

【点睛】此题考查了矩形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数，正确理解同角的余弦相等是解题的关键．二、填空题11．已知α为锐角，且，则______°．【答案】20【分析】根据求解即可．【详解】解：∵α为锐角，且，∴，则，故答案为：20．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．12．在中，，若，则_____．【答案】/0.75【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【详解】解：如图，，．∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的定义．由定义推出互余两角的三角函数的关系：若，则是解题关键．13．一架飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米.【答案】【分析】根据题意假设未知数列方程求解即可.【详解】解：设此时飞机与该地面控制点之间的距离是x米,则依题意得：xsin60°=1200解得：x=即此时飞机与该地面控制点之间的距离是米,【点睛】本题考查了三角函数的应用，灵活运用合适的三角函数列出方程是解题的关键.14．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是_____．【答案】【详解】连接AB，∴△AOB是等腰直角三角形,即故答案为15．某班学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），则电池板离地面的高度的长为______米．（结果精确到1米，参考数据：，，）【答案】【分析】延长交于点F，设米，先说明四边形，四边形，四边形均为矩形，得出米，，，根据，得出（米），（米）利用锐角三角函数得出，即求解即可．【详解】解：延长交于点F，如图，设米，∵，，，，∴，∴四边形，四边形，四边形均为矩形，∴米，，，∵，，∴（米），（米），在中，，即，解得（米），

∴，即电池板离地面的高度约为米，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，仰角问题，矩形判定与性质，等腰直角三角形性质，掌握解直角三角形的应用方法，仰角问题，矩形判定与性质，等腰直角三角形性质是解题关键．16．已知：在中，，，．则的面积为____（结果可保留根号）．【答案】【分析】过作于，利用直角三角形的性质求得的长．已知的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【详解】解：过作于，在中，，，即．在中，，，．，．．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形的性质及三角形的面积公式，熟练掌握通过作三角形的高，构造直角三角形是解题的关键．17．如图，E是矩形的边延长线上一点，于点F，，交延长线于点G，若，则的值为___________．

【答案】【分析】利用和，可求得，，据此即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∵，即，∴，∵，即，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18．已知，则锐角的取值范围是________．【答案】0＜α≤30°【分析】根据二次根式的性质可得出≤，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论.【详解】由题意知，故≤，即sin≤sin30°，由正弦函数是增函数．知0＜α≤30°【点睛】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键.19．在中，，则的形状是______．【答案】等边三角形【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答．【详解】∵，∴，，即，，∴，，∴，则一定是等边三角形，故答案为:等边三角形．【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20．如图，在中，，点D为上一点，，，若，则的长为________．【答案】2【分析】如图，作交于，可知，，则，，由题意得，由，可求，则，，证明，则，即，整理得，，则，计算求解即可．【详解】解：如图，作交于，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，即，解得，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，即，整理得，，则，解得，故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角，余弦，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于正确的添加辅助线．三、解答题21．先化简，再求值：，共中．【答案】【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再利用特殊三角函数值求出字母的值，把字母带的值入运算即可．【详解】解：原式当时原式．【点睛】本题考查了分式的混合运算，特殊三角函数值，代数式求值，分母有理化，掌握分式运算顺序，熟记特殊三角函数值是解题的关键．22．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）2；（2），【分析】（1）先分别求解绝对值、零指数幂，正弦，然后进行加减运算即可；（2）先通分、因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式，当时，原式．【点睛】本题考查了零指数幂，绝对值，特殊的三角函数值，分式的化简求值．解题的关键在于正确的运算．23．2023年3月贵州德余高速乌江特大桥主体贯通．如图，桥墩边有一斜坡，坡角为，河岸平行于水平线长为，点C到的距离为，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为，点A，B，C，D，M均在同一平面内．（参考数据：，，，，）

(1)求斜坡的长；(2)求桥墩的高（结果精确到）．【答案】(1)(2)【分析】（1）过点C作于点E，在中，由正弦函数关系即可求得结果；（2）延长交于点F，则四边形是矩形，在中由余弦函数关系可求得的长，从而求得的长；在中由正切函数关系可求得的长，最后由线段和的关系即可求得结果．【详解】（1）解：过点C作于点E，则，

在中，，∴．所以，斜坡的长约为．（2）延长交于点F，则四边形是矩形，

在中，，∴．∴，．∵，∴．在中，，∴．∴．所以，桥墩的高约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及坡角、仰角，根据题意构造直角三角形是解题的关键．24．如图，城市A在城市B正北方向处，城市C在城市B正东方向上，在城市C测得城市A在C的西偏北方向上，汽车N和汽车M同时从城市C出发，分别在笔直的公路上驶往A，B两城市，当汽车M距城市B时，发现汽车N在汽车M的西偏北方向上，求此时汽车N与城市A的距离．（结果精确到，参考数据：，，，）．

【答案】【分析】过N作于D，利用直角三角